静电场习题课

8. 如图所示，一个半径 R 均匀带电圆板，其电荷面 密度为 （＞0），今有一质量为 m，带电量为 −q 的 粒子沿圆板轴线方向向圆板运动。已知距圆心 O 为 b 的位置上时，粒子的速度为 v0，求粒子击中圆板时的 速度（设圆板带电的均匀性始终不变）。
解：先求出均匀带电 圆板在轴线上的电势 dq dU 4 0 r 2 x 2
R
O
1
2
y
E
4 0 ( R 2 y 2 ) 3 / 2
l
1 2Ry
P dy
y
E
12 R l ydy F E 2 dy 0 2 0 0 ( R 2 y 2 ) 3 / 2 12 R 1 1 ( ) 2 2 2 0 R R l
15. 真空中一半径为 R 的圆平面，在通过圆心 O 与 平面垂直的轴线上一点 P 处，有一电量为 q 的电荷， OP = h。求通过圆平面的电通量。 解：取一半径为 r 宽为 dr 的圆环， ds = 2πrdr q E 4 0 ( h2 r 2 ) q 2 rdr cos e E dS 2 2 4 ( h r ) 0 S S qh R rdr 2 0 0 ( h 2 r 2 ) 3 / 2 q h (1 ) 2 0 R 2 h2
②电势
UP
P（零点） 0
P
W PP0 E dl ＝ q0
是从带电体在电场力作用下移动时，电场力对 它做功而引入的描述电场本身性质的又一物理量。
q 1 点电荷 U ， 点电荷系 U＝ 4 0 r 4 0 1 dq 电荷连续分布 U 4 0 r 1 qi i ri
（填增大、不变、减小）
C1C 2 C1不变，C 2增大，C ，而U不变，Q , C1 的U 1 ； C1 C 2 Q不变，则U不变。
11. 两个电容器之比C1： C 2 1： 2, 把它们串联起来接电源 充电，它们的电场能量 之比W1： W2 2:1 ，如果并联起 来接电源充电，则它们 的电场能量之比 W1： W2 1:2 .
③ 通过闭合曲面 S 的总电通量仅仅由 S 面所 包围的电荷提供。 对
④ 闭合曲面 S 上的各点场强，仅仅由 S 面所包 围的电荷提供。 不对（理由同①）
⑤ 应用高斯定理求场强的条件是电场具有对称 性。 是必要条件但不是充分条件。 5. 电量 Q 均匀分布在半径为 R 的球面上，坐标原 点位于球心 O 处，现从球面与 x 轴交点处挖去面元 ΔS，并把它移至无穷远处，若选无穷远处为电势参 考点，且将 ΔS 移走后球面上的电荷分布不变，则此 时球心 O 点的场强和电势是多少？
13. 一带电细线弯成半径为 R 的半圆形，线电荷密 度 0 sin ，式中 0 为一常量， 为半径 R 与 x 轴 所成的夹角，如图所示，试求环心处的电场强度。 解：取线元 dl，它在 O 点的场强 y
Rd dE ( cos i sin j ) 2 4 0 R
② 静电平衡条件下导体性质： a. 导体是等势体，导体表面是等势面；b. 导体内 部无净电荷，电荷只分布在导体表面上；c. 导体表 面附近点的场强垂直导体表面，且与该处电荷面密 度成正比：
E
0
n
5.电介质的极化：① 无极分子的位移极化和有极分 子的取向极化。② 极化的宏观效果：a. 在介质的某 些区域出现了束缚电荷；b. 在介质中有未被抵消的 电矩；c. 介质内部存在极化电场。③ 极化规律：
z
O
S
x
6. 将一单位正电荷将从一对等量异号点电荷连线 中点 O 沿任意路径移到无限远，则电场力对它作的 功为：
A0 q0 (U 0 U ) 0
q
O
q
7.一无限大带电平面，面电荷密度为 + ，在其上 挖掉一个半径为 R 的圆洞，通过圆心 O 并垂直圆面 轴线上一点 P（OP＝x）处的场强。
S
i
i
i
q, 有源场。
S内
⑤ 静电场环路定理 E dl ＝0, 无旋场。
L
3. 主要的计算类型 ① 场强的计算（包括真空和介质） a. 场强叠加原理；b. 高斯定理；c. 场强与电势的微 分关系。 ② 电势的计算（包括真空和介质） a. 已知电荷分布求电势；b. 已知场强分布求电势。 ③ 电通量的计算。 ④ 电场能量的计算。 4. 静电平衡下的导体 ① 静电平衡条件： a 导体内部场强为零； b 导体表面场强处处与表面垂直。
E 与 U 的关系和电场线与等势 面 P0 积分关系 U P E dl ，微分关系 E gradU U P d e E dS , e E dS ③电通量
S
④电容
C
S q q ,C ,孤立球 C 4 0 R, 平 行 板 电 容 器 C 0 U U1 U 2 d 4 0 R1 R2 2 0 L 球形电容器 C , 圆柱形电容器 C R2 R1 l n R2 / R1
由能量守恒， 电场力对 q 所作的功等于它的动能 1 1 2 2 的变化： q(U b U 0 ) mv mv 0 2 2 q 2 v v0 b R b2 R2 。 q v0 0m



x
O
b
9.将一负电荷从无穷远处移到一个不带电的导体附近， 不变 减小 则导体内的场强 ，导体的电势 。
C
4.下列说法是否正确，并举例说明。
① 静电场中的任一闭合曲面 S，若有 E dS 0
S
则 S 面上的 E 处处为零。
不对（ S 面内由等量异号的电荷；或面内无 电荷，面外有电荷等） ② 若闭合曲面 S 上各点的场强为零时，则 S 面 内没有电荷。
不对（闭合导体空腔 S 面内的电荷代数和为 零，但不能说 S 面内未包围电荷）。
x E （ 1 ） 2 2 2 0 2 0 x R σx 2 2 2 0 x R
x 2 rd r E R 4 ( r 2 x 2 ) 3 / 2 0


o
R
x
P
x

x 2 0 r 2 x 2


R
x
2 0 R 2 x 2
q v0

x
O
2 rdr
4 0 r 2 x 2
b
R rdr 2 2 U ( x R x) 2 2 0 2 0 2 0 r x
R 当 x 0, U 0 。 当 x b, U b ( b 2 R 2 b) 2 0 2 0
①均匀带电无限长细棒 : E
7. 需记忆的结论
4 0 r q q ④点电荷的场强、电势 ：E ,U ; 2 4 0 r 4 0 r
qx ⑤均匀带电圆环轴线上 的场强：E 。 2 2 3/ 2 4 0 ( R ＋x ） 1
；
二、举例：
1. 点电荷 Q 被曲面包围，从无穷远处引入一电荷 q 至曲面外一点，则引入前后曲面 S 上的电通量是否 变化？曲面上各点的场强是否变化？
Q2 Q2 C2 , W2 , W1：W2 2： 1 ； 串：W1 2C1 2C 2 C1
1 1 C1 2 2 1： 2； 并：W1 C1U , W2 C 2U , W1：W2 2 2 C2
12. 若把电子想象为一个相 对介电常数 r 1 的球体， 它的电荷 e 在球体内部均匀分布， 假设电子的静电能 量 m0 c 2 时，求电子的半径R。
解：球体内外场强大小 为： er e r R, E ； r R, E ， 3 2 4 0 R 4 0 r 静电能量： R1 1 er 2 2 2 W 0 E dV （ ） 4 r dr 0 3 0 2 2 4 0 R V 2 1 e 3 e 2 2 ＋ （ ） 4 r dr 0 2 R 2 4 0 r 20 0 R 2 3 e W m0c 2 , R 20 0 m0 c 2
解：在移走处填充 S , 则 Q 的球面产生的场强E ＝0, QS y S 产生的场强 E ＝ i , 16 2 R 4 0
故总场强 E 0 E E ＝ Q QS i , 电势 2 4 16 0 R
R
S Q S U0 （ 1 ） 2 4 0 R 4 0 R 4 0 R 4R
均匀各向同性介质： P 0E 1 6. 电场的能量 w E 2 , W＝ wdV 2
正、负均匀带电无限大 平面间的场强: E ； 0
③均匀带电球壳r R, E 0； r R, E q
2
ˆ, r 2 0 r ②均匀带电无限大平面 : E , 2 0
q q 定义：C , C , U U1 U 2 孤立导体球C 4 0 R, 平行板电容器 C
0S
d
,
4 0 R1 R2 2 0 L 球形电容器C , 圆柱形电容器 C R2 R1 ln R2 / R1
⑤电极化强度矢量
P

pe
V
⑥电位移矢量 D o E P, 对各向同性介质 D 0 r E E
静电场的性能方程。
2. 基本规律
① 库仑定律
F q1q2 r 2 4 0 r 1
② 电荷守恒定律 ③ 静电力、场强、电势叠加原理 F Fi , E E i , U U i
1 ④ 高斯定理：真空 E dS 0 S 介质 D dS q0
答：电通量不变， 场强变化。 2. 把一个均匀带电量 ＋Q 的肥皂泡由半 径 r1 吹胀到 r2，则半径为 R（r1< R< r2) 的高斯面上任一点的场强大小 E 由
Q
q

S
Q 4 0 r2
Q 4 0 R
2
变为 0 ；电势 U 由
Q 4 0 R
变为
（选取无穷远处的电势为零）
3.关于静电场中某点电势值的正、负，下面说法中正 确的是： A. 电势值的正负取决于置于该点的试探电荷的正 负。 B. 电势值的正负取决于电场力对试探电荷作功的 正负。 C. 电势值的正负取决于电势零点的选取。 D. 电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负。
静电场ห้องสมุดไป่ตู้题课
一、小结 1.基本概念：①电场强度矢量
F E q0
是从静电场对置于场中的电荷有力的作用而引入 的描述电场本身性质的物理量。
q 1 r ， 点电荷系 E＝ 2 4 0 r 4 0 1 dq 电荷连续分布 E r 2 4 0 r 1 点电荷 E qi ˆ r 2 i r i i
（填增大、不变、减小）
10. ① 若二串联电容器C1 , C 2 接上电源 ε 充 电， 今把介质插入C 2 , C1 的电容 不变 ，C1 的 电势差 增大 ，C1 所带的电量 增大 。
② 若充电后将电源 断开再把介质插入C 2 , 此时 C1 的电容 不变 ， C1 的电势差 不 变 ， C1 所带的电量 不变。。
dl d
R
O dE

x
E
0 2 ( sin cos i sin j )d 4 0 R 0 0 ( j ) 8 0 R
14. 半径为 R、线电荷密度为 1 的均匀带电圆环， 在其轴线上放一长为 l、线电荷密度为 2的均匀带 电直线，该线段的一端处于圆心处，求该直线段受 到的电场力。 解：直线上任一点 P 的场为