数学建模期末题型论文

数学建模学报告

班级：0309411班

*****

学号：*********

专业：电子信息科学与技术

数学建模学期总结报告

[摘要]：数学建模在数学学习和应用中占据着重要的地位，它与数学模型法有不完全相同。培养学生数学建模能力可从如下四方面着手：1.对已建的数学模型进行“意义赋予”，让学生感受建模作用；2.应用题要应用，在实际问题解决中训练学生建模；3.提高学生的元认知水平；4.实行探究性学习，促进学生主动建模。本报告选取了几个典型题目并给予了解答。

[关键词]:数学建模、数学模型法、最优解法

一、概论

数学模型法是数学的一种重要方法，是应用数学解决其他学科问题的主要方法。相对于现实来说，数学中的数、式、方程、函数、统计量等都可视为数学模型，它是实际问题的数学化。数学建模不同于数学模型法，通常后者主要被当作一种“静态的”数学方法，而前者关注的是过程。学生解决实际问题，一般要把实际问题转化成数学问题，再通过数学建模，继而解决问题。数学建模是学生解决问题过程中的重要一环，是要解问题通向问题解决的桥梁。数学建模不仅真正训练了学生把现实问题抽象为数学问题、求解数学问题的数学思维，而且把学生实践能力的培养真正落到实处，还可以让学生感受到“在现实中学数学，在做中学数学”，也有利于发挥并培养学生的主体性，实现全方位的数学目的。

二、题型

1、某场生产一种产品,估计该产品在未来四个月销售量分别为4、5、3、

2、(单位:百件).该产品的生产准备费用每批为500元,每件的生产费用为1元,存储费用每件为1元,假定一月初的存货为100件,五月初的存货为0。试求该厂在这四个月内的最优生产计划？

答：本题存储费用与时间无关，生产费用、总量已定，可变的只有批数、存储件数。

设1月产x百件，2月产y百件，3月产z百件，则4月产（13-x-y-z)百件，则x>=3,

x+y>=8,

x+y+z>=11,

每月做一批，生产准备费用与存储费用的和

w=500*4+100(x-3)+100(x+y-8)+100(x+y+z-11)

=300x+200y+100z-200,

当x=3,y=5,z=3时w|min=2000;

若前3个月各做一批，4月不做，则生产准备费用与存储费用的和

w'=500*3+100(x-3)+100(x+y-8)+200

=600+200x+100y,

当x=3,y=5时w'|min=1700.

若前2个月各做一批，3、4月不做，则生产准备费用与存储费用的和w''=500*2+100(x-3)+500 =1200+100x,

当x=3时w''|min=1500.

该厂在这四个月内的最优生产计划:1月产3百件，2月产10百件.

注：当月的产品如即卖出，未计算存储费用。

2、数据拟合模型

在数学建模过程中，常常需要确定一个变量依存于另一个或更多的变量的关系，即函数。但实际上确定函数的形式（线性形式、乘法形式、幂指形式或其它形式）时往往没有先验的依据。只能在收集的实际数据的基础上对若干合乎理论的形式进行试验，从中选择一个最能拟合有关数据，即最有可能反映实际问题的函数形式，这就是统计学中的拟合回归方程问题。“人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础。有人口统计年鉴，可查的我国从1949年至1994年人口数据智料如下：

年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994

人口数（百万) 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1034.75 1106.76 1176.74 分析：

（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。

（2）估计出这图象近似地可看做一条直线。

（3）用以下几种方法（之一）确定直线方程，并算出1999年人口数。

方法一：先选择能反映直线变化的两个点，如（1949，541.67），（1984，1034.75）二点确定一条直线，方程为

N = 14.088 t – 26915.842

代入t =1999,得N »12.46亿

方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t = 1999代入，分别求出人口数，在取其算数平值。

方法三：可采用“最小二乘法”求出直线方程。

设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1

对个别观察值来说，它可能是正的，也可能是负的。为了不使它们相加彼此抵消，故"最好"应该是它可能是正的，也可能是负的。

为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库每天的最大供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变? 公司利润可增加到多少?

答：问题分析：分配供水量就是安排从三个水库向四个区送水的方案，目标是获利最多．而从题目给出的数据看，A, B, C三个水库的供水量160千吨，不超过四个区的基本生活用水量与额外用水量之和300千吨，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收入是900 (50 + 60 + 50) = 144000元，与送水方案无关. 同样，公司每天的其它管理费用450 (50 + 60 + 50) = 72000元也与送水方案无关. 所以，要使利润最大，只需使引水管理费最小即可. 另外，送水方案自然要受三个水库的供应量和四个区的需求量的限制.

模型建立：很明显，决策变量为A, B, C三个水库(i = 1, 2, 3)分别向甲、乙、丙、丁四个区(j = 1, 2, 3, 4)的供水量. 设水库i向j区的日供水量为xij，由于C水库与丁区之间没有输水管道，即x34 = 0，因此只有11个决策变量.

由上分析，问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少，于是有

Min Z = 160x11 + 130x12 + 220x13 + 170x14

+ 140x21 + 130x22 + 190x23 + 150x24

+ 190x31 + 200x32 + 230x33 (1)

约束条件有两类: 一类是水库的供应量限制，另一类是各区的需求量限制.

由于供水量总能卖出并获利，水库的供应量限制可以表示为

x11 + x12 + x13 + x14 = 50 (2)

x21 + x22 + x23 + x24 = 60 (3)

x31 + x32 + x33 = 50 (4)

考虑到各区的基本生活用水量与额外用水量，需求量限制可以表示为

30 x11 + x21 + x31 80 (5)

70 x12 + x22 + x32 140 (6)

10 x13 + x23 + x33 30 (7)