运筹学( 图与网络优化)

七桥问题
七桥问题图形
原理及方法
七桥问题是图论中的著名问题。1736年，Euler巧妙 地将此问题化为图的不重复一笔画问题，并证明了 该问题不存在肯定回答。原因在于该图形有顶点连 接奇数条边。
§10.1
图的基本概念
一个图(Graph) 定义为三元有序组
(V (G ), E (G ), G )
几何实现图例
在一个图的几何实现中，两条边的交点可能不是图的顶 点。例如下图 中，它共有4个顶点，6条边；而e 3 与e 4 的交点不是这个图的顶点。
v1
e1
v2 e4
e2
v3
e3
e5
v4
e6
e3
v1
v4
e1 e4
v2
e2
v3 e6
e5
v4
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得边与边仅在
u 1
f5 u3 f6
f2 f4
u2
u4
同构
给定两个图
G (V (G), E(G), G )
H (V ( H ), E( H ), H )
称G和H是同构的，记为 G H ， 如果存在两个一一对应 ( , )
: V (G) V ( H )
: E (G) E ( H )
e7
v2
e3 v3
e6
v4
e4
关联矩阵性质
图G的关联矩阵M=(mij)为m×n矩阵；则每行元
素之和等于相应顶点的度；每列元素之和等于 2。
因此，图G的关联矩阵M所有元素之和既等于所
有顶点的度之和，又等于边数的2倍。 定理 设G是一个图，则
vV ( G )
d (v) 2
推论 图中奇点的数目为偶数。 证明 记
V0 {v V (G), d (v) 0(mod2)};
V1 {v V (G), d (v) 1(mod2)};

vV ( G )
d (v) d (v) d (v) 0(mod2);
vV1 vV0
vV0
d (v) 0(mod2);
vV1

V(G)是图的顶点集合 E(G)是图的边集合 Ψ 是关联函数 记
m V (G ) , G的顶点数; n E (G ) , G的边数;
图的端点
设G是一个图(Graph) G=(V(G),E(G))，
若 e E(G),u, v V (G), G (e) uv
则称e连接u和v，称u和v是e的端点。 称端点u，v与边e是关联的， 称两个顶点u，v是邻接的。
e1 e2
e7
1 1 M (G ) 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 1
e5
v2
e3 v3
e6
v4
e4
注

图的邻接矩阵比它的关联矩阵小的多，因而图 常常以其邻接矩阵的形式存贮与计算机中。 关联矩阵和邻接矩阵统称图的矩阵表示。
设G是一个图，
G (V (G), E(G), G )
V (G) {v1 , v2 , v3}
v1
e1
e3
E(G) {e1, e2 , e3 , e4 , e5}
e2 e4
图10－３ G的几何实现
v2
v3
e5
图的几何实现
一个图可用一个几何图形表示,称为图 的几何实现，其中
每个顶点用点表示，
d (v) 0(mod2);
v V1 V1 0(mod2)
d (v) 1(mod2),
简单图
一个图称为简单图，如果它既没有环也没有多重边。 下图是简单图。
本书只限于讨论有限简单图，
即顶点集与边集都是有限集的图。 只有一个顶点的图称为平凡图； 边集是空集的图称为空图。 f1 f3
顶点的度
设G是一个图， G=(V(G),E(G))，定义图G的顶点v 的度为与顶点v相关联的边数，记作d(v)
例
d (v1 ) 4
d (v2 ) 3
d (v4 ) 4
v1
e5
e1 e2
e7
v2
e3 v3
d (v3 ) 3
称度为奇数的顶点为奇点；
e6
v4
e4
称度为偶数的顶点为偶点。
例
每条边用连接端点的线表示。 图的几何实现有助与我们直观的了解图的许多 性质。
说明
一个图的几何实现并不是唯一的；表示顶点的点和表示边 的线的相对位置并不重要，重要的是图形描绘出 边与顶点之间保持的相互关系。 我们常常把一个图的图形当作这个抽象图自身. 并称图形的点为顶点，图形的线为边。 图论中大多数概念是根据图的表示形式提出的，例如：顶 点、边、多重边、环、路、圈、树等。
图论概述
图论(Graph
Theory)是运筹学中的一个重要分支，
主要研究具有某种二元关系的离散系统的组合结构 和性质。 如，通信系统、交通运输系统、信息网络系统、 生产工艺流程以及军事后勤保障系统等的问题常 用图论模型来描述。
网络规划概述

网络规划(Network Programming )是图论与 线性规划的交叉学科，具有广泛的应用背景， 比如，最短路问题、最小树问题、最大流问题、 最优匹配问题等。
1 1 M (G ) 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 0 1
0 0 0 2
2 2 2 2 2 2 2
1 0 1 0
d (v1 ) 4
d (v2 ) 3
d (v3 ) 3
d (v4 ) 4
4+3+3+4=14=2×7
v1
e5
e1 e2
顶点相交。下图就是一个平面图。
e4
v1
e2
e1
v2
e5
e3
e6
v4
基本概念
端点重合为一点的边称为环。
连接同一对顶点的多条边称为多重边。
在右图中，e5 是一个环，
v1
e1
e3
e1 与e2 是多重边，
v1和e1,e2,e3是关联的，
v1与v2,v3是邻接的。
v2
e2 e4
v3
e5
邻接矩阵
设G是一个图， G=(V(G),E(G))，定义图G的邻 接矩阵A(G) =(aij)为m×m矩阵, 其中 aij是顶点vi与边vj相邻接的边数。
0 2 A(G) 1 1 2 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
v1
e5
e2 e1
e7
v2
e3 v3
e6
v4
e4
关联矩阵
设G是一个图， G=(V(G),E(G))
定义图G的关联矩阵M=(mij)为m×n矩阵；
其中mij是顶点vi与边ej相关联的次数， 取值可能为0、1、2。