等差数列前n项和的最值问题

等差数列前n 项和的最值问题
问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212
n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:
当n>1时:1122n n n a s s n -=-=
=-
当n=1时:2
11131122
a s ==+⨯= 综上:122
n
a n =-
,其中:13
2a =,2d =
探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n
s pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,
它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是
一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列
{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大
分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。

解析：由条件1
490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=+
=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为49
6.52
n +==，
而n N *
∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。

1.
已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.
解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,
n a =13-2(n-1), n a =15-2n,
由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0
)1n (2150
n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.
2.
已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．
结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。

=5时，数列a n 前5项和取得最大值．
二、转化为求二次函数求最值 例2、在等差数列{n a }中,
4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值
分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。

解析：∵4a ＝1a ＋3d, ∴ －14＝1a ＋9,
1a ＝－23, ∴
n S ＝－23n ＋2
)1(3-n n ＝23[(n －496)2－
2
4936],
∴ 当n=
496最小时，n S 最小，但由于n N *
∈，496介于8与9之间， 8100S =-，999S =- 即有且8
9S S >，故当n ＝8 8S ＝－100最小.
点评：通过条件求出1a ，从而将n S 转化为关于n 的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处49
6
介于8与9之间，但并不能取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有一个取值。

3.
已知等差数列
{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（B ）
A 、7
B 、78或
C 、8
D 、9
4. 已知a n 是等差数列，其中a 1=31，公差d=﹣8，则数列a n 前n 项和的最大值为 76 ．
分析：（1）根据数列的首项和公差写出数列的前n 项和，它是关于n 的二次函数，二次项的系数小于零，函数存在最大值，结合二次函数的最值得到结果，注意变量n 的取值．
解答：解：（1）∵a n 是等差数列，其中a 1=31，公差d=﹣8，∴数列a n 前n 项和s n =﹣4n 2+35n ，
根据二次函数的性质，当n=错误!未找到引用源。

时，前n 项和s n 取到最大值，∵n ∈N ，∴n=4，∴前n 项和s n 的最大值是s n =﹣64+140=76， 5.
已知一个等差数列的前10项的和是110，前20项的和是20.求此等差数列的前n 项和n S ，并求出当n 为何值时，n S 最大，最大值是多少？n S =n n 212
+- 当N=10或11时，取最大值为110
6.
已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是
设{a n }的公差为d ，由题意得a 1+a 3+a 5=a 1+a 1+2d+a 1+4d=105，即a 1+2d=35，①a 2+a 4+a 6=a 1+d+a 1+3d+a 1+5d=99，即a 1+3d=33，②由①②联立得a 1=39，d=-2，∴s n =39n+ ×（-2）=-n 2+40n=-（n-20）2+400，故当n=20时，S n 达到最
大值400．
7. 已知等差数列a n 的公差d ＜0，若a 3a 7=9，a 1+a 9=10，则该数列的前n 项和S n 的最大值为 49 ．
分析：根据等差数列的性质得到第3项与第7项的和等于首项与第9项的和等于10，又第3项与第7项的积为9，写出一个两根为a 3和a 7关于x 的一元二次方程，求出方程的解，且根据等差d 小于0可得到a 3和a 7的值，进而求出数列的首项和公差，根据首项和公差写出等差数列的前n 项和公式，配方后即可求出数列的前n 项和S n 的最大值．解答：解：由题意a 1+a 9=10，得到a 3+a 7=10，又a 3a 7=9，得到a 3，a 7为方程x 2﹣10x+9=0的两根，且d ＜0，得到a 3=9，a 7=1，则d=﹣2，所以a 1=13，S n =﹣n 2+14n ﹣49+49=（n ﹣7）2+49，则当n=7时，该数列的前n 项和S n 的最大值为49．故答案为：49 8.
在等差数列a n 中，a 1=25，S 17=S 9，求S n 的最大值．
解：由S 17=S 9，得到错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

，即17（2a 1+16d ）=9（2a 1+8d ），又a 1=25，得：d=﹣错误!未找到引用源。

=﹣2，所以a n =a 1+（n ﹣1）d=﹣2n+27，
则S n =错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=﹣n 2+26n=﹣（n ﹣13）2+169，所以当n=13时，S nmax =169．
三、在等差数列
{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当1a >0,d<0时，满足100m m a a +≥⎧⎨
≤⎩的项数m 使得m S 取最大.(2)当1a <0,d>0时，满足1
0m m a a +≤⎧⎨≥⎩的项数m 使得
取最小值。

例3：已知等差数列{a n }的a n ＝24－3n ，则前多少项和最大？ 由a n ＝24－3n 知当8≤n 时，0≥n a ，当9≥n 时，0<n a ，∴前8项或前7项的和取最大值. 9.
已知等差数列{b n }的通项b n ＝2n-17,则前多少项和最小?
解：由bn ＝2n －17n 知当8≤n
时，0<n a ，当9≥n 时，0>n a ， ∴前8项的和取最小值.
点评：通过数列中数的特性，可由⎩⎨⎧≤≥+0
a 0
a 1n n ，从解不等式来确定n S 的最大值。

小结：对等差数列前n 项和的求法，通常从二次函数
与不等式的角度来求解，但有一点要注意的是最值的取值不一定在对称轴处，必须认真考察n 取何值才符合 10. 已知等差数列{a n },满足a n =40-4n ,求前多少项的和最大?最大值是多少?
解法一:由2
19)219(23824402
22
+--=+-=⇒-=n n n S n a n n
180
2192191021092
210=+--===∴）（最大，最大值：时，或当S S n n n
解法二:,
440n a n -= 令
1090
1≤≤⇒⎩⎨
⎧≤+≥+n a a n n 180,10910===∴S S S n n n n 最大值：最大，或．
11. 在等差数列{a n }中，|a 3|=|a 9|，公差d ＜0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是 5或6 ．
分析：根据d ＜0，|a 3|=|a 9|，判断出a 3=﹣a 9，进而根据等差数列的通项公式求得a 1+5d=0，判断出a 6=0进而可知从数列的第7项开始为负，进而可判断出前n 项和S n 取得最大值的自然数n 的值．
解答：解：∵d ＜0，|a 3|=|a 9|，∴a 3=﹣a 9，∴a 1+2d=﹣a 1﹣8d ，∴a 1+5d=0，∴a 6=0，∴a n ＞0（1≤n ≤5），
12. ∴S n 取得最大值时的自然数n 是5或6．故答案为：5或6等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 12=a 102，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最
大值时的项数n= 5 ．
分析：由a 12=a 102，得到a 1和a 10相等或互为相反数，因为公差d 小于0，所以得到a 1和a 10互为相反数即两项相加等于0，又根据等差数列的性质可知a 5和a 6的和等于a 1和a 10的和等于0，得到数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数为5．解答：解：由d ＜0，a 12=a 102，知a 1+a 10=0∴a 5+a 6=0，所以此数列从从第6项开始，以后每项都小于0，故S n 取得最大值时的项数n=5．故答案为：5． 点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，掌握两数平方相等时两数的关系，是一道中档题． 13. 已知等差数列{a n }，3 a 5 =8 a 12， a 1<0，设前n 项和为S n ,求S n 取最小值时n 的值．
[分析]求等差数列前n 项的和最小,可以用函数的方式去求,亦可以用数列单调性,也可以由A
B A B n A S n 4)2(2
2-+=完成. 解法一:.5
76
),11(8)4(3,83111125
d a d a d a a a -
=+=+∴=即 ,0,01>∴<d a 由 ,)2(22)1(121n d a n d d n n na S n -+=-+
=∴点(n,S n )是开口向上抛物线上一些孤立的点,即在函数x d
a x d y )2
(212-+=的图象上,其对称轴,7.15257621=--=-
-=d
d d d d
a x 距离x=15.7最近的整数点(16,S 16), .16=∴n S n
最小时 解法二: .576
,831125d a a a -=∴= ,0,01>∴<d a 由
,02
22,02,4)2(122=⨯
-
+
=+-+=d d
a n A
B n A B A B n A S n 即令.16),(7.155762*最小时，n S n N n d d d n =∴∈=+=∴
14. 已知等差数列{a n }，3 a 4 =7 a 7， a 1>0，设前n 项和为S n ,求S n 取最大值时n 的值．9 15. 已知等差数列{n a },*n
a N ∈,n S =212)8n a +（.若1
302
n n b a =-，求数列 {n b }的前n 项和的最小值.
分析：①由n S 与n a 的关系，可写出11n n s a ++与之间的关系，两式作差，即可得出1n a +与n a 间的关系； ②{n b }的前n 项和最小，估计{n b }的前n 项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最小. 解
1n a +=1n s +-n S =2112)8n a ++（-212)8
n a +（，即81n a +=（1n a ++22）-（n a +22），所以（1n a +-22）-（n a +22
）=0，
即（1n a ++n a ）（1n a +-n a -4）=0，因为*n a N ∈，所以1n a ++n a ≠0，即1n a +-n a -4=0，所以1n a +-n a =4，
因此等差数列{n a }的公差大于0.1a =1s =
2112)8a +（,解得1a =2.所以n a =4n-2,则1
302
n n b a =-=2n-31. 即数列{n b }也为等差数列且公差为2.由23102(1)310{
n n -≤+-≥，解得
2931
2
2
n ≤≤，因为n *N ∈，所以n=15,故{n b }的前15项为负值，因此15s 最小，可知1b =-29，d=2,所以数列 {n b }的前n 项和的最小值为15s =
1529215312
-+⨯-（）
=-225.
16. {}n a 为等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，576S S S >>,则下列结论中不正确的是（A ）
（A ）
0<d （B ）011>S （C ）012<S （D ）013<S
17. 等差数列
的前
项和为
，若
，则下列结论：①
，②
，③
，④
，其中正确结论
是-------------- ( A ) A ．②③ B ．①③ C ．①④ D ．②④ 18. 等差数列
的前
项和
的最大值只有
，且
，则使
的
的最大值为 。

19. 数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。

⑴求数列的公差；
⑵求前n 项和S n 的最大值；⑶当S n >0时，求n 的最大值。

解：⑴∵a 1＝23，a 6>0，a 7<0，∴115060
a d a d +>⎧⎨+<⎩⇒623
523-<<-d ∵d 为整数，∴d ＝－4。

⑵(1)23(4)2n
n n S n -=+
⨯-＝23)1(2--n n n ＝－2n n 252+ =－2
625
)425(22+
-n ∴当6=n 时，S n 最大＝78。

⑶S n ＝－2n 2+25n>0得02
25
<<n ，∴n 最大为12。

20. (92高考)设等差数列{n a }的前n 项和为
n s ，已知3a
=12，12
s
>0,13
0s <,
(1)求公差d 的取值范围；（2）指出1s ，2s ，…，12s 中哪一个值最大，并说明理由.
解析 （1）由3a =12，得：1a +2d=12,即1a =12-2d,由12s >0，得：121a +
12*1102
d >，所以d>-24
7,
由130s <,得：131a +13*1202
d <，所以d<-3, 因此，d 的取值范围为（-24
7,-3）.
(2)解法一：1(1)n a a n d =+-=12-2d+(n-1)d =12+(n-3)d 令0n a >，得：n<3-12d
,由（1）知：24
7-<d<-3,所以，
1312
372d
<-<，又*n N ∈,故由等差数列的单调性可知：当6n ≤时，0n a >；当n>6时，0n a <，因此，6s 最大. 解法二：由题意可得：n S =n 1a +(1)2n n d -=n(12-2d)+
22n n d - =25
(12)22
d n d n +-显然d ≠0, n S 是关于自变量n 的二次函数，由（1）知：d<0,二次函数的图像抛物线的对称轴为n=
5122d -,由（1）知：24
37
d -<<-，所以6<
5122d -<13
2
,又因为n *N ∈,故当n=6时，n S 最大，即6s 最大.简析：函数认识等差数列的和为项数的二次函数，构建不等式解范围；等差数列求和整体思维研究单调性求解。

⑴()()()()0724692662
123312112112>+=++-=+=+=d d a d a a a a a S ()()()04121341313213
3713113<+=+==+=
d d a a a a S 解得，4
12724-<<-d ；⑵031230367>+=+=<d d a a ,a ，等差数列｛n a ｝是首项为正数，公差小于0的递减数列，故6S 最大.
21. 已知123n
S n =+++
+,*1()()(32)n n S f n n N n S +=
∈+,则()f n 的最大值是 1
50。