厦门大学运筹学习题

解：
1）首先绘制网络图如下： ）首先绘制网络图如下：
l 6 8 m 24 11
1
a 3 c 10 6 b 2 8 d 16
4
e 24
h 10 12 i 10 4 f g j 7 4 8 4 9 12
13
k 16
14 n 15 4
5
解：1）总工期为 80 天。
2）关键路线是由工序：a、c、e、f 、g、j、k、n 八道工序 关键路线是由工序： 、 、 、 、、 、 组成，即网络图中由红箭头线组成； 组成，即网络图中由红箭头线组成； 可赶工（即提前） 赶工每天增加费用25 25元 3）工序a 可赶工（即提前）4天,赶工每天增加费用25元； 可赶工（即提前)2天 赶工每天增加费用20 20元 工序 c 可赶工（即提前)2天, 赶工每天增加费用20元； )2 不能赶工（即提前); 工序 e 不能赶工（即提前); 工序 f 可赶工（即提前)）2天, 赶工每天增加费用30元； 可赶工（即提前) 赶工每天增加费用30元 30 可赶工（即提前） 赶工每天增加费用10 10元 工序 g 可赶工（即提前）2天, 赶工每天增加费用10元； 可赶工（即提前） 赶工每天增加费用15 15元 工序 j 可赶工（即提前）4天, 赶工每天增加费用15元； 可赶工（即提前) 赶工每天增加费用30 30元 工序 k 可赶工（即提前)）4天, 赶工每天增加费用30元； 不能赶工(即提前) 工序 n 不能赶工(即提前) ;
《运筹学》习题讨论 运筹学》
2008年 2008年1月4日
书45页1.8： 页 ：
如下表是求某极大化线性规划问题计算得到的单 纯形表。表中设有人工变量a 、 纯形表。表中设有人工变量 1、a2、a3、d、c1、c2为 、 待定常数。试说明这些常数分别取何值时， 待定常数。试说明这些常数分别取何值时，以下结论 成立。 成立。 （1）表中解为唯一最优解； 表中解为唯一最优解； （2）表中解为最优解，但存在无穷多个最优解； 表中解为最优解，但存在无穷多个最优解； （3）该线性规划问题具有无界解； 该线性规划问题具有无界解； （4）表中解非最优，为对解进行改进，换入变量为 表中解非最优，为对解进行改进， x1,换出变量为 6。 ,换出变量为x 。
XB x3 x4 x6 -Z
b* d 2 3
x1 4 -1 a3 c1
x2 a1 -3 -5 c2
x3 1 0 0 0
x4 0 1 0 0
x5 a2 -1 -4 -3
x6 0 0 1 0
解: (1)唯一最优解 d≥0 , c1 < 0 , c2 < 0 ;
(2)无穷多个最优解 d≥0 , c1≤0 , c2≤0 且 c1×c2 = 0 ; (3)有无界解 d≥ 0 , a1≤ 0 , c2 > 0 ，c1≤ 0; (4)换入变量为x1,换出变量为x6 d≥ 0，c1 > 0 , c1≥c2 , d 换出变量为 ， /4 > 3/a3 , a3 > 0 。
工序 a b c d e f g h 合
作业时间 紧前工序 4 8 6 3 5 7 4 3 计
正常完成工 序的直接费 用
赶进度一天 所需费用
工程间接费用
20 30 b 15 a 5 a 18 a 40 10 b、d e, f , g 15 153 5（百元/天）
5 4 3 2 4 7 3 6
该项工程的网络计划图如下： 解 ：该项工程的网络计划图如下：
• 即原问题的最优解为 即原问题的最优解为（x1，x2，x3，x4，x5）= （338/15，116/5，22/3，0，0）。目标函数的最 338/15， 338/15 116/5，22/3， 目标函数的最 优值为： 优值为： Z=3×338/15+2×116/5+2.9×22/3=135.27（ Z=3×338/15+2×116/5+2.9×22/3=135.27（千 元）。对偶问题的最优解应对应于原问题松弛变 对偶问题的最优解应对应于原问题松弛变 的检验数，所以为： 量x4，x5，x6的检验数，所以为： • （y1，y2，y3）=（3/100，4/15，7/150）。 （ ， ， ） 503 （2）− 9 11 − 17
f=7 e=5 5
a=4
2 b=8
d=3
3 g=4 h=3
1
4
6 c=6
7
• 4市场对I、II两种产品的需求量为：产品I在1-4 月每月需10000件，5-9月每月需30000件,10-12月 每月需100000件；产品II在3-9月每月需15000件， 其它月份每月需50000件。某厂生产这两种产品成 本为：产品I在1-5月内生产每件5元，6-12月内生 产每件4.50元；产品II在1-5月内生产每件8元， 6-12月内生产每件7元。该厂每月生产两种产品能 力总和应不超过120000件。产品I容积每件0.2立 方米，产品II容积每件0.4立方米，而该厂仓库容 积为15000立方米，要求：(a)说明上述问题无可 行解；(b)若该厂仓库不足时，可从外厂借。若占 用本厂每月每平方米库容需1元，而租用外厂仓库 时上述费用增加为1.5元，试问在满足市场需求情 况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存 费用为最少。（建立模型，不需求解）
• 解： • (a)10-12月份需求总计：100000X3+50000X3=450000件，这 三个月最多生产120000X3=360000件，所以10月初需要 （450000-360000=90000件）的库存，超过该厂最大库存 容量，所以无解。 • （b）考虑到生产成本，库存费用和生产费用和生产能力， 该厂10-12月份需求的不足只需在7-9月份生产出来库存就 行，则设xi第i个月生产的产品1的数量，yi第i个月生产的 产品2的数量，zi，wi分别为第i个月末1，2的库存数s1i，s2i 2 z i 1 2 s 分别为用于第i+1个月库存的原有及租借的仓库容量m3， 可建立模型：
100 60 15 300 0 11 7 146 1 3 60 = 6 , B −1b + B −1∆b = B −1∆b = − 50 50 10 5 1 1 0 − 10 1 − 8 − 5 3 6 30 这时， 出现负分量，将原问题 最优解表改造成如下形 b 的 式，并利 用 对偶单纯形算法进行计 算得：
• 74页2.4判断题 74页2.4判断题 • 111页4.1和4.2 111页4.1和 • 4.1逻辑是否正确？ 4.1逻辑是否正确？ 逻辑是否正确
• (1)max z=d-+d+ • (3)min z=d-+d+
• 4.2注意可行域的选择 4.2注意可行域的选择
(2)max z=d--d+ (4)min z=d--d+
m in z =
∑ ( 4 .5 x
i=7
12
i
+ 7 yi ) +
∑ (s
i=7
11
1i
+ 1 .5 s 2 i )
x7 − 3 0 0 0 0 = z7 → y7 − 1 5 0 0 0 = w7 x + z − 30000 = z → y + w − 15000 = w 7 8 8 7 8 8 x9 + z8 − 3 0 0 0 0 = z9 → y9 + w8 − 1 5 0 0 0 = w9 x1 0 + z 9 − 3 0 0 0 0 = z 1 0 → y 1 0 + w 9 − 1 5 0 0 0 = w 1 0 x + z − 30000 = z → y + w − 15000 = w 11 10 11 11 10 11 st. x1 2 + z 1 1 = 1 0 0 0 0 → y 1 2 + w 1 1 = 5 0 0 0 x i + z i ≤ 1 2 0 0 0 0 (7 ≤ i ≤ 1 2 ) 0 .2 z i + 0 .4 w i = s1 i + s 2 i s ≤ 15000(7 ≤ i ≤ 12 ) 1i 变 量 都 大 于 等 于 0
• 76页，2.10： 76页 2.10： • 已知某工厂计划生产I、II、III三种产品， 已知某工厂计划生产I II、III三种产品， 三种产品 各产品需要在A、B 、C三种设备上加工，各有 各产品需要在A 三种设备上加工， 关数据见如下表，试回答： 关数据见如下表，试回答：
1.如何充分发挥设备能力，使生产盈利最大？ 1.如何充分发挥设备能力，使生产盈利最大？ 如何充分发挥设备能力 2.若为了增加产量 可借用别的工厂的设备B 若为了增加产量， 2.若为了增加产量，可借用别的工厂的设备B，每月 可借用60台时，租金为1.8万元，问借用设备B 60台时 1.8万元 可借用60台时，租金为1.8万元，问借用设备B是 否合算？ 否合算？ 3.若另有两种新产品IV、 若另有两种新产品IV 其中IV需用设备A IV需用设备 3.若另有两种新产品IV、V，其中IV需用设备A—12 台时， 台时， 10台时 单位产品盈利2.1 台时, 2.1千 台时，B—5台时，C—10台时,单位产品盈利2.1千 需用设备A 台时， 台时， 12台时 台时, 元；V需用设备A—4台时，B—4台时，C—12台时, 单位产品盈利1.87千元。如果A 1.87千元 单位产品盈利1.87千元。如果A、B、C三种设备台 时不增加， 时不增加，分别回答这两种新产品投产在经济上 是否合算？ 是否合算？ 4.若对产品工艺重新进行设计和结构改造，而改进 4.若对产品工艺重新进行设计和结构改造， 若对产品工艺重新进行设计和结构改造 后生产每件产品I需用设备A 台时，设备B 后生产每件产品I需用设备A—9台时，设备B—12 台时，设备C 台时,单位产品盈利4.5千元， 4.5千元 台时，设备C—4台时,单位产品盈利4.5千元，问 这对原计划有何影响？ 这对原计划有何影响？
• 解：设每月生产产品I、II、III的数量分别为 1、 设每月生产产品I II、III的数量分别为x 的数量分别为 x2、x3。依题意，本问题的线性规划模型为： 依题意，本问题的线性规划模型为：
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max =3x1 +2x2 +2.9x3 Z
max Z = 3x1 + 2x2 + 2.9x3
8x1 + 2x2 +10x3 + x4 ≤ 300 x 8x1 +2x2 +10 3 ≤300 10x + 5x + 8x + x ≤ 400 x +5x +8x ≤400 10 1 2 3 5 1 2 3 ⇒ 2x1 +13 2 +10 3 ≤420 x x 2x1 +13x2 +10x3 + x6 ≤ 420 x1,L, x6 ≥ 0 x1, x2, x3 ≥0
或者看B的影子价格为4/5<18/60,所以借用B 或者看B的影子价格为4/5<18/60,所以借用B设备不合算 4/5<18/60,所以借用
书上301页网络计划习题：如下表列出的是某项工程的有 书上301页网络计划习题 301页网络计划习 关工序和相应费用的信息表，准备用网络计划来对该工程 关工序和相应费用的信息表， 实施网络计划管理。 实施网络计划管理。试： （1）画出该项工程的网络计划图；计算网络时间并在图 画出该项工程的网络计划图； 上标出关键工序； 上标出关键工序； （2）求出该项工程的最低成本日程。 求出该项工程的最低成本日程。
根据以上计算所得出的信息我们可知: 若要求该项工程在70 70天 根据以上计算所得出的信息我们可知: 若要求该项工程在70天 内完工，则我们必须在关键路线上缩短工期10 10天 内完工，则我们必须在关键路线上缩短工期10天,并且还要求总费 立房顶桁架）、 ）、工序 用最省,为此我们给出的方案是: 用最省,为此我们给出的方案是:工序 g（立房顶桁架）、工序j 装天花板） 车库地面施工）全部赶工作业。 （装天花板）及工序c（车库地面施工）全部赶工作业。工序a（清 理场地，准备施工） 天正常工作， 天赶工作业。 理场地，准备施工）5天正常工作，3天赶工作业。其它工序一律按 正常施工。 正常施工。