届高考数学理科一轮复习(北师大版)第3章31变化率与导数导数的运算PPT课件

5.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； f′xgx－fxg′x
(3) gfxx′＝
[gx]2
(g(x)≠0).
6.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间 的关系为y′x＝ y′u·u′x ，即y对x的导数等于 y对u 的导数 与 u对x 的导数的乘积.
∴ΔΔyx＝－
1 1＋Δx1＋
1＋Δx，
(2)已知 f(x)＝ 1x，则 f′(1)＝_－__12_____.
∴ lim Δx→0
ΔΔxy＝Δlixm→0
－1 1＋Δx1＋
1＋Δx＝－12.
∴f′(1)＝－12.
题型二 导数的运算
例2 求下列函数的导数： (1)y＝ex·ln x；
例 2 (2)y＝xx2＋1x＋x13；
故f′(x)|x＝1＝0.
题型一 利用定义求函数的导数
例1 用定义法求函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数.
解析
(1)求函数 f(x)的导数步骤：
思维升华
①求函数值的增量 Δy＝f(x2)－f(x1)；
②计算平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1；
③计算导数 f′(x)＝lim
Δx→0
解 ∵y＝x3＋1＋x12， ∴y′＝3x2－x23.
例 2 (3)y＝sin22x＋π3；
解 y＝sin2(2x＋3π)＝21－21cos(4x＋23π). 故设 y＝21－21cos u，u＝4x＋23π， 则 yx′＝yu′·ux′＝12sin u·4 ＝2sin u＝2sin(4x＋23π).
数学 北（理）
第三章 导数及其应用
§3.1 导数的概念及运算
➢ 基础知识·自主学习 ➢ 题型分类·深度剖析 ➢ 思想方法·感悟提高 ➢ 练出高分
1.函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
fx2－fx1 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为 x2－x1 ，若Δx＝x2
Δy －x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为 Δx .
lim
x1→x0
x1－x0
＝
fx0＋Δx－fx0
lim
Δx→0
Δx
.
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在 点 (x0，f(x0)) 处的切线的斜率.相应地，切线方程为 y－f(x0)
＝f′(x0)(x－x0).
3.函数f(x)的导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，
Δy Δx.
题型一 利用定义求函数的导数
例1 用定义法求函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数.
解析
思维升华
(2) 利 用 定 义 法 求 解 f′(a) ， 可 以 先 求 出 函 数 的 导 数 f′(x)，然后令x＝a即可求解，也可直接利用定义求解.
跟率踪ΔΔyx＝训_练1_－_1_x_(_x1＋_1)_函Δ__x数_ _y；＝该x＋函1x在数[在x，x＝x＋1处Δx的]上导的数平是均_0变__化_. 解析 ∵Δy＝(x＋Δx)＋x＋1Δx－x－1x ＝Δx＋x＋1Δx－1x＝Δx＋x－ x＋ΔΔxx.
2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果_平__均__变__化__率__趋__于__一__个__固__定_
的值 ，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率.在
数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常
fx1－fx0
用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝
fx＋Δx－fx
导数值记为f′(x)：f′(x)＝
lim
Δx→0
Δx
，则f′(x)是
关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.
4.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝_0___
f(x)＝xα (α为实数) f′(x)＝α_x_α_－_1
f(x)＝sin x
∴ΔΔyx＝1－xx＋1 Δx.y′|x＝1＝Δlixm→0 ΔΔxy＝0.
(2)已知 f(x)＝ 1x，则 f′(1)＝________.
解析 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋1 Δx－1＝1－1＋1＋ΔxΔx
1－ 1＋Δx1＋ 1＋Δx
－Δx
＝ 1＋Δx1＋ 1＋Δx ＝ 1＋Δx1＋ 1＋Δx，
解析
思维升华
题型一 利用定义求函数的导数
例1 用定义法求函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数.
解析
思维升华
解 方法一 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(x＋Δx)2－2(x＋Δx)－1－(x2－2x－1)
＝x2＋2x·Δx＋Δx2－2x－2Δx－1－x2＋2x＋1
＝(2x－2)Δx＋Δx2，
题型一 利用定义求函数的导数
例1 用定义法求函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数.
解析
思维升华
方法二 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－1－(12－2×1－1)
＝1＋2Δx＋Δx2－2－2Δx－1＋2＝Δx2，
所以 lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
ΔΔxx2＝Δlixm→0Δx＝0.
f′(x)＝_co_s__x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－__s_in__x_
f(x)＝ax (a>0，a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logaБайду номын сангаас (a>0，且a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝_a_xl_n_a_ f′(x)＝_e_x
1 f′(x)＝_x_ln__a_
1 f′(x)＝_x__
思考辨析
× ×
√ ×
× ×
题号
1 2 3 4
答案
C
D
5x＋y＋2＝0
1 3
解析
因为y′|x＝0＝－5e0＝－5， 所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为 y－(－2)＝－5(x－0)， 即5x＋y＋2＝0.
题型一 利用定义求函数的导数
例1 用定义法求函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数.
题型一 利用定义求函数的导数
例1 用定义法求函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数.
解析
思维升华
所以 lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlxi→ m0
(2x－2)Δx＋Δx2
Δx
＝lim [(2x－2)＋Δx]＝2x－2.
Δx→0
所以函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数为 f′(x)|x＝1＝2×1－2＝0.