等差数列前n项和的最值问题

等差数列前n 项和的最值问题

问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212

n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:

当n>1时:1122n n n a s s n -=-=

=-

当n=1时:2

11131122

a s ==+⨯= 综上:122

n

a n =-

,其中:13

2a =,2d =

探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n

s pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,

它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是

一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列

{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大

分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。

解析：由条件1

490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+

=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为49

6.52

n +==，

而n N *

∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。

1.

已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.

解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,

n a =13-2(n-1), n a =15-2n,

由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0

)1n (2150

n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.

2.

已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．

结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。=5时，数列a n 前5项和取得最大值．

二、转化为求二次函数求最值 例2、在等差数列{n a }中,

4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值

分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。 解析：∵4a ＝1a ＋3d, ∴ －14＝1a ＋9,

1a ＝－23, ∴

n S ＝－23n ＋2

)1(3-n n ＝23[(n －496)2－

2

4936],

∴ 当n=

496最小时，n S 最小，但由于n N *

∈，496介于8与9之间， 8100S =-，999S =- 即有且8

9S S >，故当n ＝8 8S ＝－100最小.

点评：通过条件求出1a ，从而将n S 转化为关于n 的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处49

6

介于8与9之间，但并不能取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有一个取值。 3.

已知等差数列

{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（B ）

A 、7

B 、78或

C 、8

D 、9

4. 已知a n 是等差数列，其中a 1=31，公差d=﹣8，则数列a n 前n 项和的最大值为 76 ．

分析：（1）根据数列的首项和公差写出数列的前n 项和，它是关于n 的二次函数，二次项的系数小于零，函数存在最大值，结合二次函数的最值得到结果，注意变量n 的取值．

解答：解：（1）∵a n 是等差数列，其中a 1=31，公差d=﹣8，∴数列a n 前n 项和s n =﹣4n 2+35n ，

根据二次函数的性质，当n=错误!未找到引用源。时，前n 项和s n 取到最大值，∵n ∈N ，∴n=4，∴前n 项和s n 的最大值是s n =﹣64+140=76， 5.

已知一个等差数列的前10项的和是110，前20项的和是20.求此等差数列的前n 项和n S ，并求出当n 为何值时，n S 最大，最大值是多少？n S =n n 212

+- 当N=10或11时，取最大值为110

6.

已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是

设{a n }的公差为d ，由题意得a 1+a 3+a 5=a 1+a 1+2d+a 1+4d=105，即a 1+2d=35，①a 2+a 4+a 6=a 1+d+a 1+3d+a 1+5d=99，即a 1+3d=33，②由①②联立得a 1=39，d=-2，∴s n =39n+ ×（-2）=-n 2+40n=-（n-20）2+400，故当n=20时，S n 达到最

大值400．

7. 已知等差数列a n 的公差d ＜0，若a 3a 7=9，a 1+a 9=10，则该数列的前n 项和S n 的最大值为 49 ．

分析：根据等差数列的性质得到第3项与第7项的和等于首项与第9项的和等于10，又第3项与第7项的积为9，写出一个两根为a 3和a 7关于x 的一元二次方程，求出方程的解，且根据等差d 小于0可得到a 3和a 7的值，进而求出数列的首项和公差，根据首项和公差写出等差数列的前n 项和公式，配方后即可求出数列的前n 项和S n 的最大值．解答：解：由题意a 1+a 9=10，得到a 3+a 7=10，又a 3a 7=9，得到a 3，a 7为方程x 2﹣10x+9=0的两根，且d ＜0，得到a 3=9，a 7=1，则d=﹣2，所以a 1=13，S n =﹣n 2+14n ﹣49+49=（n ﹣7）2+49，则当n=7时，该数列的前n 项和S n 的最大值为49．故答案为：49 8.

在等差数列a n 中，a 1=25，S 17=S 9，求S n 的最大值．

解：由S 17=S 9，得到错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，即17（2a 1+16d ）=9（2a 1+8d ），又a 1=25，得：d=﹣错误!未找到引用源。=﹣2，所以a n =a 1+（n ﹣1）d=﹣2n+27，

则S n =错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=﹣n 2+26n=﹣（n ﹣13）2+169，所以当n=13时，S nmax =169．

三、在等差数列

{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当1a >0,d<0时，满足100m m a a +≥⎧⎨

≤⎩的项数m 使得m S 取最大.(2)当1a <0,d>0时，满足1

0m m a a +≤⎧⎨≥⎩的项数m 使得

取最小值。

例3：已知等差数列{a n }的a n ＝24－3n ，则前多少项和最大？ 由a n ＝24－3n 知当8≤n 时，0≥n a ，当9≥n 时，0

已知等差数列{b n }的通项b n ＝2n-17,则前多少项和最小?

解：由bn ＝2n －17n 知当8≤n

时，0n a ， ∴前8项的和取最小值.

点评：通过数列中数的特性，可由⎩⎨⎧≤≥+0

a 0

a 1n n ，从解不等式来确定n S 的最大值。小结：对等差数列前n 项和的求法，通常从二次函数

与不等式的角度来求解，但有一点要注意的是最值的取值不一定在对称轴处，必须认真考察n 取何值才符合 10. 已知等差数列{a n },满足a n =40-4n ,求前多少项的和最大?最大值是多少?

解法一:由2

19)219(23824402

22

+--=+-=⇒-=n n n S n a n n

180

2192191021092

210=+--===∴）（最大，最大值：时，或当S S n n n

解法二:,

440n a n -= 令

1090

1≤≤⇒⎩⎨

⎧≤+≥+n a a n n 180,10910===∴S S S n n n n 最大值：最大，或．