过抛物线焦点弦端点的切线的探究教学文稿

课题过抛物线焦点弦端点的切线的探究授课时间2008年3月24日授课教师牛文化

授课班级高三（4）班

教学目标1、掌握抛物线的图像和性质，巩固圆锥曲线中常见的垂直的证明方法，增强学生解决综合性问题的信心.

2、通过学生的研究讨论，发挥学生自主学习的能动性，提高学生分析问题、解决问题的能力. 培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力.

3、通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度.

重点与抛物线焦点弦有关的垂直关系和证明及应用. 难点与抛物线焦点弦有关的垂直关系的证明和应用.

教学过程

教师活动学生活动设计意图一、课前回顾与反思

前面我们研究了过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，过

这两点的切线的交点的轨迹问题.

首先请一名同学回忆一下研究的过程和结果.

研究过程为：

已知：如图1，设抛物线为22(0)

x py p

=>，焦点为F，过

点F的直线与抛物线相交于A、B两点，过A、B的切线相交于

点P，求点P的轨迹.

解：设直线AB的方程为

2

p

y kx

=+，

联立直线AB方程和抛物线方程有

2

2

2

p

y kx

x py

⎧

=+

⎪

⎨

⎪=

⎩

整理有22

20

x pkx p

--=

由抛物线方程22(0)

x py p

=>，

可设点A、B的坐标分别为

2

1

1

(,)

2

x

x

p

、

2

2

2

(,)

2

x

x

p

.

由韦达定理可知

12

2

x x pk

+=，2

12

x x p

=-

学生回忆

学生回答

回忆研究

的过程，从

中体会研究

的方法，为

下面进一步

探究做铺

垫.

教学过程

教师活动学生活动设计意图【证明】由上面可知过点A、B的切线的斜率

分别为

1

1

'

x x

x

y

p

=

=，

2

2

'

x x

x

y

p

=

=

即

1

PA

x

k

p

=，2

PB

x

k

p

=

易知

2

12

22

1

PA PB

x x p

k k

p p

-

⋅===-

故AP BP

⊥.

结论2——连结PF可证PF AB

⊥.

【证明】如图2，易知12

(,)

2

x x

PF p

+

=-

u u u v

，

22

21

21

(,)

2

x x

AB x x

p

-

=-

u u u v

22

121221

()()

22

x x x x x x

PF AB

+--

=+=

u u u v u u u v

g

故PF AB

⊥.

由结论2我们还可以推导出更多结论

比如：①PF是直角PAB

∆斜边上的高，从而2

PF FA FB

=⋅．

②2

||||||

AP AF AB

=g

③2

||||||

BP BF BA

=g

④222

||||||

AP BP AB

+=

学生分组合作，

共同探究新的

结论整个教学过程

中，教师只是启

发、引导，证明

推理过程由学

生来完成，充分

体现学生的主

体地位和教师

的主导作用.

教学过程

教师活动学生活动设计意图

结论3——设PA与x轴交于点C，PB与x轴交于点D，可证

CF AP

⊥、DF BP

⊥和FC FD

⊥.

【证明】如图3由题意可知

2

11

:

2

PA

x x

l y x

p p

=-；

2

22

:

2

PB

x x

l y x

p p

=-

PA与x轴交于点C，点C坐标为1

(,0)

2

x

，

PB与x轴交于点D，点D坐标为2

(,0)

2

x

，

由1

(,)

22

x p

CF=-

u u u v

，

22

121

(,)

22

x x x p

PA

p

-+

=

u u u v

可知

22

21110

2222

x x x x p

p

CF PA

p

--

=+=

u u u v u u u v

g g g

故CF AP

⊥，证明DF BP

⊥思路相同（略）.

由上面可知在四边形FCPD中，三个角FCP

∠、CPD

∠、

PDF

∠都是90°，可知DFC

∠也为90°，即FC FD

⊥.

（到此，主要的垂直结论均已找出并证明，下面根据课上实

际的情况选择是继续挖掘其他结论还是做练习题.）

思考:以AB为直径的圆（即ABP

V的外接圆）与抛物线的准

线有什么位置关系？并证明你的结论.

结论4——以AB为直径的圆与抛物线的准线相切于点P.

(过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线)

学生分组合作，

共同探究新的

结论

通过学生分组

学习，发挥学生

自主学习的能

动性，提高分析

问题和解决问

题的能力，逐步

培养学生的钻

研精神.