七年级直线的平行与垂直
七年级数学：《平行垂直》知识点归纳
七年级数学：《平行垂直》知识点归纳一、知识梳理二、1、平行线的定义：三、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．四、2、平行的表示：五、用符号“∥”表示，读作“平行于” ．六、3、同一平面内两条直线的位置关系：七、平行或相交．八、4、平行公理：九、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．十、5、平行的传递性：十一、平行于同一直线的两直线平行．十二、6、平行与角的联系：十三、若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．十四、7、垂直定义：十五、如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直．十六、其中一条直线叫做另一条直线的垂线．它们的交点叫做垂足．十七、两条线段、射线垂直是指这两条线段、射线所在的直线垂直．十八、8、垂直的表示：十九、用符号“⊥”表示，读作“垂直于” ．二十、9、垂直公理：二十一、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．二十二、10、点到直线的距离：二十三、直线外一点到这条直线的垂线段的长度．二十四、11、垂线段的性质：二十五、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．二十六、12、垂直与角的联系：二十七、若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．二、典型例题例1、概念辨析(1)两条不相交的直线叫做平行线．(2)两条直线不相交就平行．(3)两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行．(4)在同一平面内不相交的两条线段必平行．(5)经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．(6)同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行．(7) 点A为直线l外一点，点B在直线l上，若AB＝5厘米，则点A到直线l的距离为5cm．解析：(1)错误，必须加同一平面内，否则在立体几何中，会出现异面的情况．比如一个正方体，上面和前面相交的棱与右面和后面相交的棱，所在直线就是既不平行也不相交．(2)错误，理由同(1)．(3)正确．(4)错误，反例如下图：(5)错误，必须在直线外，否则，如果这个点在直线上，所作直线就与已知直线重合．(6)正确．(7)错误，如下图，当点B在B2处，点A到直线l的距离为5cm，当点B在B1，点A到直线l的距离小于5cm．例2、试画图说明平面内三条直线的位置关系．分析：我们知道，同一平面内的两条直线有相交、平行两种关系．那么到了三条直线，就会出现三条都平行，两条平行，都不平行的情况．在三条都平行的情况外，必然有相交的情况，我们可以从交点数来考虑，即有一个，有两个，有三个交点三种．解答：例3、(1)如图，P是∠AOB外一点，过点P画直线PC∥OA，交OB于点C，过点P画直线PD∥O B，交OA反向延长线于点D，量出∠AOB、∠CPD的度数，你有什么发现？点P如果在∠AOB内部呢？(2)如图，P是∠AOB外一点，过点P画直线PC⊥OA，交OA于点C，过点P画直线PD⊥O B，交OB于点D，量出∠AOB、∠CPD的度数，你有什么发现？点P如果在∠AOB内部呢？分析：本题不难，主要是根据要求作图，然后发现度数之间的联系，不是相等就是互补，最后，再关注所研究的两个角的位置关系，发现其中一个角的两边与另一个角的两边分别平行，从而得出最后结论．解答：(1)当P是∠AOB外一点，∠AOB＋∠CPD＝180°当P是∠AOB内一点，∠AOB＝∠CPD发现：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．(2)当P是∠AOB外一点，∠AOB＝∠CPD当P是∠AOB内一点，∠AOB＋∠CPD＝180°发现：若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．三、思维提升例1、网格作图(1)利用图(1)中的网格，利用直尺过P点画直线AB的平行线和垂线．(2)把图(2)网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形．(3)如果每个方格的边长是单位1，那么图(2)中组成的三角形的面积等于______．分析：网格作图是今后的重点内容，我们应该引起足够的重视，(1)对于作平行，有2种作法，第一种观察线段AB是横2竖4的长方形对角线，那么，过要画的点P，也应该是构造横2竖4的长方形对角线．第二种，采用平移的方法，从点A平移到点P，需要向右4格再向下1格，那么点B也要同样平移，然后将线段两端延长，变成直线．对于作垂直，则和平行相反，过点P需要构造横4竖2的长方形对角线．(2)我们可以保持EF不动，将AB，CD平移，注意，有2种情况．(3)对于网格图形的面积，我们通常可以采用割补法，割，把大图形分成几个小图形，计算面积和，补，把大图形再补成一个更大的，可直接计算面积的图形，减去周围几个小图形的面积和．本题适合用补的方法．解答：例2、垂线段再认识如图，在6×6的正方形网格中，点P是∠AOB的边OB上的一点．过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为H；(1)请找出图中所有的垂线段，并说明这条垂线段的长度是哪个点到哪条直线的距离．(2)线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是______．（用“＜”号连接）分析：要找垂线段，首先要找出所有的垂足，因为垂线段是直线外一点到垂足的距离．这里的垂足显然只有P，H，那么点O，点C，可以和点P，点H组成垂线段．要说明垂线段长度是哪个点到哪一条直线的距离，那么必然选择的是垂线段的两个端点中，不是垂足的那个点，到垂足所在的另外一条与垂线段垂直的直线的距离．解答：(1)OP，OP的长度是点O到直线PC的距离．CP，CP的长度是点C到直线OB的距离．OH，OH的长度是点O到直线PH的距离．CH，CH的长度是点C到直线PH的距离．PH，PH的长度是点P到直线OC的距离．(2)PH＜PC＜OC．例3、思考类作图同一平面内已知线段AB长为10cm，点A、B到直线l的距离分别为6cm和4cm，符合条件的直线l有_______条?分析：显然，同学们都能想到作线段AB的垂线，将线段AB分成6cm，4cm两部分．但其实，在线段AB的两侧还有两条，分别以A、B为圆心、6cm和4cm为半径作圆，当所画的直线与两个圆分别都只有一个交点时，也符合题意，这样的直线有两条，即共有3条．到了初三，我们会知道，这三条线就是所画的两个圆的切线．解答：如图，三条红色的直线即为所求．变式如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有________个．分析：我们可以先找线，再确定点，先找出到l1距离为2的直线，到12距离为1的直线，显然，它们的交点，就满足题意．画图后，不难发现到l1距离为2的直线有2条，到12距离为1的直线有2条，这4条直线两两相交，有4个交点，这4个交点就是"距离坐标"是(2，1)的点．解答：如图，到l1距离为2的直线是2条蓝色直线，到12距离为1的直线是2条红色直线，四个交点即为所求．。
初中数学易考知识点平行线和垂直线的性质
初中数学易考知识点平行线和垂直线的性质在初中数学中，平行线和垂直线是比较基础且常被考察的知识点。
掌握平行线和垂直线的性质对于解题和理解几何概念都非常重要。
接下来，本文将分别介绍平行线和垂直线的性质。
一、平行线的性质平行线是指不相交的两条直线在平面上延伸时永不相交的直线。
下面是平行线的几个性质：1. 平行线的定义两条直线在平面上平行的定义为：它们不相交且在同一平面上延伸时永不相交。
2. 平行线的判定方法（1）同位角相等法：若两条直线与一条直线相交时，同位角相等，则这两条直线是平行线。
（2）对顶角相等法：若两条直线与一条直线相交时，它们成一对对顶角的角度相等，则这两条直线是平行的。
3. 平行线的性质（1）平行线上的任意两条直线与第三条直线的交线所形成的内错角和外错角互补，即和为180°。
（2）平行线上的任意一条直线与一条横截线相交时，同位角相等，内错角和外错角互补。
二、垂直线的性质垂直线是指两条直线相交时，相交的角度为90°，称为垂直。
下面是垂直线的几个性质：1. 垂直线的定义两条直线垂直的定义为：它们的交角度量为90°。
2. 垂直线的判定方法（1）两条直线的斜率之乘积为-1时，这两条直线是垂直的。
（2）两条直线的角度为90°时，这两条直线是垂直的。
3. 垂直线的性质（1）垂直线上的任意一条直线与平行于另一直线的直线相交时，所形成的角度为直角，即90°。
（2）两条垂直线上的任意一条直线与第三条直线相交时，所形成的内错角和外错角互补。
三、平行线和垂直线的应用平行线和垂直线的性质在几何学和实际生活中有着广泛的应用。
1. 平行线的应用平行线的性质可以应用于建筑、绘图、设计等领域。
例如，在绘制透视图时，平行线的应用可以使得图像显得更加逼真，立体感更强。
2. 垂直线的应用垂直线的性质可以应用于测量与角度相关的问题，如建筑物的竖直度、平面图的编制等。
总结起来，初中数学中平行线和垂直线是非常重要的概念。
初中数学 什么是直线的平行线和垂直线
初中数学什么是直线的平行线和垂直线在初中数学中，直线是由无限多个点组成的无厚度的线段。
在几何中，我们经常会遇到直线的平行线和垂直线的概念。
一、平行线：平行线是指在同一个平面上，不相交且永远保持相同距离的两条直线。
简单来说，平行线是永远不会相交的直线。
判断直线是否平行的方法有多种：1. 基于角度：如果两条直线的斜率相等且不相交，那么它们是平行线。
2. 基于向量：如果两条直线的方向向量平行，那么它们是平行线。
3. 基于坐标：如果两条直线的方程中的系数比例相同，那么它们是平行线。
例如，直线L₁的方程为y = 2x + 1，直线L₂的方程为y = 2x - 3。
我们可以观察到这两条直线的斜率相等，因此它们是平行线。
平行线的性质：1. 平行线之间的距离始终相等。
2. 平行线之间的任意两条线与第三条线的交角相等。
3. 平行线之间的任意两条线与平行线外的一条横截线的交角相等。
二、垂直线：垂直线是指两条直线之间的交角为90度（即直角）的线。
判断直线是否垂直的方法有多种：1. 基于斜率：如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直线。
2. 基于向量：如果两条直线的方向向量垂直，那么它们是垂直线。
3. 基于坐标：如果两条直线的方程中的系数比例为互为倒数，那么它们是垂直线。
例如，直线L₁的方程为y = 2x + 1，直线L₂的方程为y = -1/2x + 3。
我们可以观察到这两条直线的斜率的乘积为-1，因此它们是垂直线。
垂直线的性质：1. 垂直线之间的交角为90度（直角）。
2. 垂直线与平行线之间的交角为90度（直角）。
综上所述，直线的平行线是指在同一个平面上不相交且保持相同距离的直线，而垂直线是指两条直线之间的交角为90度的线。
我们可以使用角度、斜率或者向量的方法来判断直线的平行关系和垂直关系。
这些概念在初中数学中是非常重要的。
初一数学性质平行线与垂直线
初一数学性质平行线与垂直线初一数学性质：平行线与垂直线在初一数学的学习中，平行线与垂直线是非常重要的概念。
它们不仅在几何图形的研究中起着关键作用，也为我们理解和解决许多数学问题提供了基础。
首先，让我们来了解一下什么是平行线。
平行线是指在同一平面内，永远不会相交的两条直线。
想象一下，在一个无限延展的平面上，有两条直线，无论它们延伸多远，都始终保持着相同的距离，没有任何交点，这就是平行线。
比如，我们常见的铁路轨道，就是两条平行线的很好例子。
它们始终保持着相等的间距，让火车能够平稳地行驶。
平行线具有一些重要的性质。
其中一个关键性质是，如果两条直线与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
这就像是在传递一种“平行的信息”，如果直线 a 平行于直线 c，直线 b 也平行于直线 c，那么直线 a 和直线 b 也必然平行。
另外，同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补，也是平行线的重要性质。
同位角是指两条平行线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的角。
内错角则是两条平行线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间。
同旁内角是在两条平行线被第三条直线所截，在截线同旁，且在两条被截线之间的角。
当两条直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
这些性质在解决与平行线相关的几何问题时非常有用。
接下来，我们再看看垂直线。
垂直线是指两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
直角就是 90 度的角。
比如，我们日常生活中的电线杆与地面通常是垂直的，建筑物的墙壁与地面也是垂直的。
垂直线也有其独特的性质。
其中最重要的性质是，在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。
这就意味着，如果给定一条直线和一个点，那么只有一条直线可以通过这个点并且与给定的直线垂直。
此外，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也必定垂直于另一条。
这就像是垂直线的“连锁反应”，只要与其中一条平行线有垂直关系，那么与另一条也必然存在垂直关系。
初中数学易考知识点平行线与垂直线的性质
初中数学易考知识点平行线与垂直线的性质初中数学易考知识点：平行线与垂直线的性质平行线与垂直线是初中数学中非常基础且重要的概念。
在几何图形的研究和问题解决中，平行线与垂直线的性质经常被应用。
本文将详细介绍平行线与垂直线的定义、性质以及一些常见的推理方法与例题。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上永远不会相交的两条直线。
其性质主要包括以下几点：1. 平行线的定义：给定平面上的两条直线AB和CD，如果AB // CD，表示AB与CD是平行线。
2. 平行线与平行线：如果AB // CD，且CD // EF，则可以推断出AB // EF。
即，如果两条直线分别与另一条直线平行，则这两条直线也是平行的。
3. 平行线的性质：平行线之间的距离永远相等。
例如，如果AB // CD，那么点A到直线CD的距离等于点B到直线CD的距离。
4. 平行线上的角：平行线所形成的对应角相等。
对应角是指位置相对应的两个角，一个在内部，一个在外部。
对应角的特性使得我们能够进行很多角度方面的推理。
5. 平行线的证明方法：常用的证明方法有反证法、等价角、转换角和同旁内角等。
通过灵活运用这些证明方法，能够有效地证明两条直线是否平行。
通过对平行线的性质的学习，我们可以应用到许多问题中，如平行四边形和三角形的性质推导、证明两条直线平行或垂直等。
二、垂直线的性质垂直线是指两条直线，它们的夹角为90度。
垂直线的性质如下：1. 垂直线的定义：给定平面上的两条直线AB和CD，如果∠ABC=90°，表示AB与CD是垂直线。
2. 垂直线的性质：垂直线之间是相互垂直的，如果两条直线相互垂直，则它们之间的夹角为90度。
3. 垂直线与平行线：如果AB ⊥ CD，且CD // EF，则可以推断出AB ⊥ EF。
即，如果一条线与平行于另一条线的直线垂直，那么这两条直线也是垂直的。
4. 垂直线的推理方法：常用的推理方法有同位角、转换角和同旁内角等。
这些方法能够帮助我们判断两条直线是否垂直，或者解决一些垂直线的性质问题。
初一数学平行线与垂直线
初一数学平行线与垂直线在初中数学学习中，平行线与垂直线是很重要的概念。
本文将深入探讨平行线与垂直线的定义、性质以及它们在几何图形中的应用。
第一部分：平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面上不存在交点的两条直线。
要判断两条直线是否平行，我们可以使用以下几种方法：1. 角度判定法：如果两条直线被一条横截线切割所形成的相邻内角相等（互补角、对顶角、同位角等），那么这两条直线是平行线。
2. 距离判定法：如果两条直线上任意两点之间的距离相等，那么这两条直线是平行线。
了解了平行线的定义后，我们来看一下它的一些性质：1. 平行线具有传递性：如果直线AB与直线CD平行，直线CD与直线EF平行，那么直线AB与直线EF也平行。
2. 平行线间的夹角性质：对于两条直线AB和CD，如果一条横截线EF与这两条直线相交，那么所形成的内角、外角和对顶角都具有一定的关系。
第二部分：垂直线的定义与性质垂直线是指在平面上与另一条直线成直角的直线。
要判断两条直线是否垂直，可以使用以下方法：1. 角度判定法：如果两条直线的相邻内角互为补角（和为90度），那么这两条直线是垂直线。
2. 斜率判定法：如果两条直线的斜率乘积为-1，那么这两条直线是垂直线。
垂直线的性质有：1. 垂直线存在唯一性：通过一个点，可以作出与已知直线垂直的直线，并且这条直线是唯一的。
2. 垂直线与平行线的关系：如果一条直线与另一条直线垂直，并且与第三条直线平行，那么这两条直线也垂直。
第三部分：平行线与垂直线在几何图形中的应用平行线与垂直线在几何图形中应用广泛，下面以几个常见的图形为例进行介绍：1. 矩形：矩形的对边互相平行且相等，对角线互相垂直。
2. 正方形：正方形的边互相平行且相等，对角线互相垂直。
3. 平行四边形：平行四边形的对边互相平行，但对角线不一定垂直。
4. 直角三角形：直角三角形的两条直角边与斜边垂直。
通过对几何图形中平行线与垂直线的应用，我们可以更好地理解这些概念的性质，并且在解题过程中更加熟练地运用它们。
初中数学 什么是平行线和垂直线
初中数学什么是平行线和垂直线平行线和垂直线是初中数学中重要的几何概念。
本文将详细介绍平行线和垂直线的定义、性质和常见应用。
一、平行线平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。
简单来说，平行线是永远保持相同距离的直线。
平行线的定义：给定平面上的两条直线l和m，如果它们在平面上永远不会相交，那么我们称l 与m是平行线。
记作l || m。
平行线的性质：1. 平行线上的任意两个点与另一条平行线上的任意两个点之间的线段长度相等。
2. 平行线的斜率相等或者有一个不存在斜率。
平行线的应用：1. 在几何证明中，平行线常用于构造图形、定位和描述。
2. 平行线的性质被广泛应用于测量、计算和解决实际问题。
二、垂直线垂直线是指两条直线在相交点处形成的四个相邻角中，两个相邻角是直角的直线。
垂直线的定义：给定平面上的两条直线l和m，如果它们在相交点处形成的四个相邻角中，两个相邻角是直角，则我们称l与m是垂直线。
记作l ⊥ m。
垂直线的性质：1. 垂直线上的任意两个角是直角。
2. 垂直线与平行线的交角是直角。
垂直线的应用：1. 在几何证明中，垂直线常用于构造图形、定位和描述。
2. 垂直线的性质被广泛应用于测量、计算和解决实际问题。
总结：本文详细介绍了初中数学中的平行线和垂直线的定义、性质和常见应用。
平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线，垂直线是指两条直线在相交点处形成的四个相邻角中，两个相邻角是直角的直线。
平行线和垂直线在几何证明、测量和解决实际问题中都有重要的应用。
通过理解和应用这些概念，学生可以更好地理解几何学的基本概念和性质。
初中数学课件-平行与垂直
下面两条直线之间是一样宽的吗?
A
B
C
这两条直线延长后会相交吗?为什 么?你能说说什么是平行线吗?
下面哪一组中的两条直线互相平行？
（1）
是
（2）
是
（3） 单击此处输入你的正文
熟悉下图吗?找一找,哪 些是平行线?
找找看下面图形 中哪些交直线的分类
（1）
（
）,互相垂直的是（ ）
2
Ａ
3
Ｂ
4
Ｃ
5
Ｄ
6
Ｅ
7
B
8
C
判断对错。
１、在一个平面内，不相交的两条直线互 相平行.（ 对 ） ２、两条直线相交，那么这两条直线互相 垂直。（错 ）
3、如图
b 直线b叫垂线。（ 错 ）
a
4、不相交的两条直线叫平行线。（ 错 ）
再见
谢谢指导 汇报人姓名
平行与垂直
教版第七册
下图中两条红色的线
1 2
3
4
□
两条直线在一个平面 里可能出现几种情况， 你能把它们分一下类 吗？
相交 永不相交
L1
L2 在在同同一一平平面面内内，不不相相交交的的两条直线 叫做平行线。
直线 L1∥L2 直线 L1与L2互相平行 直线 L1平行于L2，直线 L2也平行于L1
不是
（2）
（3）
（4）
这两条直线是平行的吗?
∠1是多少度?
1
□
O(垂足)
a
是90度, 成了直角
b
两条直线相交成直角,我们
说这两条直线互相垂直,这
两条直线的交点叫做垂足,
其中一条直线叫另一条直线
的垂线.
Ａ
七年级平行与垂直教学设计3篇 平行与垂直教学内容
七年级平行与垂直教学设计3篇平行与垂直教学内容下面是收集的七年级平行与垂直教学设计3篇平行与垂直教学内容，供大家参考。
七年级平行与垂直教学设计1教学目标：1、通过自主探究活动，理解平行与垂直这两种特殊的直线间的位置关系，初步认识平行线和垂线。
2、通过观察、操作、讨论、归纳等活动，积累操作和思考的活动经验。
3、发展学生的空间观念，初步渗透分类的数学思想。
教学重点：正确理解相交、互相平行、互相垂直的概念。
教学难点：理解平行与垂直概念的本质特征。
教具准备：学生白纸、小棒、直角板、课件、黑板教学过程：一、唤起与生成同学们，直线我们已经学过了，今天这节课我们就来研究两条直线之间的位置关系(板书：两条直线)让我们一起想象一下，如果让我们在一张白纸上画两条直线，这两条直线会形成怎样的位置关系呢?(生着急回答)我们不急着回答。
二、探究与解决先拿出老师给你们准备的白纸和两根小棒，把白纸当作平面，两根小棒当做是两条直线，先在白纸上摆一摆，然后再照样子画一画。
请看大屏幕，老师有操作要求。
谁来读一读。
(你的声音真响亮) (出示课件2)摆一摆师：根据老师的要求，动动小手，开始吧。
(教师巡视)学生一边摆一边画，老师边观察边收集学生具有代表性的作品。
(选出能呈现各种情况的典型作品)小结：同学们的想象力太丰富了，画出了那么多种情况。
这是我从同学们手中收集的有代表性的作品，我们一起来欣赏一下同学们的作品。
(老师张贴)为了交流方便，我们给它标上序号。
在一张白纸上画两条直线，同学们画出了这么一些不同的情况，如果现在请你根据两条直线的位置关系，把这5种情况分分类，你觉得可以怎么分?(课件3) 看大屏幕，老师读要求，先独立思考再在小组内交流。
分好了，把你的想法说给同桌听一听，请小组派代表来汇报一下，你们是按什么进行分类的?分类的结果是什么?来，你说，老师把它记下来。
21教育网学生汇报了三种情况。
我们仔细观察一下，这两种分法，有什么不一样?②号?我们统计一下，这样分的举手。
1初中证明直线垂直平行的方法
1初中证明直线垂直平行的方法
初中证明直线垂直和平行的方法常见有以下几种：
证明直线垂直的方法：
1.垂直交线法：如果两条直线交于一点，并且交角为90度，则可以证明这两条直线是垂直的。
可以使用直尺和量角器来测量交角。
2.垂直斜交线法：如果两条直线的斜率乘积为-1，则可以证明这两条直线是垂直的。
根据斜率的定义，可以求出两条直线的斜率，然后计算斜率的乘积，若为-1则证明两条直线垂直。
3.垂直平移法：如果一条直线上的所有点按照垂直方向平移得到的点仍然在另一条直线上，则可以证明这两条直线是垂直的。
可以分别求出两条直线上的点的坐标，然后将其中一条直线上的点按照垂直方向平移，如果得到的点在另一条直线上，则证明两条直线垂直。
证明直线平行的方法：
1.平行性质法：根据平行线的性质，如果两条直线与第三条直线的交角分别相等，则可以证明这两条直线是平行的。
可以使用直尺和量角器来测量交角。
2.斜率法：如果两条直线的斜率相等，则可以证明这两条直线是平行的。
可以分别求出两条直线的斜率，如果相等则证明两条直线平行。
3.互补角法：如果两条直线间的相邻内角和为180度，则可以证明这两条直线是平行的。
可以使用直尺和量角器求出相邻内角和，如果等于180度则证明两条直线平行。
以上是一些常见的初中证明直线垂直和平行的方法，学生可以根据具体问题选择合适的方法进行证明。
证明过程中需要使用几何图形的性质和一些基本的几何知识，同时需要运用一些几何推理的方法。
《平行与垂直》课件
物的高度、柱子和横梁等元素可以保持垂直，以实现视觉上的突出和力
量感。
02
城市规划
在城市规划中，垂直线用于划分不同的功能区域和空间层次。例如，商
业区、住宅区和公园等区域可以沿着垂直轴线进行布局，以实现空间的
有效利用和城市的可持续发展。
03
交通工程
在道路和桥梁设计中，垂直线用于支撑和连接不同的交通层面。这样可
如果一条直线与平面内的一条直 线垂直，那么这条直线与该平面
垂直。
斜线与平面
如果一条直线与平面内的两条相交 的直线都垂直，那么这条直线与该 平面垂直。
三垂线定理
如果平面内的一条直线与平面的一 条斜线在平面内的射影垂直，那么 这条直线与斜线垂直。
04
平行与垂直的应用
平行的应用
建筑学
在建筑设计中，平行线可以用来 构建对称、平衡和和谐的外观。 例如，窗户、门和墙面的线条可 以保持平行，以实现视觉上的统
填空题：若直线a与直线b平 行，且被直线c所截，则同位 角____，内错角____，同旁内
角____。
答案
判断题：错。应该是两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
选择题：B。
填空题：相等，相等，互补。
THANKS
感谢观看
一和美感。
交通工程
在道路和轨道设计中，平行线用 于规划车辆行驶的方向和路线。 这样可以确保交通流畅，减少事
故风险，并提高运输效率。
艺术与设计
在绘画、摄影和图形设计中，平 行线可以用来创造平衡、稳定和 动态的效果。艺术家可以利用平 行线来表达特定的主题和情感。
垂直的应用
01
建筑学
在建筑设计中，垂直线用于构建高大、雄伟和稳定的外观。例如，建筑
七年级数学平行线与垂直线
七年级数学平行线与垂直线平行线与垂直线是七年级数学中的重要概念。
本文将详细介绍平行线和垂直线的定义、性质以及应用。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面上没有交点的直线。
具体来说，如果两条直线在平面上任何一个点处的夹角都相等，那么这两条直线就是平行线。
平行线的性质如下：1. 平行线上的任意两条线段之间的夹角都相等。
2. 平行线的斜率相等，而且无限大或无限小。
3. 平行线之间的距离始终保持不变。
二、垂直线的定义和性质垂直线是指在同一个平面上与另一条直线相交，且相交角度为90度的直线。
通常用垂直符号“⊥”表示。
垂直线的性质如下：1. 垂直线上的任意两条线段之间的夹角都是90度。
2. 垂直线的斜率相乘为-1。
三、平行线和垂直线的关系1. 如果两条直线相交的夹角为90度，则这两条直线互为垂直线。
2. 如果两条直线是平行线，那么它们的斜率相等且不相交。
3. 如果两条直线相互垂直，并且其中一条直线与另一条直线的斜率都存在，那么这两条直线的斜率相乘等于-1。
四、平行线和垂直线的应用平行线和垂直线在日常生活和建筑设计中有着广泛的应用。
1. 建筑设计中常常需要利用垂直线确保墙壁、楼梯等结构的垂直性。
2. 平行线的应用包括平行线测量、交通规划、线性编码等。
3. 垂直线可以用于制作正交图，例如建筑、机械等图纸的绘制。
4. 在地理学中，纬度线和经度线是一种特殊的平行线和垂直线，用于确定地点的位置。
总结：平行线和垂直线是七年级数学中的重要概念。
通过理解和掌握平行线和垂直线的定义、性质以及应用，我们可以更好地理解和应用这些概念。
无论是在几何学、建筑设计还是其他实际场景中，平行线和垂直线都扮演着重要的角色，对我们的生活和工作有着积极的影响。
文本共计606字。
七年级平行与垂直的知识点
七年级平行与垂直的知识点在七年级数学中，平行与垂直是非常重要的概念，用于解决许多几何问题。
本文将讨论平行和垂直的概念、性质和应用。
平行的概念两条直线在同一平面内，若它们没有交点，则称这两条直线是平行的。
用符号“∥”表示。
平行的性质1. 平行线夹带锐角的三角形内角和为180度；2. 平行线上的对应角相等（错位同旁内角）；3. 平行线上的共线变角、同旁外角互补；4. 垂直与平行定理：如果两条直线分别与第三条直线垂直相交，并且不在同一平面上，那么这两条直线必定互相平行。
垂直的概念当两条直线、线段或射线正交于一点时，它们是垂直的。
用符号“⊥”表示。
垂直的性质1. 垂直线夹带直角的三角形内角和为180度；2. 垂直的任意两条直线上的对应角互相补充；3. 符号“⊥”可以用于表示两个较小的图形部分之间的垂直关系。
平行与垂直的应用1. 平行线的应用：平行线的概念在初中数学中的应用非常广泛。
如用平行线推导出梯形、平行四边形等图形的性质，以及求解相似三角形的方法等。
2. 垂直角和直角三角形的应用：在使用勾股定理求解三角形边长或角度时，垂直角和直角三角形的概念起着重要的作用。
3. 平面切割立体图形的应用：平行和垂直线的概念也被广泛应用于几何学领域。
例如，在平面切割立体图形时，需要根据平行和垂直的概念来进行操作。
结论在初中数学中，平行和垂直是非常重要的概念。
对于许多几何问题的解决，平行和垂直的概念均起到了至关重要的作用。
通过对平行和垂直的定义、性质和应用的了解，同学们可以更好地理解几何图形的组成，从而提升解决数学问题的能力和效率。
1.初中证明直线垂直、平行的方法
证明两条直线垂直（直角）的常用方法（一）相交线与平行线1.定义法：两条直线相交成直角则两直线垂直。
2.两条平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。
即：若a‖b，a ⊥c，则b⊥c。
3.邻补角的平分线互相垂直。
4.到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
（二）三角形5.证直角三角形：直角三角形的两直角边互相垂直。
①三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。
②三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这边所对的内角为直角。
③勾股定理的逆定理：三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。
6.三线合一法：等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
7.三角形相似法：证一个三角形与直角三角形相似。
8.三角形全等法：证一个三角形与直角三角形全等。
（三）四边形9.矩形的两邻边互相垂直。
10.菱形的两条对角线互相垂直平分，且平分每一组对角。
（四）圆12.半圆或直径所对的圆周角是直角。
13.圆的切线垂直于过切点的半径。
（五）图形变换法14.轴对称图形的对称轴垂直平分对应点之间的连线。
15.同一法或反证法（不要求掌握）证明直线平行的常用方法（一）平行线与相交线：1.在同一平面内，两条不相交的直线互相平行。
2.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行。
3.平行于同一直线的两直线互相平行。
4.平行线的判定方法：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行。
（二）三角形5.三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
6.一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边。
（三）四边形7.平行四边形的两组对边互相平行。
8.梯形的两底边平行。
9.梯形的中位线平行于两底。
（四）同一法或反证法（不要求掌握）证明两线段相等的常用方法（一）三角形1.等角对等边：两线段在同一三角形中，证明等腰或等边三角形。
初一数学第12单元 平行与垂直
初一数学第12单元 平行与垂直姓名知识点1叫做平行线. 通常用“ ”表示平行，如图中直线AB 与直线CD 平行， 记作 .如果用l ，m 表示这两条直线，那么 直线l 与直线m 平行记作 .平行线的性质：经过直线外一点， . 如果两条直线都与第三条直线平行，那么 . 知识点2如果 ，那么这两条直线互相垂直.直线AB 与直线CD 垂直，记作 .如果用l ，m 表示这两条直线，那么直线l 与直线m 垂直，记作 .互相垂直的两条直线的交点叫做 .平面内，过一点 与已知直线垂直. 直线外一点与直线上个点连接的所有线段中， 最短.过A 点作l 的垂线，垂足为B 点.线段AB 的长度叫做.例1 如图，已知四边形ABCD ，①过点A 作直线AE ⊥BC ，E 为垂足；②过点A 作AF ∥BC.例 2 如图，AB ⊥CD ，垂足为O.（1）比较∠AOD ，∠EOB ，∠AOE 的大小.（2）若∠EOC=28°，求∠EOB 和∠EOD 的度数.CABDlmlAADBC例 3 如图，OA 丄OB ，OC 丄OD ，OE 为∠BOD 的平分线，∠BOE=18°，求∠AOC 的度数. 练习：1.同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个数为（ ）. A.0 B.1 C.2 D.32.下列说法错误的是（ ）.A.直线a ∥b ，若c 与a 相交，则b 与c 也相交B.直线a 与b 相交，c 与a 相交，则b ∥cC.直线AB 与CD 平行，则AB 上所有点都在CD 同侧D.直线a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 3.如右图，过C 点作线段AB 的平行线，说法正确的是（ ）. A.不能作 B.只能作一条 C.能作两条 D.能作无数条4.给出条件：①两条直线相交成直角；②两条直线互相垂直；③一条直线是另一直线的垂线. 能否以上述任何一个为条件得出另外两个为内容的结论，正确的是（ ）. A.能 B.不能 C.有的能有的不能 D.无法确定5.以下结论正确的是（ ）.A.不相交的两条线段叫平行线段B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行C.若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ⊥bD.同一平面内，如果两条线段不相交，那它们也不一定平行 6.在同一平面内的三条直线，如果要使其中的两条且只有两条平行，那么它们只能（ ）. A.有一个交点 B.有两个交点 C.有三个交点 D.没有交点 7.如果1l ∥2l ，2l ∥3l ，3l ∥4l ，那么1l 与4l 的关系是（ ）. A.平行 B.相交 C.重合 D.不能确定8.平面内二条平行直线将平面分成三部分，三条平行直线将平面分成四部分，请问：①四条、五条平行直线分别将平面分成几部分？②n 条平行线将平面分成几部分？(n 为大于1的正整数)。
七年级平行线知识点归纳
七年级平行线知识点归纳
平行线是初中数学中的重要知识点，学好平行线对后续学习几何知识有很大帮助。
下面是对七年级平行线知识点的归纳总结。
一、平行线和垂直线的基本概念
1.两条不在同一平面内的直线没有交点，称为异面直线。
2.两条在同一平面内的直线，若它们不在同一点相交，则称它们为平行的。
3.两条平行直线之间的距离是相等的。
4.两条垂直直线之间的角度为90度。
二、判定平行线的方法
1.同位角相等定理：当一条直线被另外两个直线截断时，同位角相等的两条直线平行。
2.内错角、外错角定理：两条直线被一条横截线截断时，同侧内错角之和等于180度，同侧外错角之和等于180度。
3.平行线的性质之一：一条直线与两条平行直线相交时，所作的内角和为180度。
三、平行线的性质
1.平行线与平面的交线上所有的角都相等。
2.同位角互相等价，即对应的同位角互相相等。
3.被平行线截断的两条直线所夹角相等。
4.平行四边形的对角线互相平分。
四、平面内角和公式
1.三角形的内角和为180度。
2.四边形的内角和为360度。
3.n边形的内角和为(n-2)×180度。
以上是七年级平行线知识点的归纳总结，希望对你的学习有帮助。
同时还需要多做练习，加深理解和熟练掌握。
初一数学(平行与垂直)
辅导教案教学目的1．了解平行线的概念2．会用三角尺和直尺过直线外一点画已知直线的平行线．3．会使用工具按要求画垂线，掌握垂线（段）的性质。
教学内容1．平行线的概念同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．【注意】：①“在同一平面内”是定义的首要前提条件，不可缺少，因为在空间里，还存在两条直线既不相交，也不平行的情况；②“不相交”是说两条直线向两个方向怎样延长都不会相交；③平常所说的两条射线或线段平行，实质上是指它们所在的直线平行；④在同一平面内，两条不重合的直线只有两种位置关系：平行与相交．2．平行线的表示方法平行线符号“∥”表示．如AB平行于CD表示为AB∥CD．3．平行线的基本性质经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理及其推论是整个初中平面几何的基石，是其他公理、定理的基础，它们的作用十分重要．平行公理及其推论在说明直线平行时，经常用到．【注意】：这条性质与垂线的性质很相似，但过任意一点都可以画垂线，而画平行线，只能是过直线外一点才可以．4．垂直的定义如果两条直线相交成直角。
那么这两条直线互相垂直；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
【注意】当两条直线垂直时，其中一条直线叫做两一条直线的垂线5．垂直的表示方法如图的两条直线互相垂直，记作a b ⊥，也可以记作AB CD ⊥，其中点O 是垂足。
b aOBAD C6． 垂直的基本性质（1） 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2） 直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短（3） 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离【典型例题讲解】【例l 】下列结论中正确的个数是 ( )①同一平面内不相交的两条直线必平行；②同一平面内不平行的两条直线必相交；③同一平面内不相交的两条线段必平行； ④同一平面内不平行的两条线段必相交．(A)l (B)2 (C)3 (D)4【例2】完成下列推理：(1)如图，已知AB ∥EF ，AB ∥CD ．因为AB ∥EF ， （已知），所以____∥____( )(2)如图所示，已知MN AB ⊥于M ，CD AB ⊥于D ．因为MN AB ⊥于M ，CD AB ⊥于D （已知），所以NMB ∠=____＝ ( )． 你能发现这两条直线MN 与CD 位置关系是 ．【巩固练习】1.平行线是 ( )A ．没有公共点的两条直线B ．在同一平面内，不相交的两条直线C ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行D ．永远不会相交的两条直线【例3】如图所示，经过点M 画MN ∥OA ，交OB 于点N ；画ME ∥OB ，交OA 于点E ．【巩固练习】1.⑴在如图所示的方格纸上，画DE ∥AB ，EF ∥BC ；⑵∠ABC 与∠DEF 的大小有什么关系？2.按要求作图：①在ABC ∆在边AB 上取中点D ，过D 画BC 的平行线交AC 于点E ；②在OMN ∆的边MN 上顺次取三等分点Q P 、，分别过Q P 、作OM 的平行线，交ON 于点T S 、。
初一数学平行线与垂直线
初一数学平行线与垂直线初一数学——平行线与垂直线数学是一门让人们共同热爱的学科，它的严谨与逻辑引领着我们走向思维的宽广世界。
初中数学作为数学学科的基础，其中的平行线与垂直线是我们学习的重要内容之一。
本文将详细介绍初一数学中关于平行线与垂直线的概念、性质和应用，以帮助大家更好地理解和运用这些概念。
一、平行线的概念与性质1、平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线。
具体来说，如果两条直线没有任何一个公共点，那么它们就是平行线。
2、平行线的判定方法（1）同位角相等判定法：如果两条直线相交，同位角相等，那么这两条直线就是平行线。
（2）内错外分比例相等判定法：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线在两条平行线上的截线段长度比例相等。
（3）平行线的性质：平行线具有以下性质：A. 平行线上的任意一组同位角相等；B. 相交线与平行线所成的内错外分角相等。
3、平行线的应用平行线在我们的生活中应用广泛。
在建筑设计、地理测量、编程等方面都有着重要的作用。
例如，在建筑设计中，为了保证建筑物的结构稳定，我们常常采用平行线的原理来设计柱子和墙壁的排布。
二、垂直线的概念与性质1、垂直线的定义垂直线是指与平面上的一条直线相交且与其相交的角度为90度的直线，也称为垂直于该线。
2、垂直线的判定方法（1）同位角相等判定法：如果一组同位角相等的两条直线相交，那么这两条直线互相垂直。
（2）互补角相等判定法：如果两条直线互相垂直，那么它们所成的内错外分角相等。
（3）垂直线的性质：垂直线具有以下性质：A. 相互垂直的两条直线切割出来的对应角是相等的；B. 垂直于同一直线的两条直线是平行线。
3、垂直线的应用垂直线在我们的生活中也应用广泛。
比如，在建筑设计中，我们常常利用垂直线的概念来保证墙壁的垂直平衡。
此外，垂直线还被应用于地理测量中确定高度和角度等。
三、平行线与垂直线的相关性1、平行线与垂直线的关系平行线与垂直线是两种特殊的关系。
直线平行公式和垂直公式
直线平行公式和垂直公式直线平行公式和垂直公式是初中数学中非常重要的概念，也是初中数学中不可缺少的内容之一。
本文将从定义、性质、应用等多个方面详细介绍直线平行公式和垂直公式。
一、直线平行公式1.定义在平面直角坐标系中，若两条直线没有交点，且它们的方向相同，则这两条直线是平行的。
2.性质两条平行直线的斜率相等，即k1=k2。
其中，k1为第一条直线的斜率，k2为第二条直线的斜率。
3.推导设第一条直线的解析式为y=k1x+b1，第二条直线的解析式为y=k2x+b2。
由于两条直线平行，所以它们的斜率相等，即k1=k2。
将k1=k2代入两条直线的解析式中，得到：y=k1x+b1y=k1x+b2将两个方程联立，得到：b1=b2因此，两条平行直线的解析式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距，且截距相等。
二、垂直公式1.定义在平面直角坐标系中，若两条直线相交，且它们的交点的角度为90度，则这两条直线是垂直的。
2.性质两条直线垂直的充分必要条件是它们的斜率互为相反数，即k1=-1/k2。
其中，k1为第一条直线的斜率，k2为第二条直线的斜率。
3.推导设第一条直线的解析式为y=k1x+b1，第二条直线的解析式为y=k2x+b2。
两条直线垂直，所以它们的斜率乘积为-1，即k1k2=-1。
将k2=-1/k1代入第二条直线的解析式中，得到：y=-x/k1+b2将两个方程联立，得到：y=k1x+b1y=-x/k1+b2将两个方程联立，解得：k1=-1/k2因此，两条直线垂直的充分必要条件是它们的斜率互为相反数。
三、应用直线平行公式和垂直公式在初中数学中的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.求解直线的解析式通过直线平行公式和垂直公式，可以快速求解直线的解析式。
只需要确定直线的斜率和截距，即可得到直线的解析式。
2.求解直线的交点通过直线平行公式和垂直公式，可以求解两条直线的交点。
只需要将两条直线的解析式联立，即可求解它们的交点坐标。
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直线的平行与垂直
一、直线的位置关系
1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
2.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.
3.在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线.
4.平行的性质
①过直线外一点有且只有1条直线与这条直线平行.
②平行于同一直线的两条直线平行.
补角与余角、对顶角
如果两个角的和是180o，那么称这两个角互为补角.类似的，如果两个角的和是90o，那么称这两个角互为余角.
▲注意：互余和互补是指两个角的数量关系，与它们的位置无关
对顶角有如下性质：对顶角相等.
▲同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等
例
1．如图，图中对顶角共有()
A．1对B．2对C．3对D．4对
2．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数等于()
A．90°
B．150°
C．180°
D．210°
二、相交直线的特殊情况--------垂直
两条直线相交成四个角，如果有一个角是90°，那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
垂直的意义
①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
②直线外一点与直线上各个点连接的所有线段中，垂线段最短.
例
1．如图一，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（）
A．20°B．40°C．50°D．60°
A
C
2
1
图一图二
O B
2.如图二，OA⊥AB于点A，点O到直线AB的距离是（）
A.线段OA
B.线段OA的长度
C.线段OB的长度
D.线段AB的长度
3．如图，已知AB⊥CD于点O，EF为经过点O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是(A) A．互余B．互补
C．互为对顶角D．相等
三、平行直线的判断条件
3.1同位角判断
同位角概念：同位角在被截直线的同一侧，
在截线的同一方.
▲判定两条直线平行的方法：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相
等，那么这两条直线平行.
简称：同位角相等，两直线平行.
例
1．如图，当∠AME＝________时，AB∥CD(A)
A．∠CNE
. B ．∠BMF
C ．∠END
D ．∠CNF
3.2 内错角判断
内错角概念：在两条被截直线的之间，在截线的异侧，
位置是交错的，这样的角叫做内错角。
▲判定两条直线平行的方法：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么
这两条直线平行.
例
1．如图，请在括号中填上正确的理由．
因为∠1＝∠2，所以 AD ∥BC ，理由是_________________________________．
3.3 同旁内角判断
同旁内角概念：
在两条被截直线的之间，在截线的同侧，这样的角叫做同旁内角
▲判定两条直线平行的方法：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简称：同旁内角互补，两直线平行.
例
4.如图，一个由 4 条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图 中的平行线，并说明理由．
平行直线的判断定理总结
1.同位角相等，两直线平行；
2.内错角相等，两直线平行；
3.同旁内角互补，两直线平行
平行直线的性质
性质1:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.
简称：两直线平行,同位角相等
性质2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.
简称：两直线平行,内错角相等.
性质3:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.
综合训练
1.如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，那么AE与DF平行吗？试说明理由．
2.如图，已知AB∥DE，∠1=∠2，直线AE与DC平行吗？请说明理由．
3．如图，下列说法错误的是()
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠2，则b∥c
4．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C等于(D)
A．120°B．130°
C．140°D．150°
5．已知∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＋∠4＝180°，如图所示，则在结论：①a∥b；②a∥c；
③b∥c；④∠3＝∠2中，正确的个数是(C)
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图，按下面方法折纸，然后解答问题：若∠1＝40°，你能求出∠2的度数吗？
7．如图，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，试比较∠EDF与∠BDF的大小，并说明理由．
8．如图所示，已知∠ABC＝80°，∠BCD＝40°，∠CDE＝140°，试确定AB与DE的位置关系，并说明理由．。