过抛物线焦点弦端点的切线的探究教学文稿

课题过抛物线焦点弦端点的切线的探究授课时间2008年3月24日授课教师牛文化
授课班级高三（4）班
教学目标1、掌握抛物线的图像和性质，巩固圆锥曲线中常见的垂直的证明方法，增强学生解决综合性问题的信心.
2、通过学生的研究讨论，发挥学生自主学习的能动性，提高学生分析问题、解决问题的能力. 培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力.
3、通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度.
重点与抛物线焦点弦有关的垂直关系和证明及应用. 难点与抛物线焦点弦有关的垂直关系的证明和应用.
教学过程
教师活动学生活动设计意图一、课前回顾与反思
前面我们研究了过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，过
这两点的切线的交点的轨迹问题.
首先请一名同学回忆一下研究的过程和结果.
研究过程为：
已知：如图1，设抛物线为22(0)
x py p
=>，焦点为F，过
点F的直线与抛物线相交于A、B两点，过A、B的切线相交于
点P，求点P的轨迹.
解：设直线AB的方程为
2
p
y kx
=+，
联立直线AB方程和抛物线方程有
2
2
2
p
y kx
x py
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=
⎩
整理有22
20
x pkx p
--=
由抛物线方程22(0)
x py p
=>，
可设点A、B的坐标分别为
2
1
1
(,)
2
x
x
p
、
2
2
2
(,)
2
x
x
p
.
由韦达定理可知
12
2
x x pk
+=，2
12
x x p
=-
学生回忆
学生回答
回忆研究
的过程，从
中体会研究
的方法，为
下面进一步
探究做铺
垫.
教学过程
教师活动学生活动设计意图【证明】由上面可知过点A、B的切线的斜率
分别为
1
1
'
x x
x
y
p
=
=，
2
2
'
x x
x
y
p
=
=
即
1
PA
x
k
p
=，2
PB
x
k
p
=
易知
2
12
22
1
PA PB
x x p
k k
p p
-
⋅===-
故AP BP
⊥.
结论2——连结PF可证PF AB
⊥.
【证明】如图2，易知12
(,)
2
x x
PF p
+
=-
u u u v
，
22
21
21
(,)
2
x x
AB x x
p
-
=-
u u u v
22
121221
()()
22
x x x x x x
PF AB
+--
=+=
u u u v u u u v
g
故PF AB
⊥.
由结论2我们还可以推导出更多结论
比如：①PF是直角PAB
∆斜边上的高，从而2
PF FA FB
=⋅．
②2
||||||
AP AF AB
=g
③2
||||||
BP BF BA
=g
④222
||||||
AP BP AB
+=
学生分组合作，
共同探究新的
结论整个教学过程
中，教师只是启
发、引导，证明
推理过程由学
生来完成，充分
体现学生的主
体地位和教师
的主导作用.
教学过程
教师活动学生活动设计意图
结论3——设PA与x轴交于点C，PB与x轴交于点D，可证
CF AP
⊥、DF BP
⊥和FC FD
⊥.
【证明】如图3由题意可知
2
11
:
2
PA
x x
l y x
p p
=-；
2
22
:
2
PB
x x
l y x
p p
=-
PA与x轴交于点C，点C坐标为1
(,0)
2
x
，
PB与x轴交于点D，点D坐标为2
(,0)
2
x
，
由1
(,)
22
x p
CF=-
u u u v
，
22
121
(,)
22
x x x p
PA
p
-+
=
u u u v
可知
22
21110
2222
x x x x p
p
CF PA
p
--
=+=
u u u v u u u v
g g g
故CF AP
⊥，证明DF BP
⊥思路相同（略）.
由上面可知在四边形FCPD中，三个角FCP
∠、CPD
∠、
PDF
∠都是90°，可知DFC
∠也为90°，即FC FD
⊥.
（到此，主要的垂直结论均已找出并证明，下面根据课上实
际的情况选择是继续挖掘其他结论还是做练习题.）
思考:以AB为直径的圆（即ABP
V的外接圆）与抛物线的准
线有什么位置关系？并证明你的结论.
结论4——以AB为直径的圆与抛物线的准线相切于点P.
(过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线)
学生分组合作，
共同探究新的
结论
通过学生分组
学习，发挥学生
自主学习的能
动性，提高分析
问题和解决问
题的能力，逐步
培养学生的钻
研精神.
教学过程
教师活动学生活动设计意图
【证明】如图4，取AB中点为Q，
则点Q为以AB为直径的圆的圆心，
连接PQ，要证PQ和准线垂直，只需证//
PQ y轴.
由点Q坐标为1212
(,)
22
x x y y
++
可知//
PQ y轴，
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切于点P.
结论5——由CF AP
⊥和DF BP
⊥可知，以FA为直径的圆
（即ACF
V的外接圆）与x轴相切于点C；以FB为直径的圆
（即BDF
V的外接圆）与x轴相切于点D.
（证明思路同上）
三、应用结论，解决问题
刚才同学们的回答很踊跃，总结出来的结论也很有水平，
这说明我们的同学不仅具备了很强的运算求解能力，还具备了
很强的观察能力、归纳能力、探索发现能力，下面我们做一个
练习.
（08东城第一学期期末理19题）已知抛物线
)0
(
2
2>
=p
py
x，过焦点F的动直线l交抛物线于B
A,两点，
抛物线在B
A,两点处的切线相交于点Q.
（Ⅰ）求OB
OA⋅的值；
（Ⅱ）求点Q的纵坐标；
（Ⅲ）证明：BF
AF
QF⋅
=
2
.
（Ⅰ）解：设直线l的方程为
2
p
kx
y+
=.
由
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
=
,
2
,
2
2py
x
p
kx
y
可得0
22
2=
-
-p
pkx
x.
则,
2
2
1
pk
x
x=
+2
2
1
p
x
x-
=.
2
1212
()().
224
p p p
y y kx kx
⋅=+⋅+=
∴2
1212
3
4
OA OB x x y y p
⋅=+=-
u u u v u u u v
.
学生完成证明
应用前面结论
的证明思路，完
成练习题.
学生在合作
交流的探究氛
围中思考、质
疑、倾听、表述，
体验到成功的
喜悦，学会学
习、学会合作．
深化前面结论
的证明思路，增
强解决圆锥曲
线综合题的信
心，为高考打好
基础.
教学过程
教师活动学生活动设计意图（Ⅱ）由py
x2
2=，可得
p
x
y
2
2
=，
p
x
y='.
在点A处的切线方程为即
p
x
x
p
x
y
2
2
1
1-
=.
在点B处的切线方程为
p
x
x
p
x
y
2
2
2
2-
=.
解方程组
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
-
=
-
=
,
2
,
2
2
2
2
2
1
1
p
x
x
p
x
y
p
x
x
p
x
y
可得
12,
2
.
2
x x
x
p
y
+
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
即点Q的纵坐标为
2
p
-.
(Ⅲ)证明：如图5，连接PF.由（Ⅱ）可知易知
2
12
22
1
PA PB
x x p
k k
p p
-
⋅===-，即AP BP
⊥.
可证PF AB
⊥，所以BF
AF
QF⋅
=
2
.
四、课堂小结，提炼升华
由于时间关系今天我们就探究到这里，课下请同学们想一
想这个题的一些结论能否推广，或者改变一个条件是否还能得
到类似的结论吗？
1、本节课重点研究了抛物线中常见的垂直关系，并在此基础上
研究了一些平行关系和重要的圆；
2、要注意提高计算和推理论证能力，树立转化意识、方程思想，
学会用代数的方法研究几何图形及其性质，树立事物间普遍联
系，在一定条件下可以相互转化的观点.
3、体会认真观察，大胆猜想，严谨证明，推广应用的数学发现
和研究过程.在观察中思考，在猜想中提升，在证明中严谨，在
应用中创新.
应用前面结论
的证明思路，完
成练习题.
在整个新知形
成过程中，教师
的身份始终是
启发者、鼓励者
和指导者，以提
高学生抽象概
括、分析归纳及
语言表述等基
本的数学思维
能力．
教学设计说明
圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分知识的特点是：综合性强，问题涉及函数、方程、不等式、三角、平面几何等很多方面的知识，蕴含着数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法，对学生的数学学习能力及思维能力的考察要求较高。

综合圆锥曲线这部分知识的特点和我校学生的实际情况，我们决定以抛物线为突破口，把难题分解，化整为零，通过基本题型的联系，力争让学生掌握基本数学思想和方法，增强学生解决圆锥曲线综合问题的信心。

圆锥曲线中有很多关于焦点弦的问题，而且高考中也经常出现有关焦点弦的问题。

导数是研究函数的一个重要工具，特别是在研究解析几何的切线问题时，利用它可以解决很多综合性问题。

综合上面两点，我们选择了“过抛物线焦点弦端点的切线的探究”这一课题，旨在充分发挥学生自主学习、提高分析问题和解决问题的能力，逐步培养学生的钻研精神。

课前，我们就“过抛物线焦点弦端点的切线的交点的轨迹”做了探究，目的是让学生掌握常见的解决圆锥曲线问题的思路和方法，本节课以上节课为基础继续探究过抛物线焦点弦端点的切线的一些问题。

本节课首先通过复习回顾“过抛物线焦点弦端点的切线的交点的轨迹”让学生体会研究的方法和常见的数学思想，为下面探究做铺垫。

接着引导学生结合解题过程，仔细观察图形，能得到那些垂直关系？并试着加以证明。

（可适当添加辅助线）由于有前面的铺垫学生能够很容易看出结论1——AP BP ⊥，证明也比较简单。

下面的结论2——PF AB ⊥通过学案的提示，也比较容易证明。

在结论2的基础上，学生还能推导出更多的结论，这将提高学生学习的积极性，发挥学生学习的能动性。

有了前面两个结论的成就感，“结论3——设PA 与x 轴交于点C ，PB 与x 轴交于点D ，可证CF AP ⊥、DF BP ⊥和FC FD ⊥”在学生分组的研讨下也不难发现。

到此，重要的几个垂直关系找到了，而且通过几何画板动画的演示，学生理解的更深刻了。

后面根据课上的实际情况，准备了一些常见的平行关系和重要的圆。

练习题选择的是07-08学年度，东城区第一学期期末试卷的第19题。

有了前面的探究，学生会比较顺利的完成练习题。

这道题不仅深化了前面结论的证明思路，还增强了学生解决圆锥曲线综合题的信心，为高考打好基础。

最后课堂小结，在小节中提炼升华。