2019年上海复旦大学自主招生数学试题Word版

2019年复旦大学自主招生考试
数学试题
1．若x>y >1，0<a<b<1，则下列各式中一定成立的是________．A．>B．<C．> D．<
2．设a>0，a1，函数f（x）=1
1
x
x
-
+
在（1，+）上单调递减，则f（x）_________．
A．在（−，−1）上单调递减，在（−1，1）上单调递增
B．在（−，−1）上单调递增，在（−1，1）上单调递减
C．在（−，−1）上单调递增，在（−1，1）上单调递增
D．在（−，−1）上单调递减，在（−1，1）上单调递减
3．若要求关于x的函数lg的定义域是（），则a，b 的取值范围是________．
A．B．a<0 C．−4a<0
D．a=b =0
4．设是有理数集，集合X={X|X=2+，a，b}，在下列集合中（1）{2x|x};（2）{x/};（3）{1/x| x } ;（4）{x2|x }中和X相同的集合有________个．A．4个B ．3个C ．2个D．1个
5．设x，y，z>0满足xyz+y+z=12，则++的最大值是________．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．定义全集X的子集A的特征函数为f A（X）=
1,,
0,,
X
x A
x A
∈
⎧
⎨
∈
⎩
，这里，
X
A表示在A在
X中的补集，那么，对A，B，下列命题中不准确的是_________。

A．A B．（x）=1−，
C．（x）=，D．（x）=+，
7．如果一个函数f （x ）在其定义区间对任意x ，y 都满足()()
22x y f x f y f ++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
，则称这个函数是下凹函数，下列函数
（1）f （x ）=2
x
（2）f （x ）=x
3
（3）f （x ）=
（x >0） （4）f （x ）=,0,
2,0,
x x x x <⎧⎨
>⎩ 中是下凹函数的有_______．
A ．（1）（2）
B ．（2）（3）
C ．（3）（4）
D ．（1）（4） 8．若实数x 满足对任意正数a >0，均有x 2
<1+a ，则x 的取值范围是________． A ．（−1，1） B ．[−1，1] C ．（−） D ．不能确
定
9．设函数y =2
10x
的图像是曲线C ，曲线C 1和C 2关于直线x =1对称，曲线C 2和C 1关于直线y =x 对称，则C 2是下列哪个函数的图像？
A ．y =1−2lg x
B ．y =2−2lg x
C ．y =2lg x +1
D ．y =2lg
x +2
10．下列曲线中哪一条拿住两端后不打结？________．
A ．
B ．
C ．
D ．
11．用同样大小的一种正多边形平铺整个平面（没有重叠），有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙？______．
A ．2种
B ．3种
C ．4种
D ．5种
12．一个菱形边长与其内切圆的直径之比为k:1（k>1），则这个菱形的一个小于2
π
的内角等于__________．
A ．arctan （2
1k k -
B ．2
1k -
C ．arctan （
2
11
k k --） D ．arctan
2
11
k -
13．设a ，b 是实常数，则二元一次方程组1,
2,
ax by x y a b +=⎧⎨-=--⎩无解的充分必要条件是______．
A ．2a+b =0且a
B ．2a+b =0且a+b
−1
C ．a =1，b =−2或a =−1，b=2
D ．2a+b =0
14．已知关于x 的方程+22
cos 2
x
=a 在区间（0，2π）内有两个不同的根，则常数a 的取值范围是________．
A ．（−1，3）
B ．（−1，2）
（2，3） C ．[−1，3] D ．[−1，2）2，
3]
15．设X ={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，定义X 上的运算符如下：对任意m ，n m n
等于m+n 除以10的余数，给定初值n 0X ，记n 1=n 0n 0，n k =n k −1n 0，k=1，2，3……，则使得数列{n k }取遍X 中所有元素的初值n 0的集合是_______．
A ．
B ．X
C ．{1，3，9}
D ．{1，3，7，
9}
16．“要使函数f （x ）成立，只要x 不在区间[a ，b ]内就可以了”的意思是_________． A ．如果f （x ），则x
[a ，b ]
B ．如果x
[a ，b ]，则f （x ）<0
C ．如果x
[a ，b ]，则f （x ）
D ．前面三个解释都不准确
17．实轴R 中的集合X 如果满足：任意非空开区间都含有X 中的点，则称X 在R 中稠密，那么，“R 中集合X 在R 中不稠密”的充分必要条件是_________．
A ．任意非空开区间都不含有X 中的点
B ．存在非空开区间不含有X 中的
点
C ．任意非空开区间都含有X 的补集中的点
D ．存在非空开区间含有X 的补集
的点
18．某种细胞如果不能分裂而死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为1/2，现在有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是________．
A ．
39
64
B ．
2564
C ．
3164
D ．
2964
19．设有n +1个不同颜色的球，放入n 个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一个球，则不同的放法有_______．
A．（n+1）!种B．n（n+1）!种C．1
2
（n+1）!种D．
1
2
n
（n+1）!种
20．设X是含n（n>2）个元素的集合，A，B是X中的两个互不相交的子集，分别含有m，k（m，k）个元素，则X中既不包含A也不包含B的子集个数是_________．A．B．
C．D．
21．三棱柱ABC−A’B’C’的底是边长为1的正三角形，高AA’=1，在AB上取一点P，设三角形PA’C’与底的二面角为，三角形PB’C’与底的二面角为，则tan（）的最小值为_______．
A．33
B．
63
C．
83
D．
3
8
-
22．半径为R的球的内部装有4个有相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值是
________．
A
3
23
+
． B
6
36
+
C
13
+
R
D
5
25
+
R
23．平面上三条直线x−2y+2=0，x−2=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分成六个部分，
则k可能的取值情况是_________．
A．只有唯一值B．可取两个不同值C．可取三个不同值D．可取无穷多个值
24．设三角形ABC的三边之比AB:BC:CA=3:2:4，已知顶点A的坐标是（0，0），B的坐标是（a，b），则C的坐标一定是_______．
A．
715715
,
666
a b a
⎛⎫
±
⎪
⎪
⎝⎭
B．
715715
,
888
a b a
⎛⎫
±
⎪
⎪
⎝⎭
C ． 715715,6666a b b a ⎛⎫
±±
⎪ ⎪⎝
⎭
D ． 715715,8888a b b a ⎛⎫
±±
⎪ ⎪⎝
⎭ 25．设实数a ，b ，c 0，,,bc ca ab
a b c
成等差数列，则下列不等式一定成立的是______． A ．|b||ac|
B ．b
2
|ac| C ．a
2
D ．|b|||||
2
a c +≤
26．已知x 2
−（tan ）x +1=0（0<<π），且满足x +x 3
+…+x
2n+1
+…=
3
2
，则的值是______．
A ．
5,
66ππ
B
,63
ππ C ．
2,33
ππ
D ．
25,,,3366
ππππ
27．设a >0，极坐标方程，0
，所表示的曲线大致是______
28．设数列{a n }，{b n }满足b n = a n −a n −1，n =1，2，3…，如果a 0=0，a 1=1，且{b n }是公比为2的等比数列，又设S n =a 1+a 2+…+a n ，则lim
n
n n
S a →∞=__________．
A ．0
B ．
12
C ．1
D ．2
29．复平面上点z o =1+2i 关于直线l ：|z −2−2i|=|z |的对称点的复数表示是_______． A ．−I
B ．1−I
C ．1+I
D ．i
30．设实数r >1，如果复平面上的动点z 满足|z |=r ，则动点w =z +的轨迹是________． A ．焦距为4的椭圆 B ．焦距为
4
r 的椭圆 C ．焦距为2的椭圆
D ．焦距为2
r
的椭圆
31．给定一组向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），c =（c 1，c 2，c 3），如果存在不全为0的实数k 1，k 2，k 3，使得k 1a +k 2b +k 3c =0（0表示0向量），则称向量组a ，b ，c 是线性相关的，下面各组向量中，哪一组向量a ，b ，c 是线性相关的？___________．
A ．a =（1，2，1），b =（−1，3，2），c =（3，1，0）
B ． a =（1，2，1）， b =（−1，3，2）， c =（0，1，−1）
C ． a =（1，2，0）， b =（−1，3，2）， c =（0，1，−1）
D ． a =（1，2，1）， b =（−1，0，2）， c =（0，1，−1） 32．设向量x =（cos cos
），y =cos sin 333θψθψθ⎫
⎪⎭
，
其中02
π
θ≤≤
，如果|x |=|y |，则向量x 和y 的最大值是_________． A ．2π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
6
π。