材料力学 动载荷

四、计算绳索所需要的横截面积
a
P
P a g
Ad = KdAst ＝1.51×0.5×10－3 × × ＝0.755×10－3㎡ × ＝755mm2
号工字钢， 例 长度 l=12m 的16号工字钢，用横截面面积为 A=108mm2 号工字钢 的钢索起吊，如图a所示 所示， 上升。 的钢索起吊，如图 所示，并以等加速度 a=10m/s2 上升。若只 考虑工字钢的重量而不计吊索自重，试求吊索的动应力，以及 考虑工字钢的重量而不计吊索自重，试求吊索的动应力， 工字钢在危险点的动应力σd,max 解：将集度为 qd=Aρa 的惯性 2m 4m 4m 力加在工字钢上， 力加在工字钢上，使工字钢上 A C 的起吊力与其重量和惯性力假 想地组成平衡力系（见图b）。 想地组成平衡力系（见图 ）。 FNd q 若工字钢单位长度的重量记为 qst ，则惯性力集度为 A qst qd = a g 于是， 于是，工字钢上总的均布力集度为 a q = qst + qd = qst (1 + ) g 2m B (a) FNd B (b)
σ d = γx(1 + )
a γAx x γAx
g
a g
a
a 令K d = (1 + ) ⇒ σ d = K d σ st g
FNd = K d FNst ;
a
σ d = K d σ st ;
∆Ld = K d ∆Lst。
3、强度计算
应力分布 a γl (1 + ) g
FNd
lm
m
σ d = γx(1 + )
v a F
F a g
Q h
ω
l
L
例如:旋转的飞轮突然刹车, 例如:旋转的飞轮突然刹车, 轴受动荷载作用。 轴受动荷载作用。 动荷载作用
例如:打桩、 例如:打桩、气锤的锤杆工作 时均为动荷载作用。 时均为动荷载作用。 动荷载作用
十 七 人 , 六 人 死 亡 , 十 一 人 重 伤 .
锡 某 工 地 升 降 机 从 百 米 高 空 直 接 坠 地 , 升 降 机 内 二 零 零 七 年 十 一 月 十 四 日 中 午 十 一 点 左 右 无
σ d max ≤ [σ d ]
a γAx x γAx
g
a g
a
例、试确定图所示起重机吊索所需的横截面面积A。已知提升物体的重 量P＝40kN，上升时的最大加速度α＝5m/s2，绳索的许用拉应力[ σ ＝ ， [ ]
80MPa。设绳索的质量相对于物体的质量来说很小，可以忽略不计。
解 一、惯性力
FNd
二、动载荷的概念： 动载荷的概念：
载荷随时间急剧变化且使构 件的速度有显著变化（ 件的速度有显著变化（系统产生 惯性力），此类载荷为动载荷 ），此类载荷为动载荷。 惯性力），此类载荷为动载荷。 起重机以加速度吊起重物， 加速度吊起重物 例: 起重机以加速度吊起重物， 重物对吊索的作用为动荷载 重物对吊索的作用为动荷载 作用。 作用。
σd
F Nd γω 2 D 2 γ v 2 = = = ; 4g A g D (v = ω R = ω ) 2
重为G 的转臂端部， 例 重为 的球装在长 L 的转臂端部，以等角速度在光滑水 平面上绕O点旋转 已知许用强度[ 点旋转， 平面上绕 点旋转， 已知许用强度 σ] ，求转臂的截面 面积（不计转臂自重）。 面积（不计转臂自重）。 解：①受力分析如图: 受力分析如图:
解：1、动轴力的确定
F Nd − γ Ax = ma = ⇒ F Nd
γ Ax
g
a
a
a = γ Ax (1 + ) g
l m
a ) g a = γ x (1 + ) g
m
FNd
x
2、动应力的计算
σd
F = Nd = A
γ Ax (1 +
A
a
γAx
g
γAx
a
σd
a γ Ax (1 + ) F Nd a g = = = γ x (1 + ) A A g
0
l
Gl 2ω 2 Gω2 l x2 = ∫0 (lx − 2 )dx = 3gEA glEA
⊕
G ω 2l 2g
x
直径d=100mm的钢轴上装有转动惯量 的钢轴上装有转动惯量J=0.5N*m*s2的飞轮 例: 直径 的钢轴上装有转动惯量 (如图示 轴的转速 ω =200rpm, G=80GPa，制动器与飞轮的 如图示), 如图示 ， 距离l=1m。 试求：当突然制动时 轴内最大切应力。 距离 。 试求：当突然制动时, 轴内最大切应力。 解：制动前瞬时，系统的机械能 制动前瞬时， 1 2 T1 = Jω , V1 = 0, U1 = 0 2 制动后瞬时， 制动后瞬时，系统的机械能 T2 = 0 , V2 = 0
(b)
故得吊索的动应力为
a qst l σ d = K dσ = (1 + ) g 2A
a qst l σ d = K dσ = (1 + ) g 2A
由型钢表查得 qst=20.5kg/m=(20.5N/m)g 及已知数据代入上式， 及已知数据代入上式，即得
10m/s 2 σ d = (1 + ) 2 9.81m/s (20.5 × 9.81N/m)(12m) × 2 ×108 ×10 −6 = 22.6MPa
x
dx
c.绘内力图。确定内力最大的 绘内力图。 绘内力图 截面，并计算最大应力。 截面，并计算最大应力。
FNd ( x )
FNd
x =l
时，该截面上的轴力最大. 该截面上的轴力最大
F Nd max
Gω l = 2g
2
⊕
G ω 2l 2g
x
F Nd max
最大应力为
Gω 2 l = 2g
ω
A
x
dFd
b.取脱离体图，x 处的内力为： 取脱离体图， 处的内力为： 取脱离体图 x x G FNd = ∫ dFd ( x) = ∫ (l − x)ω 2 dx gl 0 0
ω
A
x
dFd
dx
B
l − dx
l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Gω 2 x2 = (lx (lx − ) gl 2
轴力是按抛物线规律变化
FNd (x)
FNd (x)
2m A
4m
4m 2m C B (a) FNd B
z
a
y
FNd q A
(b)
由工字钢的弯矩图(图 可知 可知， 由工字钢的弯矩图 图c)可知，Mmax=6qN·m ， 同理， 同理，工字钢危险截面上危险点处的动应力
σ d,max = K dσ max = (1 + )
并由型钢表查得 Wz=21.2×10-6 m3 ×
二、构件作等速转动时的动应力
截面为A的薄壁圆环平均直径为 D， 以等角速度ω绕垂直于环平面且过圆心的 平面转动，圆环的比重为γ。求圆环横截 面的动应力。
解：一、求薄壁圆环内动内力
R o ω
(1) a n = ω 2 R = ω 2
D 2 γA πD 2 D F = ma n = ω g 2 ma n A γa n (2) qd = = πD g Aγ 2 D = ω g 2
最大动应力
a x = L ⇒ σ d max = γ L (1 + ) g a = 0时 σ d = γ x = σ st
a
a σ d = σ st (1 + ) g
应力分布 a γl (1+ ) g
FNd
m
lm a 令K d = (1 + ) ⇒ σ d = K d σ st g
Kd ——动荷系数； 动荷系数； 动荷系数 受静荷载作用； 下标 st——受静荷载作用； 受静荷载作用 受动荷载作用。 下标 d——受动荷载作用。 受动荷载作用
惯性力：
Fd
Fd = man = ω 2 Rm = ω 2 LG / g
转臂的内力： 转臂的内力：
ω
O L
FNd = Fd = ω 2 LG / g
②强度条件
σ = FNd / A ≤ [σ ]
ω 2GL A≥ = [σ ] ( g [σ ])
FNd
例 一根杆以等角速度绕铅直轴在水平面内转动，已知 杆长 l ，杆的横截面面积为 A ，重量为 W 。 （1）计算 杆内最大应力； （2）计算杆件的伸长。 解：（1）计算杆内最大应力 a.离 A 端为 x 处取一微段， 离 处取一微段， 该微段的惯性力为： 该微段的惯性力为：
a
P
P a g
这是个匀加速直线运动问题， 因为加速度与运动方向一致，所以 惯性力
P a 的方向向下。 的方向向下。 g
二、动荷系数
a 5 Kd = 1+ = 1+ = 1.51 g 9.8
三、计算物体静止时，绳索所需的横截面积 计算物体静止时， 由强度条件得
FNd
40 × 10 3 A st ≥ = = 0 .5 × 10 −3 [σ ] 80 × 10 −6 P
上 海 世 博 会 场 馆 建
.
三、动响应： 动响应：
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、 构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、 位移等），称为动响应。 位移等），称为动响应。 ），称为动响应 实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料， 实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力 不超过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且 E静 = E动。 在动载荷下虎克定律仍成立且
四、动载荷问题的分类： 动载荷问题的分类：
（1）构件作等加速直线运动和等速转动时的动应力计算； ）构件作等加速直线运动和等速转动时的动应力计算； （2）构件在受冲击和作强迫振动时的动应力计算； ）构件在受冲击和作强迫振动时的动应力计算； （3）构件在交变应力作用下的疲劳破坏和疲劳强度计算。 ）构件在交变应力作用下的疲劳破坏和疲劳强度计算。
第二节
惯性力问题
一、 匀加速直线运动构件的动应力计算
提升一等截面直杆， 如图所示一起重机绳索以等加速度 a 提升一等截面直杆，直杆单位 体积的重量（比重、重度） ， 体积的重量（比重、重度）为γ，横截面面积为 A，杆长为 ，不计绳索 ，杆长为L， 的重量。 杆内任意横截面的动应力、最大动应力。 的重量。求：杆内任意横截面的动应力、最大动应力。
a M max g Wz
2m A
4m
4m 2m C B (a) FNd B 6q 2q
z
a
y
FNd q A
以及已知数据代入上式， 以及已知数据代入上式，得
(b)
σ d,max = 2.02
(6 × 20.5 × 9.81) N ⋅ m 21.2 ×10 −6 m 3
= 115MPa
(c) M 图（ N·m)
A
x
ω
dFd (x)
dx l−x
B
G dFd ( x) = dm.an = dx(l − x)ω 2 gl FNd (x) G x 段的质量） 段的质量 dm. = dx （dx段的质量） gl
l
FNd (x)
dx
a n = (l − x )ω 2
（微段处的法向加速度） 微段处的法向加速度）
G dFd ( x) = dm.an = dx(l − x)ω 2 gl
z
a
y
a q = qst + qd = qst (1 + ) g a 引入动荷因数 Kd = 1 + g
则
q = K d qst
2m A
4m
由对称关系可知，两吊索 由对称关系可知， 的轴力相等，其值可由平衡方 的轴力相等， 程求得
4m 2m C B (a) FNd B
z
a
y
FNd
1 = ql 2
FNd q A
ω
l
由机械能守恒， 由机械能守恒，得
第十二章
动载荷
§1 动载荷概念和工程实例 §2 惯性力问题 §3 构件受冲击时的应力及强度计算 §4 提高构件抵抗冲击能力的措施 §5 构件的动力强度和冲击韧度
第一节
动载荷概念和工程实例
一、静荷载的概念： 静荷载的概念：
载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢） 载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各 部件加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷 ），此类载荷为静载荷。 部件加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷 起重机以等速度吊起重物，重物对吊索的作用为静载 等速度吊起重物 静载。 例: 起重机以等速度吊起重物，重物对吊索的作用为静载。
dx
B
l − dx
σ d max
FNd max Gω 2l = = A 2gA
l
（2）计算杆件的伸长
dx段的伸长可表示为
FNd (x)
2 2
FNd (x)
FNd ( x)dx Gω x ∆( dx) = = (lx − )dx EA glEA 2
杆件的总伸长为
x
dx
FNd ( x )
FNd
∆ld = ∫ ∆(dx)
qd
ma n A γa n Aγ 2 D ( 2) q d = = = ω πD g g 2
(3)
∑Y
=0
π
qd
D 2 F Nd = ∫ d ϕ q d sin ϕ = q d D 0 2 1 A γω 2 D 2 ⇒ F Nd = q d D = 2 4g
二、动应力的计算
dφ φ FNd FNd