数学建模期末题型论文

数学建模学报告
班级：0309411班
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学号：*********
专业：电子信息科学与技术
数学建模学期总结报告
[摘要]：数学建模在数学学习和应用中占据着重要的地位，它与数学模型法有不完全相同。

培养学生数学建模能力可从如下四方面着手：1.对已建的数学模型进行“意义赋予”，让学生感受建模作用；2.应用题要应用，在实际问题解决中训练学生建模；3.提高学生的元认知水平；4.实行探究性学习，促进学生主动建模。

本报告选取了几个典型题目并给予了解答。

[关键词]:数学建模、数学模型法、最优解法
一、概论
数学模型法是数学的一种重要方法，是应用数学解决其他学科问题的主要方法。

相对于现实来说，数学中的数、式、方程、函数、统计量等都可视为数学模型，它是实际问题的数学化。

数学建模不同于数学模型法，通常后者主要被当作一种“静态的”数学方法，而前者关注的是过程。

学生解决实际问题，一般要把实际问题转化成数学问题，再通过数学建模，继而解决问题。

数学建模是学生解决问题过程中的重要一环，是要解问题通向问题解决的桥梁。

数学建模不仅真正训练了学生把现实问题抽象为数学问题、求解数学问题的数学思维，而且把学生实践能力的培养真正落到实处，还可以让学生感受到“在现实中学数学，在做中学数学”，也有利于发挥并培养学生的主体性，实现全方位的数学目的。

二、题型
1、某场生产一种产品,估计该产品在未来四个月销售量分别为4、5、3、
2、(单位:百件).该产品的生产准备费用每批为500元,每件的生产费用为1元,存储费用每件为1元,假定一月初的存货为100件,五月初的存货为0。

试求该厂在这四个月内的最优生产计划？
答：本题存储费用与时间无关，生产费用、总量已定，可变的只有批数、存储件数。

设1月产x百件，2月产y百件，3月产z百件，则4月产（13-x-y-z)百件，则x>=3,
x+y>=8,
x+y+z>=11,
每月做一批，生产准备费用与存储费用的和
w=500*4+100(x-3)+100(x+y-8)+100(x+y+z-11)
=300x+200y+100z-200,
当x=3,y=5,z=3时w|min=2000;
若前3个月各做一批，4月不做，则生产准备费用与存储费用的和
w'=500*3+100(x-3)+100(x+y-8)+200
=600+200x+100y,
当x=3,y=5时w'|min=1700.
若前2个月各做一批，3、4月不做，则生产准备费用与存储费用的和w''=500*2+100(x-3)+500 =1200+100x,
当x=3时w''|min=1500.
该厂在这四个月内的最优生产计划:1月产3百件，2月产10百件.
注：当月的产品如即卖出，未计算存储费用。

2、数据拟合模型
在数学建模过程中，常常需要确定一个变量依存于另一个或更多的变量的关系，即函数。

但实际上确定函数的形式（线性形式、乘法形式、幂指形式或其它形式）时往往没有先验的依据。

只能在收集的实际数据的基础上对若干合乎理论的形式进行试验，从中选择一个最能拟合有关数据，即最有可能反映实际问题的函数形式，这就是统计学中的拟合回归方程问题。

“人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础。

有人口统计年鉴，可查的我国从1949年至1994年人口数据智料如下：
年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994
人口数（百万) 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1034.75 1106.76 1176.74 分析：
（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。

（2）估计出这图象近似地可看做一条直线。

（3）用以下几种方法（之一）确定直线方程，并算出1999年人口数。

方法一：先选择能反映直线变化的两个点，如（1949，541.67），（1984，1034.75）二点确定一条直线，方程为
N = 14.088 t – 26915.842
代入t =1999,得N »12.46亿
方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t = 1999代入，分别求出人口数，在取其算数平值。

方法三：可采用“最小二乘法”求出直线方程。

设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1<x 2<…<x n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。

根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。

对个别观察值来说，它可能是正的，也可能是负的。

为了不使它们相加彼此抵消，故"最好"应该是它可能是正的，也可能是负的。

为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库每天的最大供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变? 公司利润可增加到多少?
答：问题分析：分配供水量就是安排从三个水库向四个区送水的方案，目标是获利最多．而从题目给出的数据看，A, B, C三个水库的供水量160千吨，不超过四个区的基本生活用水量与额外用水量之和300千吨，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收入是900 (50 + 60 + 50) = 144000元，与送水方案无关. 同样，公司每天的其它管理费用450 (50 + 60 + 50) = 72000元也与送水方案无关. 所以，要使利润最大，只需使引水管理费最小即可. 另外，送水方案自然要受三个水库的供应量和四个区的需求量的限制.
模型建立：很明显，决策变量为A, B, C三个水库(i = 1, 2, 3)分别向甲、乙、丙、丁四个区(j = 1, 2, 3, 4)的供水量. 设水库i向j区的日供水量为xij，由于C水库与丁区之间没有输水管道，即x34 = 0，因此只有11个决策变量.
由上分析，问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少，于是有
Min Z = 160x11 + 130x12 + 220x13 + 170x14
+ 140x21 + 130x22 + 190x23 + 150x24
+ 190x31 + 200x32 + 230x33 (1)
约束条件有两类: 一类是水库的供应量限制，另一类是各区的需求量限制.
由于供水量总能卖出并获利，水库的供应量限制可以表示为
x11 + x12 + x13 + x14 = 50 (2)
x21 + x22 + x23 + x24 = 60 (3)
x31 + x32 + x33 = 50 (4)
考虑到各区的基本生活用水量与额外用水量，需求量限制可以表示为
30 x11 + x21 + x31 80 (5)
70 x12 + x22 + x32 140 (6)
10 x13 + x23 + x33 30 (7)
10 x14 + x24 50 (8)
模型求解
(1) ~ (8)构成一个线性规划模型(当然要加上xij的非负约束). 输入LINDO求解，得到如下输出:
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 24400．00
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X11 0.000000 30.000000
X12 50.000000 0.000000
X13 0.000000 50.000000
X14 0.000000 20.000000
X21 0.000000 10.000000
X22 50.000000 0.000000
X23 0.000000 20.000000
X24 10.000000 0.000000
X31 40.000000 0.000000
X32 0.000000 10.000000
X33 10.000000 0.000000
(注：REDUCED COST为各变量下界约束的影子价格. 例如对X11，若其下界从0提高到，则目标Z的最优值会提高30，其“价格”为30/ = 30.)
送水方案为: A水库向乙区供水50千吨，B水库向乙、丁区分别供水50, 10 千吨，C水库向甲、丙分别供水40, 10千吨. 引水管理费为24400元. 利润为
144000 72000 24400 = 47600元．
3、报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。

设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。

这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。

报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。

请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。

（15分）解：设：报纸具有时效性每份报纸进价b元，卖出价a元，卖不完退回份报纸c元。

设每日的订购量为n，如果订购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。

订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。

为了获得最大效益，现在要确定最优订购量n。

n的意义：n是每天购进报纸的数量，确定n一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入，另一方面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。

所以，笔者认为n的意义是双重的。

本题就是让我们根据a、b、c及r来确定每日进购数n。

基本假设
1）、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量n。

2）、假设报纸每日的需求量是r，但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟，毫无经验，无法掌握需求量r的分布函数,只知道每份报纸的进价b、售价a及退回价c。

3）、假设每日的定购量是n。

4）、报童的目的是尽可能的多赚钱。

建立模型：应该根据需求量r确定需求量n，而需求量r是随机的，所以这是一个风险决策问题。

而报童却因为自身的局限，无法掌握每日需求量的分布规律，已确定优化模型的目标函数。

但是要得到n值，我们可以从卖报纸的结果入手，结合r与n的量化关系，从实际出发最终确定n值。

由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、赔钱会有三种结果。

1）、赚钱。

赚钱又可分为两种情况:
①r>n，则最终收益为(a-b)n (1)
②r<n，则最终收益为(a-b)r-(b-c)(n-r)>0
整理得：r/n>(b-c)/(a-c) (2)
2）、由(2)式容易得出不赚钱不赔钱。

r/n=(b-c)/(a-c) (3) 3）、赔钱。

r/n<(b-c)/(a-c) (4) 模型的求解：首先由(1)式可以看出n与最终的收益呈正相关。

收益越多，n的取值越大。

但同时订购量n又由需求量r约束，不可能无限的增大。

所以求n问题就转化成研究r与n的之间的约束关系。

然后分析(3)、(4)两式。

因为(3)、(4)分别代表不赚钱不赔钱及赔钱两种情况，而我们确定n值是为了获得最大收益，所以可以预见由(3)、(4)两式确立出的n值不是我们需要的结果，所以在这里可以排除，不予以讨论。

最后重点分析(2)式。

显然式中r表需求量，n表订购量，(b-c)表示退回一份儿报纸赔的钱。

因为(a-c)无法表示一个显而易见的意义，所以现在把它放入不等式中做研究。

由a>b>c,可得a-c>a-b，而(a-b)恰好是卖一份报纸赚得的钱。

然后采用放缩法，把(2)式中的(a-c)换成(a-b)，得到
r/n<(b-c)/(a-b) (5)
不等式依然成立。

由(5)式再结合(1)式可知收益与n正相关，所以要想使订购数n的份数越多，报童每份报纸赔钱(b-c)与赚钱(a-b)的比值就应越小。

当报社与报童签订的合同使报童每份报纸赔钱与赚钱之比越小，订购数就应越多。

三、参考文献：
1、朱道元《数学建模案例精选》科学出版社，2003
2、李尚志.《数学建模竞赛教程》出版日期：1996年6月第1版
3、朱德全，宋乃庆.谈数学教学中的问题解决与元认识开发.学科教育，1997(6)
4、杨骞.从数学的广泛应用性角度谈高中数学教材的编写.课程·教材·教法，2000(3)。