高中数学椭圆中的焦点弦问题 (1)
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴12AB y -==∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有： ()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()a A B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MNAB ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n，则AB =，设倾斜角为θ，则cos θ=，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4abm n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4. 例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448θθθθθ=--=-（） 设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦， 则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+ min 99142()8f t -=,此时2t =， 即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。
椭圆中互相垂直的弦过定点问题 - (原创)
椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b+。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m-代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x a b=+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
椭圆焦点弦结论
椭圆焦点弦结论
椭圆焦点弦结论：第一类是常见的基本结论；
第二类是与圆有关的结论；
第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；
第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。
1、以焦点弦为直径的圆与准线相切（用抛物线的定义与梯形的中位线定理结合证明）2、1/|AF|+1/|BF|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）3、当且仅当焦点弦与抛物线的轴垂直（此时的焦点弦称为“通径”）时，焦点弦的长度取得最小值2p。
4、如果焦点弦的两个端点是A、B，那么向量OA与向量OB的数量积是-0.75p^2
第五类是1/|AF|+1/|BF|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）。
第六类是当且仅当焦点弦与抛物线的轴垂直（此时的焦点弦称为“通径”）时，焦点弦的长度取得最小值2p。
第七类是如果焦点弦的两个端点是A、B，那么向量OA与向量OB的数量积是-0.75p^2。
第八类是如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。
专题26 椭圆的焦点弦被焦点分成定比-2021年高考数学一轮复习优拔尖必刷压轴题(选择题、填空题)
专题26 椭圆的焦点弦被焦点分成定比【方法点拨】1. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆相交于A B、两点，直线l 的倾斜角为θ，且=()AF FB λλ＞0，则e θλ、、间满足1cos 1e λθλ-=+. 2.长短弦公式:如下图,长弦=1cos ep AF e θ-,短弦=1cos epBF e θ+(其中p 是焦参数，即焦点到对应准线的距离，θ是直线l 与x 轴的夹角，而非倾斜角).说明：公式1的推导使用椭圆的第二定义，不必记忆，要有“遇过将焦半径转化为到准线距离”的意识即可.【典型题示例】例1 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的离心率为________． 【答案】：3【解析】如图，设直线AB 的倾斜角为θ则12Rt AF F ，21212,b F F c AF a==所以422cos 4b c a θ=+FxABO由|AF 1|＝3|F1B |、长短弦公式得：31cos1cosep epe eθθ=-+，化简得：2cos1eθ=代入得：42214bca=+，即224222214444b a ce ea c ac e⎛⎫-⎛⎫=+=+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解之得：213e(负值已舍)，所以33e.例2 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A，B两点．若AF→＝3FB→，则k＝________.【答案】2【解析】如右图，设l为椭圆的右准线，过A、B分别向l作垂线AA/、BB/，A/、B/分别是垂足，过B作AA/垂线BD，D是垂足设BF=t ，AF=3t则tBBe'=，3tAAe'=Rt ABD中，2,4tAD AB te==故1cos23ADAB eθ===xDFBBAyOB/A/又k >0，所以tan k θ==.【巩固训练】1. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF＝2FD ，则C 的离心率为________．2. 已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．【答案或提示】1.【答案】332.【答案】3+。
高中数学圆锥曲线系统讲解第8讲《椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式》练习及答案
第8讲 椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式知识与方法1．椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为F ，P 为椭圆上任意一点，设PFO α∠=，则椭圆的焦半径2cos b PF a c α=−，若延长PF 交椭圆于另一点Q ，则椭圆的焦点弦22222cos ab PQ a c α=−. 2．双曲线()222210,0x y a b a b −=>>的一个焦点为F ，P 为双曲线上任意一点，设PFO α∠=，则双曲线的焦半径2cos b PF c aα=±，若直线PF 交双曲线于另一点Q ，则双曲线的焦点弦22222cos ab PQ a c α=−.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P 和F 是否位于y 轴同侧决定，同正异负）典型例题【例1】已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =______；若AF BF >，则:AF BF =______. 【解析】如图，设AFO α∠=，则45α=︒由焦点弦公式，2222222228cos 42cos 453ab AB a c α︒⨯⨯===−−⨯，由焦半径公式，22cos b AF a c α===−，23BF ==，所以:3:1AF BF =.【答案】83，3:1变式1 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =______【解析】设直线l 的倾斜角为α，则tan 2α=，所以cos α=，由焦点弦公式，22222222220cos 942ab AB a c α⨯⨯===−−⨯⎝⎭. 【答案】209变式2 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若3AF =，则AB =______.【解析】设AFO α∠=，则由焦半径公式，23cos b AF a c α===−，解得：cos 3α=，由焦点弦公式，2222218cos 5ab AB a c α==−. 【答案】185变式3 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若AF BF AF BF λ+=⋅，则λ=________.【解析】设AFO α∠=，则BFO πα∠=−，由焦半径公式，2cos b AF a c α==−，()2cos b BF a c πα==−−，所以112AF BF +==，从而2AF BF AF BF +=⋅，即2λ=.【反思】一般地，设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C于A 、B 两点，则2112aAF BF b +=.变式4 已知椭圆222:14x y C b+=()02b <<的右焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若167AB =，则椭圆C 的离心率为________. 【解析】由焦点弦公式，()222222222216cos 744cos 60ab b AB a c b α⨯⨯===−−−⨯︒，解得：22b =，所以e =.变式5 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若2AF 、AB 、2BF 成等差数列，则椭圆C 的离心率为______. 【解析】直线l 的斜率为1l ⇒的倾斜角45α=︒，由焦点弦公式，22222cos 45ab AB a c =−︒，2AF 、AB 、2BF 成等差数列222223AB AF BF AB AF BF AB ⇒=+⇒=++， 如图，由椭圆定义可得224AF BF AB a ++=， 所以34AB a =，故222264cos 45ab a a c =−︒， 化简得：22232b a c =−，所以2222332a c a c −=−，从而224a c =，故椭圆C 的离心率12c e a ==.【答案】12【例2】过双曲线22:142x y C −=的右焦点且斜率为的直线截该双曲线所得的弦长为【解析】k =⇒直线的倾斜角60α=︒，由焦点弦公式，222222222165cos 46cos 60ab AB a c α⨯⨯===−−︒. 【答案】165变式1 过双曲线22:142x y C −=的右焦点F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若8AB =，则直线l 的方程为_______.【解析】由题意，2a =，b =，c =)F，设直线AFO α∠=，则由焦点弦公式，22222248cos 23cos ab AB a c αα===−−，解得：25cos 6α=或12，若25cos 6α=，则21sin 6α=，所以21tan 5α=，从而直线l 的斜率tan 5k α==，故直线l 的方程为y x =−； 若21cos 2α=，则21sin 2α=，所以2tan 1α=，从而直线l 的斜率tan 1k α==±，故直线l 的方程为(y x =±；综上所述，直线l 的方程为5y x =或(y x =±【答案】5y x =±−或(y x =± 变式2 过双曲线22:142x y C −=的右焦点F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若23AF =，则BF =______.【解析】设AFO α∠=，因为23AF =，所以点A 必在双曲线右支上，由焦半径公式，22cos 3b AF c a α===+，解得：cos α=，所以sin α=，从而tan αC 的渐近线的斜率为2±，2>，所以点B 也在双曲线的右支上，如图， 由图可知，BFO AFO ππα∠=−∠=− 所以()22cos b BF c a πα==−+.【答案】2强化训练1.（★★）已知椭圆22:143x y C +=的左焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =_______.【解析】由焦点弦公式，22222222316cos 51412ab AB a c α⨯⨯===−⎛⎫−⨯ ⎪⎝⎭. 【答案】1652.（★★）已知椭圆22:193x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若3AB =，则直线l 的方程为________.【解析】设直线l 的倾斜角为α，由焦点弦公式，2222222333cos 96cos ab AB a c αα⨯⨯===−−⨯，从而cos 2α=，所以45α=︒或135°，从而直线l 的斜率为1±，显然()F ，故直线l的方程为y x =+或y x =−.【答案】y x =+或y x =−−3.（★★★）已知椭圆22:142x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则2ABF 的面积为________. 【解析】如图，由焦点弦公式，222228cos 3ab AB a c α==−， 所以21218sin 4523ABF SF F AB =⋅⋅︒=.【答案】834.（★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>一个焦点为F ，过F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若34AB a =，则椭圆C 的离心率为________.【解析】由题意，直线l 的倾斜角为45°，由焦点弦公式，22222cos 45ab AB a c =−︒，因为34AB a =，所以222264cos 45ab a a c =−︒，结合222b a c =−化简得：222a c =，故离心率2c e a ==.【答案】25.（★★★）已知F 是椭圆22:142x y C +=的左焦点，过F 且不与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，弦AB 的中垂线交x 轴于点M ，则AB FM=________.【解析】解法1：如图，由对称性，不妨设直线的倾斜角为锐角，A 在x 轴下方， 则22222442cos 2cos AB αα⨯⨯==−−，AF ==，所以21222cos FN AN AF AB AF α=−=−==−，从而cos FN FM α==AB FM=解法2（特值法）：考虑AB y ⊥的情形，此时4AB =，M与原点重合，所以FM =AB FM=【答案】6.（★★★）如图，椭圆22:12x C y +=的左焦点为F ，过F 作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于A 、B 和D 、E 四点，则四边形ADBE 的面积的取值范围是________.【解析】设AFO α=，不妨假设02πα≤≤，则2EFO πα∠=+，由焦点弦公式，AB =22cos 2DE α=−+ ⎪⎝⎭， 所以四边形ADBE 的面积()()2222114222cos 2sin 2cos 2sin S AB DE αααα=⋅=⨯⨯=−−−− 2222241642sin 2cos sin cos 8sin 2ααααα==−−++，显然20sin 21α≤≤，所以1629S ≤≤，即四边形ADBE 的面积的取值范围是16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【答案】16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.（★★★）双曲线22:1C x y −=的右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若4AB =，则直线l 的方程为________. 【解析】由题意，1a b ==，c =)F，设直线AFO α∠=，则由焦点弦公式，22222224cos 12cos ab AB a c αα===−−，解得：23cos 4α=或14， 若23cos 4α=，则21sin 4α=，所以21tan 3α=，从而直线l的斜率tan k α==， 故直线l的方程为y x =；若21cos 4α=，则23sin 4α=，所以2tan 3α=，从而直线l的斜率tan k α==故直线l的方程为y x =，综上所述，直线l的方程为y x =或3y x =±【答案】y x =−或3y x = 8.（★★★）双曲线22:163x y C −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若213AF AF =，则2BF =________.【解析】由题意，21213AF AF AF AF ⎧=⎪⎨−=⎪⎩，所以1AF =1AFO α∠=，则21cos b AF c a α==+，所以=，解得：cos α=，从而sin α==sin tan cos ααα==C的渐近线斜率为，因为<，所以点B 也在左支上，且1BFO πα∠=−， 故()22cos b BF c aπα===−+【答案】39.（★★★）双曲线22:13y C x −=的左焦点为F ，点P 在双曲线C 的右支上，且5PF =，则PFO 的面积为________.【解析】解法1：由题意，1a =，b =2c =，设PFO α∠=，由焦半径公式，23cos 2cos 1b PF c a αα==−−，又5PF =，所以352cos 1α=−，解得：4cos 5α=，所以3sin 5α=，如图，显然113sin 523225PFOS PF OF α=⋅⋅=⨯⨯⨯=. 解法2：由题意，1a =，2c =，离心率2e =，设()00,P x y ，由焦半径公式，0125PF x =+=，又5PF =，所以0125x +=，解得：02x =或3−，因为P 在右支上，所以02x =， 代入双曲线方程可求得03y =±，所以01123322PFOSOF y =⋅=⨯⨯±=. 解法3：如图，设双曲线C 的右焦点为1F ，由双曲线定义，12PF PF −=，又5PF =，所以13PF =， 易求得14FF =，所以22211PF FF PF +=，故11PF FF ⊥， 所以1111143622PFF SFF PF =⋅=⨯⨯=， 显然O 是1FF 的中点，所以1132PFOPFF SS ==.【答案】3。
【高中数学】秒杀秘诀MS18焦点弦性质定理
MF1 BF1
1
;
1 2
MF1 AF1
MF1 BF1
2
MF1
1 AF1
1 BF1
2
c cos
a
ccos b2
a
ccos b2
2
2c2 b2
2
2a2 b2
9.已知椭圆γ：
=1 的右焦点为 F，左顶点为 R，点 A（2，1），B（﹣2，1），O 为坐标原点．
（1）若 P 是椭圆γ上任意一点，
4a2 b2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
1 1
e2 e2
2.证明同椭圆一致，略。
3.证明：
AF
xA
p , BF 2
xB
p 2
AF AP
cos ；
BF BP
cos
；即
PA
AF cos
；PB
BF cos
；
8.已知方向向量为 e (1, 3) 的直线 l 过点 A(0, 2 C 的中心 O 和椭圆的右准线上的点 B 满足：OBe
a2
b 2c c2cos2
，故 | DF | | AB |
b2c 2ab2
c 2a
e 2
2.证明：当直线 AB 与双曲线交于一支时，证明过程同椭圆一致；当直线 AB 与双曲线交于两支时，
| BF
|
b2 ccos
a
，|
AF
|
b2 ccos
a
,|
AB |
2ab2 c2cos2 a2
, | CF
|
b2ccos c2cos2 a2
（Ⅲ）是否存在实数 t，使得|AF2|+|BF2|=t|AF2|•|BF2|恒成立？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由．
专题22 椭圆(解答题压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题22 椭圆（解答题压轴题）目录①椭圆的弦长（焦点弦）问题 (1)②椭圆的中点弦问题 (10)③椭圆中的面积问题 (15)④椭圆中的参数和范围问题 (22)⑤椭圆中的最值问题 (28)⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 (35)⑦椭圆中向量问题 (42)⑧椭圆综合问题 (48)所以()2216432224m m ∆=-⨯⨯-=解得33m -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆C上一点．(1)求C的方程；(2)设M，N是C上两点，若线段MN3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得(x 所以()()(1212124x x x x y y +-++又因为P 是DE 中点，所以1x +3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）令21230t k=->，故24k=当且仅当12tt=，即23,t k=故AOBV面积的最大值为3.）由题意得，四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积1S AC=⋅令235t n -=，得2716970n n -+=，解得7n =或977n =，从而2t =±或11621t =±.故直线l 的方程为23x y =±-，或116x =±④椭圆中的参数和范围问题1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点）显然直线l 的斜率存在，设直线:1l y kx =+，1,1)y ，2(B x ,2)y ，则2(D x λ,2)y λ，四边形OAED 为平行四边形，AE =，12(E x x λ+,12)y y λ+，A ，B ，E 均在椭圆C 上，2114y +=，2222194x y +=，221212()()194x x y y λλ+++=，0，2129180x y y λ++=，依题意，设直线l 的方程为(1)(y k x =-易得12x x <．联立方程组()221,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得则2122814k x x k +=+，()21224114k x x k -=+，）得()20A ，，设直线l 的方程为x =2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2242m y mty ++()()()222Δ244416mt m t m =-+-=2mt 24t -）C 短轴顶点时，PAB V 的面积取最大值222a b c =+，解得2,a b =的标准方程为2214x y += .）1122(,),(,)P x y Q x y ，若直线PQ 的斜率为零，由对称性知1111022y y x x -==++，222y k x -=-设直线PQ 的方程为x ty n =+由()2224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，得(2k +()()(22121k x k x ⎡⎤++-+⎣⎦解得()22211k x k -=+或x =-）)()0011,,,x y A x y ，()22,B x y ，则可设直线PA 的方程为1x my =-，其中221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得(234m +）为椭圆C 的左顶点，又由（1）可知：(2,0)M -，设直线联立方程可得：222(44x ty mt x y =+⎧⇒+⎨+=⎩()()22224(4)40mt t m =-+->，即设直线:l y kx m =+交该椭圆220x +将y kx m =+代入221205x y +=得()2221484200k x kmx m +++-=设()11,D x y ，()22,E x y ，则21221621k x x k +=+，12x x ∴()1212542x x x x =+-，又()2,0A -，()2,0B ，∴直线AD 的方程为()1122y y x x =++，直线BE 的方程为1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆长轴长为6．(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上下顶点分别为,A B，右顶点为C，过点于x轴对称，直线AP交BC于M，直线AQ交BC于点【答案】(1)221 94x y+=(2)证明见解析【详解】（1）根据题意可知26a=，可得3a=；联立直线与椭圆方程221942x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去设(),P P P x y ，易知P x 和0是方程的两根，由韦达定理可得又2P P y kx =+，所以2218894P k y k -=+，即1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆3。
椭圆的综合问题(1)-弦长问题、中点弦问题(学生版)
椭圆的综合问题（1）——弦长、中点弦问题姓名______________2018.03一、知识点及学习目标：（1）弦长公式：（2）中点弦问题：二、例题分析：1．椭圆22143x y+=的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点．（1）求△ABF2的周长；（2）若l的倾斜角为4π，求弦长|AB|．2．已知椭圆的两个焦点坐标分别是（，0），，0），并且经过点（2，6）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为k的直线l经过点（0，﹣2），且与椭圆交于不同的两点A、B，求△OAB面积的最大值．3．已知：椭圆221164x y+=，求：（1）以P（2，﹣1）为中点的弦所在直线的方程；（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．三、课堂反馈：1．已知F1（﹣1，0）、F2（1，0）为椭圆C的左、右焦点，且点P（1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线1y x=+与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|．2．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为F 1、F 2，该椭圆的离心率为2，A 是椭圆上一点，AF 2⊥F 1F 2，原点O 到直线AF 1的距离为13． （1）求椭圆的方程；（2）是否存在过F 2的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足△AOB 的面积为23，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．3．在椭圆221164x y +=内以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为 ．四、课后巩固：第60-61页2/51．已知点A （0，﹣2），椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点． （1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的动直线与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．2．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F （1，0），点A （2，0）在椭圆C 上，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线过点F （1，0），求线段MN 的长；（3）若直线l 过点（m ，0），且以MN 为直径的圆恰过原点，求直线l 的方程．3．已知P （1，1）为椭圆2224x y +=内一定点，过P 引一条弦，使此弦以P 为中点，求弦所在的直线方程．。
椭圆中定点定值问题(与焦点弦有关)
椭圆中的“定”二、与椭圆的焦点弦有关4. 椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的离心率为e ，PQ 为过椭圆焦点2F 而不垂直于x 轴的弦，且PQ的中垂线交x 轴于R ，则22PQ F R e=. 5.PQ 为过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的一个焦点2F 的弦，2F K 为焦准距，e 为椭圆的离心率，则222112PF QF e F K+=.6.（1）PQ 为过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 焦点F 的弦，PQ 的中垂线交F 所在的椭圆的对称轴于R ，直线RF 交F 所对应的准线于K ，则P 、K 、Q 、R 四点共圆.（2）弦MN （异于长轴）过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，过椭圆左顶点1A 的两条直线11,A M A N交椭圆的准线l 于,S T 两点,则以ST 为直径的圆一定过椭圆的右焦点2F 和2F 关于准线的对称点.（3）弦MN 过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，椭圆的准线l 交椭圆的对称轴于点D ,则22MDF NDF ∠=∠.（4）P 为椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 上任一点，2F 为椭圆右焦点，过P 作椭圆的切线交椭圆的右准线于点N ，则222ON PF b k k a=-.7.(1,2,3,)n n P Q n =为过圆锥曲线的一个焦点2F 的弦，n n P Q 的中垂线交2F 所在的曲线的对称轴于n R ，则过,,(1,2,3,)n n n P Q R n =的圆必交于同一点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭.8. 弦AB （异于长轴）过椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 的焦点，过B A ,两点分别作椭圆的两条切线交圆222x y a +=于,M M '两点，则（1）MM '是圆222x y a +=的一条直径，且四边形MM BA '为梯形；（2）角APB ∠为锐角；（3）若两切线的交点为P ，当点P 为2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，APB ∆的面积最小，其最小值为4b ac.9.在椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 通径（过焦点且垂直于焦点轴的弦）的延长线上任取一点()00,P x y 作椭圆两条切线12,PP PP ，则切点弦12PP ，x 轴和准线l 三线共点.10.直线l 是过椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，它与经过椭圆左顶点1A 的切线交于点N ，椭圆的左焦点F 和点N 的的连线FN 与左准线交于点M ，则椭圆的右顶点2A ，切点P 及点M 三点共线.11.直线l 是过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，它与经过椭圆右顶点2A 的切线交于点N ，椭圆的左焦点F 和点N 的的连线FN 与左准线交于点M ，则椭圆的左顶点1A ，切点P 及点M 三点共线.12.直线l 是过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，过该椭圆右的左焦点1F 作1F N l ⊥，且与椭圆的左准线交于点M ，则椭圆的中心O ，切点P 及点M 三点共线.、13. 如图，点F 是椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 的右焦点，直线l 是椭圆的右准线，点P 在椭圆上且PF x ⊥轴，AB 是经过右焦点F的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，则2PA PB PM k k k +=.14. 过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的焦点(),0F c 作倾斜角为θ的直线，交椭圆于,A B 两点，则2221cos ep AB e θ=-（e 为离心率，p 为焦参数（通径长的一半））. 15. 弦AB 过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的焦点F ，且AF FB λ=（点A 位于点B 之上），则弦AB 所在直线的斜率()()()222110,11e k λλλλ+=-≠≠±-.。
《椭圆》解答题 (1)及详细解答
《椭圆》解答题（1）1、设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF →·2PF →的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，求直线l 的斜率k 的取值范围. 【解】（Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c ===,所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-u u u r u u u u r因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r有最小值2-当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r有最大值1解法二：易知2,1,a b c ===())12,F F设(),P x y ，则22212121212121212cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r((22222211232x y x y x y ⎡⎤=++++-=+-⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件 可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =+，联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭由343)41(4)4(222-=⨯+-=∆k k k >0 得：2323-<>k k 或2、已知椭圆的一个顶点为()0,1A -，焦点在x轴上，若右焦点到直线0x y -+=的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时， 求m 的取值范围.【解】（1）依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点F的坐标为)，3=，解得23a =，故所求椭圆的标准方程为2213x y +=.（2）设(),P p P x y 、(),M M M x y 、(),N N N x y ，其中P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222316310k x mkx m +++-= 因为直线与椭圆相交于不同的两点，所以()()()2226431310mk k m ∆=-+⨯-> 即2231m k <+ ①，2631M N mk x x k +=-+，所以23231M N P x x mkx k +==-+， 从而231P P m y kx m k =+=+ , 所以21313P AP P y m k k x mk+++==-， 又AM AN =，所以AP MN ⊥，因而23113m k mk k++-=-，即2231m k =+ ②， 把②式代入①式得22m m <，解得02m <<， 由②式得22103m k -=>，解得12m >，综上所述，求得m 的取值范围为122m <<.3、如图，A ,B是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个顶点,AB =AB 的斜率为12-．（1） 求椭圆的方程；（2）设直线l 平行于AB ，与,x y 轴分别交于点M N 、，与椭圆相交于C D 、， 证明：△OCM 的面积等于△ODN 的面积．【解】（1）解：依题意，),0(),0,(b B a A ，22b a AB +=，2100-=-=--=ab ab k整理得1,2ba ⎧=⎪解得 2a =，1b =． 所以 椭圆的方程为2214x y +=． （2）证明：由于l //AB ，设直线l 的方程为12y x m =-+，将其代入2214x y +=，消去y ，整理得2224440x mx m -+-=．设11(,)C x y ，22(,)D x y ．所以 22122121632(1)0,2,2 2.m m x x m x x m ⎧∆=-->⎪+=⎨⎪=-⎩证法一：记△OCM 的面积是1S ，△ODN 的面积是2S ．由(2,0)M m ，(0,)N m ，则12S S =⇔1211|2|||||||22m y m x ⨯⨯=⨯⨯⇔12|2|||y x =因为 122x x m +=，所以 11121|2||2()||2|||2y x m x m x =⨯-+=-+=，从而12S S =．证法二：记△OCM 的面积是1S ，△ODN 的面积是2S ．则12S S =⇔||||MC ND =⇔线段,CD MN 的中点重合． 因为 122x x m +=，所以 122x x m +=，1212112222y y x x m m ++=-⋅+=．故线段CD 的中点为1(,)2m m ． 因为 (2,0)M m ，(0,)N m ，所以 线段MN 的中点坐标亦为1(,)2m m 从而12S S =． 4、已知直线l ：220mx y m -+=(m ∈R)和椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x , 椭圆C 的离心率为22，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为22. ⑴求椭圆C 的方程；⑵直线l /与椭圆C 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围；⑶当2=m 时，设直线l 与y 轴的交点为P ，M 为椭圆C 上的动点，求线段PM 长度的最大值。
高中数学椭圆的焦点三角形
则SPF1F2
_b_2__ta_n____
2
，设F1PF2
yP
，
.
.
F1 0
F2
x
7
例题、
设椭圆 x2
9
y2 4
1的左右焦点为 F1 和 F2 ，点 P 在椭圆上，
且 F1PF2 600 ，求△PF1F2 的面积. 4 3
3
变式
1、已知 F1 、 F2 是椭圆
x2 9
y2 4
1的两个焦点，P
1(a b 0)
3.椭圆中a,b,c的关系是: a2=b2+c2
2
新课引入
以椭圆上一点P和两焦点F1、F2为顶点的三角形 叫做椭圆的焦点三角形。
3
关于椭圆焦点三角形的常见问题：
1 焦点三角形的周长问题 2 焦点三角形的面积问题 3 焦点三角形的顶角问题
4
1 焦点三角形的周长问题
例题、
设椭圆 x2
椭圆的焦点三角形
1
复习回顾
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点
的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在x轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
当焦点在y轴上时
y2 a2
x2 b2
F1，F2是椭圆
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0的两个焦点，
P是椭圆上一点 (长轴端点除外) ，设F1PF2 ，
则当点P在短轴端点时， 最大。
椭圆
9
例题、若 P 在椭圆
x2 9
高中数学椭圆中的经典结论
高中数学中椭圆的经典结论（一）1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-， 即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程22002222x x y y x y a b a b+=+.高中数学中椭圆的经典结论（二） 1. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b -=.2. 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）. 3. 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin c e aαβγ==+.5. 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8. 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.则（1）22221111||||OP OQ a b+=+; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +; （3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b+.。
椭圆的弦中点问题解析版(供参考)
东光一中 高二 年级 数学 学科课时练出题人： 许淑霞 出题时间：椭圆的中点弦问题学案学习目标：会求与椭圆的中点弦有关的问题掌握一种思想：设而不求，整体代换的思想体会两种方法：判别式法与点差法学习重点：能解决与椭圆的中点弦有关的问题 学习过程：一、方法总结：1、与椭圆的弦的中点有关的问题，我们称之为椭圆的中点弦问题。
2、解椭圆的中点弦问题的一般方法是：（1）判别式法：联立直线和椭圆的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解。
（2）点差法：若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
3、设直线的技巧：（1）直线过定点时引入参数斜率，利用点斜式设方程，注意讨论斜率存在与不存在两种情况。
（2）直线斜率一定时引入参数截距，利用斜截式设方程。
（3）已知一般直线可设直线的斜截式方程，利用条件寻找k 与b 的关系。
3、直线与椭圆相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。
这类问题一般有以下三种类型：（1）求过中点的弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程二、题型复习：（一）、求过中点的弦所在直线方程问题例1、已知椭圆1222=+y x ，求过点p (12,12)且被点p 平分的弦所在直线方程 注意：解决过中点的弦的问题时判断点M 位置非常重要。
（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。
结论：（1） 设椭圆12222=+b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y ，则0022y x a b k AB•-=,22AB op b k k a=- （2） 设双曲线12222=-b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0022y x a b k AB •=。
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用(一)
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（一）专题17 椭圆与双曲线共焦点问题微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（一） 【微点综述】圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考． 一、常用结论【结论1】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，则0000,,y am bn bnx y c c x am===． 证明：由已知得222222221,1,x y a b x y m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()22222222222222221111,a m b n x x a n b m b n a n b m +⎛⎫+=+∴= ⎪+⎝⎭， 又()()()2222222222222a n mbc b n c n b b n c +=++-=+，因此22202,a m amx x c c=∴=．又222222222200000022222201,11,,x y x y a m b n bn bn y b b y a b a c a c c x am ⎛⎫⎛⎫+=∴=-=-=∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【结论2】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则1222221212,,PF F PF PF a m PF PF b n S bn ∆⋅=-⋅=-=．证明：由椭圆与双曲线的定义得12122,2,PF PF a PF PF m ⎧+=⎪⎨-=±⎪⎩两式分别平方再相减得2212PF PF a m ⋅=-．()()()222212121221cos 4,421cos 4PF PF PF PF c a PF PF c θθ∴+-⋅+=∴-⋅+=，()2121cos 2PF PF b θ∴⋅+=，同理可得()2121cos 2PF PF n θ⋅-+=-，()()()22221212121cos 1cos 2,cos PF PF PF PF b n PF PF b n θθθ∴⋅++⋅-+=-∴⋅=-，2212PF PF b n ∴⋅=-．由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得 1212222222tan ,tan ,22tan 2PF F PF F n n nS b S b bnb bθθθ∆∆==∴=∴=⋅=． 【结论3】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n -=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则2222tan ,cos 2n b n b a m θθ-==-．证明：由结论2得222tan 2n bθ=，又tan 0,tan 22n b θθ>∴=． 注意到221212221212cos ,cos PF PF PF PF b n a mPF PF PF PF θθ⋅⋅-=∴==-⋅⋅．【结论4】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n -=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，则222212n b b n e e ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明：222222222222222222221212111,1,a b c b m c n n n b b n e c c c e c c c e e ⎛⎫⎛⎫+-===+===-∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【评注】结论4反映1212,,,e e b b 之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是2211,e e ，分子分别是2221,b b ，等式右边是1b 与2b 的平方和．【结论5】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则2212sin cos 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=． 证明：证法1：在12PF F ∆中，由余弦定理得22212122cos 4PF PF PF PF c θ+-⋅=，即2222212122cos sin 422PF PF PF PF c θθ⎛⎫+-⋅-= ⎪⎝⎭，()()22221212222221212sin cos 4,sin cos 1222222PF PF PF PF PF PF PF PF c c c θθθθ⎛⎫⎛⎫+-∴++-=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212sin cos 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，亦即22121cos 1cos 2e e θθ-++=． 证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为1b ，双曲线的虚半轴长为2b ，则121tan 2PF F S b θ=△，1222tan2PF F b S θ=△，所以2221tan 2tan 2b b θθ=，2221b a c =-，2222b c m =-， ()()22222tan 2a c c m θ-=-，整理得：222212sin cos 221e e θθ+=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=．【结论6】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，点()00,P x y 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则椭圆1C 与双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线相互垂直．证明：椭圆1C 在点()00,P x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，该切线的斜率为20120x b k y a =-， 双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线00221x x y ym n-=，该切线的斜率为20220x n k y m =，222220001222222000x b x n x b nk k y a y m y a m∴=-⋅=-；又由结论1得222222222000122220,,1y b n y a m x b n k k x a m=∴=∴=-， 则椭圆1C 与双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线相互垂直．【结论7】若点()00,P x y 是椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>的一个公共点，且它们在点()00,P x y 处的切线相互垂直，则椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点．证明：由已知得222222221,1,x y a b x y m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()22222222222222221111,a m b n x x a n b m b n a n b m +⎛⎫+=+∴= ⎪+⎝⎭， 因此()2222222222000222222222222222222211,11m b n x y x b n a m a m a n b m b n n a n a n b m a n b m ⎡⎤+⎛⎫+-⎢⎥==-=-= ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 由已知得222222222220000012222222222222222220001,,x b x n x b n x y b n a m k k y a y m y a m a m b n a n b m a n b m+-=-⋅=-=-∴=∴=++，22222222,,a m b n a b m n ∴-=+∴-=+∴椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点．二、应用举例共焦点的椭圆与双曲线问题一般有如下八类题型： （一）公共点问题； （二）公共焦点三角形问题； （三）角度问题；（四）公共点处切线有关问题； （五）求离心率的值（或取值范围）；（六）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题； （七）求12u ve e +（,u v 为正常数）型最值问题； （八）求2212ke le +（,k l 为正常数）型最值问题.下面我们举例说明题型（一）至（三）及其解题方法． （一）公共点问题1．已知点1F ，2F 分别为椭圆221:110xC y +=的左、右焦点，椭圆1C 与双曲线222:18x C y -=的一个交点为P ，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为k ，则k =___________． （二）公共焦点三角形问题2．已知椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2222:10x C y m n-=>有公共焦点12,F F ，P是它们的一个公共点，则12PF F △的面积为_________，12PF F △的形状是_________．例3．（2022·上海·高三专题练习）3．已知1(2,0)F -､2(2,0)F ，设P 是椭圆2228x y +=与双曲线222x y -=的交点之一，则12PF PF ⋅=___________.4．椭图221:116x y C m +=与双曲线222:18x y C n-=有相同的焦点1F ，2F ，P 为两曲线的一个公共点，则12PF F △面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2D ．（三）角度问题5．设椭圆2211128x y C +=：与双曲线2221(0):C mx y m -=>有公共的焦点1F ，2F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，则12cos F PF ∠的值为（ ） A ．79B ．29C ．14D ．19例6．（2022浙江嘉兴市·高二月考）6．设椭圆22162x y += 与双曲线2213x y -= 有公共焦点1F ，2F ，P 是两条曲线的一个公共点，则12cos F PF ∠ 等于__________． 【强化训练】 一、单选题（2023·全国·高三专题练习）7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22145x y -=B ．221810x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=（2022·广东·惠来县第一中学高二月考）8．已知椭圆2219x y +=与双曲线22221x y a b -=共焦点12,F F ，设它们在第一象限的交点为P ，且120PF PF ⋅=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．7y x =B ．y =C ．y =D ．y = 9．若椭圆()22211x y m m+=>和双曲线()22210x y n n -=>有相同的焦点1F 、2F ，P 是两条曲线的一个交点，则12PF F △的面积是A ．4B ．2C ．1D 1 （2022·全国·高三专题练习（文））10．已知双曲线()221:10y C x m m+=≠与222:122x y C -=共焦点，则1C 的渐近线方程为（ ）A ．0x y ±=B 0y ±=C ．0x ±=D 0y ±=（2022·四川·阆中中学高二月考（文））11．设椭圆2214924x y +=和双曲线22124y x -=的公共焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则12F PF ∠的值为（ ）A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π（2022·福建省同安第一中学高二月考）12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ） A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=（2022河北·沧州市一中高二月考）13．若()1F ，)2F 是椭圆1C ：2218x y m+=与双曲线2C ：2214x y n -=的公共焦点，且P 是1C 与2C 一个交点，则12F PF ∠=（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π （2022广东·石门中学高二月考）14．已知双曲线C ：2222x y a b -=1(a >0，b >0)的离心率为32，且与椭圆22110x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22810x y -=1B ．2245x y -=1C ．2254x y -=1D ．22108x y -=1二、多选题（2022江苏·高二专题练习）15．若双曲线()2212:102x y C b b -=>与椭圆222:184x y C +=有相同的左右焦点1F ，2F ，且1C ，2C 在第一象限相交于点P ，则（ ）A ．1PF =B ．1C 的渐近线方程为y x =±C ．直线2y x =+与1C 有两个公共点D ．12PF F △的面积为（2022·全国·高三专题练习）16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有相同的焦点12,F F ，点P 为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，下列说法中正确的有（ ）A ．若a ＝2，b12PF PF ⊥，则1232PF F S =△ B ．若a ＝2，b212PF F F ⊥，则22e =C ．若a ＝5，m ，则b n +∈D ．若123F PF π∠=，且2e ∈，则1e ∈⎣⎦三、填空题（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）17．与椭圆2212449x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线方程为______．18．已知椭圆2214x y m+=与双曲线221y x n -=有公共的焦点1F ，2F ，若P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=______.19．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆()2211x y m m+=>和双曲线()2210xy n n-=>，点P 是它们的一个交点，则12F PF ∆面积的大小是________． （2016·上海市延安中学三模（文））20．已知椭圆2212:1(1)x C y a a+=>与双曲线2222:1(0)x C y m m -=>有公共焦点12,F F ，两曲线在第一象限交于点P ，PI 是12F PF ∠的角平分线，O 为坐标原点，1F G 垂直射线PI 于H 点，若1OH =，则=a _________．21．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有公共焦点12,F F ，点P 是两曲线的一个交点，若122PF PF ⋅=，则22b n +的值为_____________. （2022宁夏中卫·三模（理））22．已知椭圆()222:103x y C b b+=>与双曲线221:1C x y -=共焦点，过椭圆C 上一点P 的切线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点（1F 、2F 为椭圆C 的两个焦点）．又O 为坐标原点，当ABO 的面积最小时，下列说法所有正确的序号是__________． ①1b =；①当点P 在第一象限时坐标为⎭； ①直线OP 的斜率与切线l 的斜率之积为定值12-；①12F PF ∠的角平分线PH （点H 在12F F ．参考答案：1【分析】设点()00,P x y ，根据直线的斜率公式得到0y k x =；联立两方程解出0x ，0y ，即可代入得出答案.【详解】设点()00,P x y ，根据直线的斜率公式得到0y k x =， 联立方程22110x y +=与2218x y -=消去y ，得：222108x x +=，解得x =0x =，代入22110x y +=解得：13y =±，即013y =±，00001y y k x x ∴====2． 1 直角三角形【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得12,PF m n PF m n =+=-，进而根据勾股定理可判断直角三角形，进而可求面积.【详解】不妨设P 在第一象限，12,F F 为左右焦点，焦距为2c ，由椭圆和双曲线的定义可得：12122,2PF PF m PF PF n +=-=，故12,PF m n PF m n =+=-，又22211m n c -=+=，故可得22122PF PF m n =-=且()()2222222212122,42PF PF m n F F c m n +=+==+，故 2221212PF PF F F +=，因此12PF F △形状是直角三角形，以P 为直角， 1212112122PF F SPF PF ==⨯=， 故答案为：1；直角三角形. 3．6【分析】由于椭圆与双曲线共焦点，利用两者的定义列出等式求出112||,||PF PF 即可得到答案.【详解】椭圆和双曲线分别化为标准方程为22184x y +=、22122x y -=，可知两曲线共焦点， 设1122||,||PF r PF r ==，由定义有：121122r r r r r r ⎧⎧+==⎪⎪⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩11226r r r r ⎧=⎪⨯=⎨=⎪⎩. 故答案为：6.4．A【分析】由两曲线有相同焦点可得,m n 的关系，由椭圆与双曲线的定义可求得点P 到两焦点的距离，为确定值，因此当12PF PF ⊥时，12PF F △面积最大，同时求出,m n 验证正确性． 【详解】由题意168m n -=+，即8m n +=，0,0m n >>．不妨设P在第一象限，则12128PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩易知当12PF PF ⊥时，1212142PF F S PF PF ∆==． 此时22212448c PF PF =+=，212c =，4m n ==，满足题意． 故选：A.【点睛】本题考查椭圆与双曲线的焦点问题，考查椭圆与双曲线的定义．在三角形两边确定情况下，这两边垂直时三角形面积最大．掌握椭圆与双曲线的定义是解本题的关键． 5．A【分析】根据焦点坐标得出双曲线方程，根据椭圆定义和双曲线定义求出12PF F △的边长，利用余弦定理计算12cos F PF ∠的值即可．【详解】由椭圆方程可知：()12,0F -，()22,0F ，由双曲线性质可得：114m +=，故13m =，则222:13x C y -=，不妨设P 在第一象限，由椭圆定义可知：12PF PF +=由双曲线的定义可知：12PF PF -=1PF ∴=2PF 124F F =，22212121212||||7cos 29PF PF F F F PF PF PF +-∴∠==． 故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义与性质，余弦定理的应用，注意仔细审题，认真计算，属中档题． 6．13【详解】试题分析：，，，则，，考点：1.椭圆定义；2.双曲线定义；3.余弦定理； 7．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =， 因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =， 又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =，所以双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：A ． 8．A【分析】根据椭圆的方程求出双曲线焦点坐标，点P 是在原点为圆心，半径为焦半径的圆上， 求出P 点的坐标，代入双曲线方程求解实半轴和虚半轴即可.【详解】对于椭圆2219x y += ，易得椭圆的半焦距的平方28c = ，即双曲线的半焦距的平方=8；对于双曲线22221x y a b-= ，有2228a b c +== …①，12120,PF PF PF PF =∴⊥ ，即P 点是在以原点为圆心，半径为c 的圆上，设()00,P x y ，则有22002200198x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ ，解得2200631,88x y == ， 代入双曲线方程并与①联立：22226318818a b a b ⎧⎪⎪-=⎨⎪+=⎪⎩，化简后得：4216630a a -+= ，()()22790aa --= ，解得27a = 或9，由①可知：28a ＜ ，227,1ab ∴== ，双曲线的方程为：2217x y -=，渐近线方程为y = ；故选：A. 9．C【分析】由已知条件求得2211m n -=+，进而得出222m n -=，联立椭圆和双曲线的标准方程，可求得点P 的纵坐标，并求得12F F ，由此可计算得出12PF F △的面积.【详解】由于椭圆()22211x y m m+=>和双曲线()22210x y n n -=>有相同的焦点1F 、2F ，则2211m n -=+，可得222m n -=，联立22222211x y m x y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2222222222m n x m n y m n ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，12F F =因此，12PF F △的面积是121211122PF F S F F ==⨯=△. 故选：C.【点睛】本题考查椭圆和双曲线焦点三角形面积的计算，联立两曲线方程，求出交点坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 10．D【分析】首先求出2C 的焦点坐标，从而求出m 的值，即可得到1C 的方程，即可求出渐近线方程；【详解】解：双曲线222:122x y C -=中22a =、22b =，所以2224c a b =+=，即2C 焦点坐标为()2,0±，因为双曲线()221:10y C x m m --=≠与222:122x y C -=共焦点，所以()14m +-=， 解得3m =-，所以双曲线221:13y C x -=，则1C0y ±=； 故选：D 11．D【分析】根据给定方程求出焦距，再结合椭圆、双曲线定义建立1||PF 与2||PF 的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦距12||10F F =，由椭圆、双曲线定义得：1212142PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，两式平方相加得：2221212||||100||PF PF F F +==，于是有122F PF π∠=，所以12F PF ∠的值为2π. 故选：D 12．B【分析】根据已知和渐近线方程可得b a =，双曲线焦距26c =，结合a b c 、、的关系，即可求出结论.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为y x =，则b a =①. 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点， 双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9①.由①①解得a ＝2，b C 的方程为22145x y -=.故选：B. 13．B【分析】根据题意，求得参数,m n ，再利用椭圆和双曲线定义，求得12,F P F P ，利用余弦定理，即可求得12F PF ∠.【详解】由题可知：85m =+，54n =+，解得3,1m n ==， 不妨设P 为12,C C 在第一象限的交点，12,F P x F P y ==，由椭圆和双曲线定义可得：4,x y x y -=+=22x y =+=，则2224,4x y xy +==，又12F F =在①12F PF 中，由余弦定理可得：(2221224201cos ?282x y F PF xy+--∠===，则123F PF π∠=. 故选：B. 14．B【分析】根据椭圆与双曲线的概念和性质，结合题意即可求解.【详解】椭圆22110x y +=的焦点坐标为()3,0±，则双曲线的焦点坐标为()3,0±，可得c =3，又双曲线C ：2222x y a b-=1的离心率为32，所以32c a =，即a =2，所以b故所求的双曲线方程为2245x y -=1. 故选：B. 15．BD【解析】先由两曲线的焦点相同，求出2b ，可判断BC 选项；再将两曲线联立，求出点P 的坐标，可判断AD 选项，【详解】因为双曲线()2212:102x y C b b -=>与椭圆222:184x y C +=有相同的左右焦点1F ，2F ， 所以2284b +=-，解得22b =，即221:122x y C -=，所以其渐近线方程为y x =±，焦点坐标为()12,0F -，()22,0F ，即B 正确； 因为2y x =+与双曲线1C 的一条渐近线平行，且2y x =+过右焦点()22,0F ，所以直线2y x =+与1C 只有一个交点，即C 错；由2222122184x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2242x y ⎧=⎨=⎩，又1C ，2C 在第一象限相交于点P，所以(P ， 因此1PF ==A 错，12PF F △的面积为121212PF F P SF F y =⋅=D 正确. 故选：BD.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据椭圆与双曲线共焦点，先求出双曲线的方程；再结合双曲线的性质，即可求解. 16．BD【分析】对于A ，求出12PF F S 即可判断，对于B ，可求出2232b PF a ==，152PF =，然后由双曲线的定义可得12m =，即可判断，对于C ，可得2218b n+=，然后设,,0,2b n πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，利用三角函数的知识可判断，对于D ，利用椭圆、双曲线的定义和余弦定理可得2212134e e +=，然后可判断.【详解】对于A ，若a ＝2，b 12PF PF ⊥则1222tantan 452PF F Sb θ=⋅=⋅︒A 错误对于B ：若a ＝2，b ①c ＝1212PF F F ⊥ ，2232b PF a ∴==，1224PF PF a +== 152PF ∴=所以1253122PF PF -=-= 12m ∴=， 22ce m == ，故 B 正确 对于C ，若a ＝5，m 因为椭圆与双曲线共焦点 2222a b m n ∴-+= 2218b n ∴+=设,,0,2b n πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则(6sin 4b n πθθθ⎛⎫⎤+=+=+∈ ⎪⎦⎝⎭，故C 错误 对于D ，设1||PF s =，2||PF t =，由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=， 解得s a m =+，t a m =-， 在三角形12F PF 中，123F PF π∠=，可得22222222242cos 22()3c s t st a m am a m am a m π=+-=++++---，即有22234a m c +=，可得222234a m c c+=，即2212134e e +=，当2e ∈时可得1e ∈⎣⎦，故D 正确故选：BD17．221169y x -=【分析】求出椭圆的焦点，则可得双曲线的焦点，然后设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，由离心率求出a ，再由222b c a =-求出2b ，从而可求出双曲线的方程 【详解】由2212449x y +=可得焦点坐标为(0,5),(0,5)-， 由题意设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，则554c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，得54c a =⎧⎨=⎩， 所以22225169b c a =-=-=，所以双曲线方程为221169y x -=，故答案为：221169y x -=18．3【分析】由题意可得，12124,2PF PF PF PF +=-=，两式平方相减可得12PF PF ⋅的值. 【详解】解：因为椭圆2214x y m+=与双曲线221y x n -=有公共的焦点1F ，2F ，且P 为两曲线的一个交点，所以121242PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，所以22112222112221624PF PF PF PF PF PF PF PF ⎧+⋅+=⎪⎨-⋅+=⎪⎩, 两式相减得，12412PF PF ⋅=，所以 123PF PF ⋅= 故答案为：3【点睛】此题考查了椭圆和双曲线的概念和性质，属于基础题. 19．1【解析】设1PF s =，2PF t =，由椭圆和双曲线的定义整理得2222 s t m n st m n⎧+=+⎨=-⎩，由焦点相同可得2m n -=，结合余弦定理可证明1290F PF ∠=︒，从而可求出面积.【详解】如图所示，不妨设两曲线的交点P 位于双曲线的右支上，设1PF s =，2PF t =．由双曲线和椭圆的定义可得 s t s t ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩2222 s t m n st m n ⎧+=+⎨=-⎩，在12PF F △中，()2221222414cos 222m n m s t c F PF st m n+--+-∠==-，①11m n -=+，①2m n -=，①12cos 0F PF ∠=，①1290F PF ∠=︒． ①12F PF △面积为112st =，故答案为:1.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了双曲线的定义，考查了余弦定理，属于中档题.20【分析】由题意可得2OH GF 且212OH GF =,再结合双曲线的定义可得1m =，然后结合椭圆与双曲线有公共焦点求解即可.【详解】解：由PI 是12F PF ∠的角平分线，1F G 垂直射线PI 于H 点，则点H 为线段1F G 的中点，且1PG PF =,又O 为线段12F F 的中点，则2OH GF 且212OH GF =, 又1OH =,则22GF =,由双曲线的定义可得21222m PF PF GF =-==, 则1m =，又椭圆与双曲线有公共焦点， 则2211a m -=+， 则23a =，即a =【点睛】本题考查了双曲线的定义，重点考查了椭圆与双曲线共焦点的问题，属中档题. 21．2【分析】不妨设P 在第一象限，故2222a b m n -=+，且122PF PF a +=，122PF PF m -=，故()()22221212448PF PF PFPF a m +--=-=，解得答案.【详解】椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有公共焦点12,F F ，不妨设P 在第一象限，故2222a b m n -=+，且122PF PF a +=，122PF PF m -=.()()22221212124448PFPF PFPF a m PF PF +--=-=⋅=，即222a m -=，即222b n +=. 故答案为：2.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线共焦点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 22．①①【分析】求出b 的值，可判断①的正误；设点()00,P x y 在第一象限内，利用基本不等式求得ABO 面积的最小值，利用等号成立可求得a 的值，可判断①的正误；利用斜率公式可判断①的正误；利用等面积法可求出PH 的长，可判断①的正误.【详解】对于①，双曲线1C的焦点坐标为()，所以，232b -=，0b >，1b ∴=，①正确；对于①，由于椭圆的对称性，设点P 为第一象限内的点，设点()00,P x y ，则220013x y +=，先证明椭圆C 在其上一点()00,P x y 处的切线方程为0013x xy y +=. 联立00221313x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22002330x x x y -+-=，即220020x x x x -+=，解得0x x =.所以，椭圆C 在其上一点()00,P x y 处的切线方程为0013x xy y +=. 所以点03,0A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、010,B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由基本不等式可得22000013x y y +=，可得00x y ≤000013133222ABOSx y x y =⋅⋅=≥0y ==0x =0y =①错误； 对于①，00OP y k x =，003l x k y =-，所以，13OP l k k =-，①错误；对于①，以12F F 为直径的圆的方程为222x y +=，22622⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点P 在圆222x y +=上，则12PF PF ⊥， PH m =，由等面积法可得()1212116sin 45222F PF S PF PF m =⨯=⨯+⋅=△，解得m =故答案为：①①.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b+=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.。
高中数学椭圆常见题型总结
P
的轨迹方程。
8、已知动圆 C过点 A( 2,0) ，且与圆 C2 : ( x 2)2 y2 64 相内切，则动圆圆心的轨迹方
程为
；
9、已知椭圆的焦点在 y 轴上，焦距等于 4，并且经过点 P(2, 2 6) ，则椭圆方程为
；
10、已知中心在原点，两坐标轴为对称轴的椭圆过点
标准方程为
；
A( 3 , 5) ， B( 3, 5) ，则该椭圆的 22
(C ) 16(2 3)
(D ) 16(2- 3)
x2 3、 P 是椭圆
25
y2 1 上的一点， F1 和 F2 为左右焦点，若
9
F1PF2 60 。
（1）求 F1PF2 的面积；（ 2）求点 P 的坐标。
焦半径问题
x2
１椭圆
12
y2 3
1的左右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中点在 y
轴上，那么 PF1 是的 PF2 的
倍；
椭圆的中点弦问题
例 1、已知椭圆 ax 2 by2 1(a b 0) 与直线 x y 1 0 相交于 A 、 B 两点， C 是 AB
的中点，若 AB 2 2 ， OC 的斜率为 2 ，求椭圆方程。 2
高中数学
1、直线 l 交椭圆 x2 y 2 1于 A、 B 两点， AB 中点的坐标是 (2,1) ，则直线 l 的方程为 16 12
1 k2 x1 x2
1 k 2 (x1 x2) 2 4x1x2
3 、椭圆的中点弦：
x2 y2 设 A(x1, y1), B( x2 , y2 ) 是椭圆 a2 b2 1(a b 0) 上不同两点，
M ( x0, y0 ) 是线段 AB 的中点，可运用 点差法 可得直线 AB 斜率，且 kAB
椭圆焦点弦平方的倒数和
椭圆焦点弦平方的倒数和
首先，我们来了解一下什么是椭圆焦点弦。
椭圆是一个平面上到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
焦点弦则是椭圆上连接两个焦点的线段。
椭圆焦点弦平方的倒数和，即为椭圆上每条焦点弦的平方的倒数的总和。
现在让我们来推导一下椭圆焦点弦平方的倒数和。
假设椭圆的焦点为F1和F2，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为常数2a。
那么根据椭圆的性质，我们可以得到以下公式：
PF1 + PF2 = 2a.
现在我们来考虑焦点弦的平方的倒数。
对于椭圆上的一条焦点弦AB，我们可以将其长度表示为c，那么焦点弦AB的平方的倒数为1/c^2。
对于任意一点P在椭圆上，它到焦点弦AB的距离为d，那么根据几何关系，我们可以得到：
d = (c^2 PF1^2 PF2^2) / (2PF1PF2)。
因此焦点弦AB的平方的倒数可以表示为：
1/c^2 = 2PF1PF2 / (c^2 PF1^2 PF2^2)。
现在我们将所有的焦点弦的平方的倒数求和，即为椭圆焦点弦平方的倒数和。
这个和可以表示为：
Σ(1/c^2) = Σ(2PF1PF2 / (c^2 PF1^2 PF2^2))。
这个和是一个非常有趣的数学问题，它涉及到椭圆的几何性质和数学推导。
对于不同的椭圆，这个和的数值可能会有所不同，因此它也是一个很好的数学问题来进行探讨和研究。
希望通过这篇文章，读者可以对椭圆焦点弦平方的倒数和有一个初步的了解，同时也对数学推导和几何性质有所启发。
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(原卷版)
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法焦点三角形的定义与常用性质1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立12+AF AF ，2212+AF AF ，12AF AF 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（设12∠F AF 为 ）2、常用性质性质1：122+=AF AF a ，122+=BF BF a （两个定义）拓展：12∆AF F 的周长为121222++=+AF AF F F a c1∆ABF 的周长为12124+++=AF AF BF BF a性质2：222212121242cos ==+-c F F AF AF AF AF θ（余弦定理）性质3：当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大推导：由性质2得，()222221212121212244c cos 22+--+-==AFAF AF AF c AF AF AF AF AF AF θ()222121212224221--==-a AF AF cb AF AF AF AF .∵212212+=22⎛⎫≤ ⎪⎝⎭AF AF AF AF a ，当且仅当12=AF AF 时，即点A 是短轴端点时取等号，∴2221222cos 11=-≥-b b AF AF aθ.又∵cos =y θ在()0,π上单调递减，∴当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大。
性质4：122121sin tan 22∆===AF F A S AF AF b c y θθ当=A y b ，即A 为短轴的端点时，12∆AF F 的面积最大，最大值为bc推导：由性质3的推导过程得2122cos 1=-b AF AF θ∴21221cos =+b AF AF θ，∴122221222sincos 11222sin sin tan 221cos 22cos 2∆==⋅⋅=⋅=+AF F b S AF AF b b θθθθθθθ题型一椭圆中焦点三角形的周长问题【例1】已知∆ABC 的顶点B ，C 在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则∆ABC的周长是（）A．23B．3C．8D．16【变式1-1】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2∆ABF 的周长为16，则=a （）A．2B．4C．6D．8【变式1-2】椭圆C ：2221(0)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于左右顶点的任意一点，1PF 、2PF 的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为4，则12∆PF F 的周长是_____．【变式1-3】已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF 的周长的最小值为______．题型二椭圆中焦点三角形的面积问题【例2】椭圆C ：2214924x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若18PF =，则12PF F △的面积为（）A．48B．40C．28D．24【变式2-1】设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A．6B．C．8D．【变式2-2】已知1F 、2F 为椭圆22:14x y Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）B．2C．D．4【变式2-3】已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（）B．155题型三椭圆中焦点三角形的个数问题【例3】已知点1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若点P 为椭圆上一动点，则使得123F PF π∠=的点P 的个数为（）A．0B．2C．4D．不能确定【变式3-1】设椭圆22:184x y Γ+=的左、右两焦点分别为1F ，2F ，P 是Γ上的点，则使得12PF F △是直角三角形的点P 的个数为_________.【变式3-2】已知1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且12MF F △的内切圆的周长等于π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．0D．不确定【变式3-3】若1F 、2F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且12MF F △的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．6D．不确定题型四椭圆中焦点三角形的顶点坐标问题【例4】已知1F 、2F 为双曲线C :221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，21PF F ∠=︒60，则P 到x 轴的距离为（）A.2B.2【变式4-1】已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若12PF F △为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为（）或94B．3D．94【变式4-2】椭圆22194x y +=的焦点F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（）A．B．）C．（﹣5，5）D．（﹣5，5）【变式4-3】椭圆22:14x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∠为钝角时，点M 的纵坐标的取值范围是____________.题型五椭圆中焦点三角形的中位线问题【例5】设1F ，2F 为椭圆22194x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A．513B．45C．27D．49【变式5-1】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）B．D．【变式5-2】已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN BN +的值为（）A．6B．12C．18D．24【变式5-3】如图，若P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，()F -为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与PF 相切于中点，则椭圆C 的方程为___________.题型六椭圆中焦点三角形的角平分线问题【例6】已知1F ，2F 是椭圆C ：22214x y b+=的左、右焦点，离心率为12，点A 的坐标为3(1,)2，则12F AF ∠的平分线所在直线的斜率为（）A．2B．1【变式6-1】已知12F F ，是椭圆221369x y+=的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．3D．2【变式6-2】已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，2MF 是角21PF F ∠的外角平分线，则1MPF 与2MPF 的面积之和为()A．1B．32C．2D．3【变式6-3】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任一点，从2F 引12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．圆B．两个圆C．椭圆D．两个椭圆。
专题21 椭圆(解答题压轴题)(原卷版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题
(1)求椭圆的方程；
(2)过1F作两直线,m n交椭圆于
(1)记椭圆与抛物线的公共弦为MN，求|MN
(2)P为抛物线上一点，1F为椭圆的左焦点，直线
线交于P，Q两点，求||
||
AB
PQ的最大值．
（1）求椭圆的方程∶
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过M点作两条互相垂直的直线MA，
(1)当(),t a a ∈-时，设直线=x t 交椭圆于的周长最大值为42，求椭圆方程；
(2)在第（1）问条件下，将直线=x t 移动至为半径的圆交2x a =-于,M N 两点，直线
(1)若M的坐标为
335
28
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，，求四边形PMNF
(2)若PN与椭圆Γ相切于N且121 4
NF NF
⋅=
(3)作N关于原点的对称点N'，是否存在直线
23
7，若存在，求出直线2
F N的方程和N的坐标，若不存在，请说明理由．
(1)求12F AF 的周长；
(2)若以2F 为圆心的圆截y (3)设l 的斜率为k ，在x 轴上是否存在一点求出M 的坐标；若不存在，请说明理由
(1)求点P的轨迹E的方程;
(2)设点C为x轴上（不同于,A B）一定点，若过点
M N两点，求证：与直线2
x=-和直线2
x=分别交于,
∠=∠．
ACP ACQ。
专题02 椭圆的焦点弦,中点弦,弦长问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(原卷版)
专题02 椭圆的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1．已知斜率为1的直线l 过椭圆2214x y +=的右焦点，交椭圆于A B 、两点，则弦AB 的长为（ ） A ．45B ．65C ．85D ．1352．经过椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为（ ）A ．2a bB ．22a bC ．2b aD ．22b a3．已知F 是椭圆221259x y +=的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为（ ） A ．6B ．15C ．20D ．124．设1F ，2F 是椭圆221164x y +=的左右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则22AF BF +的最大值为（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．105．已知椭圆2219x y +=，过点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆相交于A 、B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为（ ） A ．950x y +-= B ．940x y --= C ．950x y +-=D ．940x y -+=6．已知椭圆()2222:10x y G a b a b+=>>的右焦点为()F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B两点．若AB 的中点坐标为，则G 的方程为（ ）A ．2213214+=x yB ．2213820+=x yC ．2214830+=x yD ．2213618x y +=7．过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点(),0F c 的弦中最短弦长是（ ）A ．22b aB ．22a bC ．22c aD ．22c b8．过椭圆:T 2212x y +=上的焦点F 作两条相互垂直的直线12l l 、，1l 交椭圆于,A B 两点，2l 交椭圆于,C D 两点，则AB CD +的取值范围是（ ）A ．⎣B ．⎣C ．⎣D ．⎣ 二、多选题9．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为F 1，F 2，O 为坐标原点，直线y x =过F 2交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为8，则（ ）A B ．椭圆方程为2214x y +=C ．弦长85AB =D ．OABS=10．已知椭圆22221x y a b +=的焦距为6，直线l 与椭圆交于A ，B 两点，弦AB 的中点为(2,1)M ，则直线l 的方程为（ ）A ．78220x y +-=B ．7860x y --=C ．3271030x y --=D ．327710x y +-=11．设椭圆的方程为22124x y +=，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A,B 两点，M 为线段AB 的中点．下列结论正确的是（ ）. A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若点M 坐标为（1,1），则直线方程为2x +y -3=0；C ．若直线方程为y =x +1，则点M 坐标为1433⎛⎫⎪⎝⎭，D ．若直线方程为y =x +2，则AB =12．已知椭圆C ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与椭圆C 相交于点A ，B ，2l 与椭圆C 相交于点C ，D ，则下列叙述正确的是（ ） A ．存在直线1l ，2l 使得AB CD +值为7 B ．存在直线1l ，2l 使得AB CD +值为487C ．弦长AB 存在最大值，且最大值为4D ．弦长AB 不存在最小值三、填空题13．直线2y kx =-交抛物线28y x =于A ，B 两点．若AB 的中点横坐标为2，则弦长AB 为______14．已知椭圆22154x y +=的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 作x 轴的垂线与椭圆相交于A ，B 两点，则2ABF 的面积为________．15．椭圆22142x y +=的右焦点为F ，M ，N 为y 轴上的两个动点，若0MF NF →→⋅=，则MNF面积的最小值为______．16．已知12F F 、是椭圆22196x y +=的左、右焦点，P 在椭圆上运动，当1214PF PF +的值最小时，12PF F △的面积为_______．四、解答题17．已知椭圆的短轴长为()1,0-和()1,0. （1）求这个椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆交于P ､Q 两点，且PQ 中点为()1,1，求直线l 的方程.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12(1,0),(1,0)F F -，过1F 的直线l 交椭圆C 于M ､N 两点，且直线l 倾斜角为45︒，求2MF N 的面积.19．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(，离心率为12，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -（1）求椭圆的方程（2）斜率为12-的直线l 与椭圆交于A ，B两点，当AB =时，求直线l 的方程20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为()2,0，直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点A ，B . （1）求椭圆C 的方程；（2）求OAB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.21．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =l 过点()0,M b -和(,0)N a ，且坐标原点O 到直线l . （1）求||MN 的长；（2）过点(3,0)E 的直线m 与椭圆C 交于A 、B 两点，当AOB 面积大时，求22||||OA OB +的值．22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，左顶点为A ，2，上顶点()0,1B ，1ABF （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：(1)y k x =+与椭圆C 相交于不同的两点,M N ，P 是线段MN 的中点.若经过点2F 的直线m 与直线l 垂直于点Q ，求1PQ FQ ⋅的取值范围.。
【椭圆小题突破】第1讲 椭圆焦半径与焦点弦1(过原点的直线与一个椭圆焦点)(教案) 二轮复习专题
椭圆的焦半径和焦点弦1坐标形式的焦半径公式知识点：（1）若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别是F 1、F 2，P (x 0,y 0)是椭圆上任意一点，则|PF 1|＝a+ex 0,|PF 2|＝a-ex 0. （2）若椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0) 的下、上焦点分别是F 1、F 2，P (x 0,y 0)是椭圆上任意一点，则|PF 1|＝a+ey 0, |PF 2|＝a-ey 0.1.M 是椭圆x 24+y 2=1 上的一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点.①若|MF 1|=3|MF 2|,则M 点的坐标是 ；②若∠F 1MF 2|为钝角,则M 点横坐标的取值范围是 . 解：设M (x 0,y 0)由|MF 1|=3|MF 2|,得a+ex 0＝3(a-ex 0)，即20＝0)，解得x 0＝2√33,代入x 24+y 2=1，得y 0＝±√63.所以M 点的坐标是(2√33, ±√63) 若∠F 1MF 2|为钝角，由余弦定理知，|MF 1|2＋|MF 2|2－| F 1F 2|2＜0，即(a+ex 0)2+(a-ex 0)2-4c 2<0，即(20) 20)2-4×3<0，解得-4√33< x 0< 4√33.2.已知△ABC 内接于椭圆x 24+y 23=1 ，且右焦点F 为△ABC 的重心，则|FA |+|FB |+|FC |= .解：x A +x B +x C =3,|FA |＝a-ex A , |FB |＝a-ex B ,|FC |＝a-ex C , |FA |+|FB |+|FC |=3a-e (x A +x B +x C )＝ 92.3.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是（ ）A ．63B ．34C ．12D ．32【答案】A【详解】由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得322x a by ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,22b B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 由题意知(),0F c ，所以3,22b BF c a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b CF c a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 因为90BFC ∠=︒,所以BF CF ⊥,所以22222223333102244442b a c BF CF c a c a c a c a ⎛⎫⎛⎫-⋅=+-+=-+=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以2232c a =，所以63c e a ==， 法二：()222000,,2BF a ex CF a ex BF CF x =-=++=22222222220033332224,2,1,44423a a e a e x x a e e +=+=⋅+==。
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优点：不用计 算出两根，计 算量小！
7
例题精讲
弦长公式：
设直线与椭圆交于A(
的斜率为 k．
x1
,
y1
)
B(x2 , y2 )两点，直线
AB
AB 1 k 2 （x1 x2）2 4x1x2
2 4 y1y2
适用于任意二次曲线
8
例题精讲
变式1 已知椭圆E：3 x2 y2 6若直线L过椭圆E的上 焦点，且与椭圆E交于A、B两点，AB = 6，求 直线的斜率k.
= n2-4mp
>0
方程组有两解
=0
方程组有一解
<0
方程组无解
两个交点 一个交点 无交点
相交 相切 相离 4
回例顾题旧精知讲
弦长公式：
设直线与椭圆交于A(
的斜率为 k．
x1
,
y1
)
B(x2 , y2 )两点，直线
AB
AB 1 k 2 （x1 x2）2 4x1x2
1
1 k2
（y1
y2）2
4 y1y2
适用于任意二次曲线
5
回例顾题旧精知讲
椭圆的定义：
到两定点的距离之和为常数2a(大于两定点的距离2c) 的点的轨迹叫做椭圆
6
例题精讲
例1已知椭圆E：3x2 y2 6与直线L:y= x-2交于 A、B两点，求 AB .
分析： 法一：算出AB两点的坐标，再用两点间的距离公
式求 AB
法二：带 AB 的弦长公式
恳请诸位老师多提宝贵意见!
18
F1
x12 (kx1 4)2 x22 (kx2 )2
(k 2 1)x12 8kx1 16 (k 2 1)x22
无法解出，怎么办？
14
巩固练习
法二：联立方程组
y-2 kx
消去y
(3 k 2 )x2 4kx 2 0
3x2 y2 6
y
4k
2
x1 x2 3 k 2 , x1x2 3 k 2
B F2
AB 4a ( F1A F1B ) 4 63 6 6
A ox
F1
15
巩固练习
已知椭圆E：x a
2 2
+
y2 b2
=1,若直线L过右焦点F ，与上顶点A,且与 2
椭圆E交于B，F1AF2 =60.(1)求椭圆的离心率.(2)已知
SAF1B 40 3, 求a,b的值.
y
解：（1）Q F1AB 60
椭圆E交于A、B两点，若 F1 A + F1B =3 6，求 AB .
解：联立方程组
y-2 kx 消去y 3x2 y2 6
y (3 k 2 )x2 4kx 2 0 B
F2
法一：
x1
x2
4k 3 k2
,
x1x2
2 3 k2
A ox
F1A F1B x12 (y1 2)2 x22 (y2 2)2
A
AF1F2为等边三角形，即a 2c e c 1
a2
F1
F2
ox
B
（2）LAB : y 3(x c) Q a 2c …①
b2 a2 c2 3c2设 x2 y2 1 4c2 3c2
16
巩固练习
y
y 3(x c)
x2 4c2
x1
y2 3c2
0, x2
1
5 8
消去y 5x2 8cx
变式3已知椭圆E: x2 + y2 =1(a b 0)的右焦点为F（3,0）， a2 b2
过点F的直线交椭圆于A,B两点，若AB的中点坐标为 M(1,-1),求椭圆E的方程.
分析：
法一：韦达定理法
法二：点差法 优点：计算量小！
改：已知椭圆E: x2 + y2 =1,直线L与椭圆交于A,B两点，若AB的
18 9
中点坐标为M(1,-1),求直线L的方程.
11
拓展巩固
已知椭圆E:3x2 +y2 =6，若直线L过椭圆 的上焦点F2，与椭圆交于两点A,B. 求VF1 AB的最大面积.
12
归纳小结:
椭圆中的弦
韦达定理法（通法） 点差法（中点弦问题）
思想方法
13
巩固练习
已知椭圆E：3 x2 y2 6若直线L过椭圆E的上焦点F2，且与
c B(8 c, 3 3 c) 55
0
A
F1
F2
ox
B
1
SAF1B
2c 2
x1
x2
1 2c (b 3 3 c) 40
2
5
3… ②
由 ① ② 得a 10,b 5 3
法二：AB 10 c d 2bc
8
b2 c2
1
5
SAF1B
2
AB
d
8
c
2bc 40 3 … ③
b2 c2
17
9
例题精讲
变式2已知椭圆E:3x2 +y2 =6，若倾斜角为 的直线L过椭圆
4
的上焦点F2，与椭圆交于两点A,B.
（1）求VF1 AB的周长；2求VF1 AB的面积.
y
分析：（1） CF1AB 4a
（2）
B F2
法一：以AB作为底
A ox
F1
法二：以F1F2作为底，将三角形分成两个
10
例题精讲
1
A(3分)
B(3分)
C(2分)
D(1分)
Watch
bus
box
2
回顾旧知
问题：椭圆与直线的位置关系？
相离
相切
相交
3
回顾旧知
如何判断直线和椭圆的位置关系？ 代数法
直线l : Ax By C
0与椭圆E：x a
2 2
y2 b2
1
Ax+By+C=0 由方程组： x 2 y2
a2 b2 1
mx2+nx+p=0（m≠ 0）