大学物理答案第7～8章

第七章 真空中的静电场

7－1 在边长为a 的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q 和2q ，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。

解：如图可看出两2q 的电荷对单位正电荷的在作用力 将相互抵消，单位正电荷所受的力为

)41()

22(

42

0+=

a q F πε＝

,252

0a

q πε方向由q 指向-4q 。

7－2 如图，均匀带电细棒，长为L ，电荷线密度为λ。（1）求棒的延长线上任一点P 的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上

任一点Q 的场强。

解：（1）如图7－2 图a ，在细棒上任取电荷元dq ，建立如图坐标，dq ＝λd ξ，设棒的延长线上任一点P 与坐标原点0的距离为x ，则

2

02

0)

(4)

(4ξπεξ

λξπεξ

λ-=

-=

x d x d dE

则整根细棒在P 点产生的电场强度的大小为

)11(

4)

(40

2

x L

x x d E L

--=

-=

⎰

πε

λ

ξξπε

λ

＝

)

(40L x x L

-πελ方向沿ξ轴正向。

（2）如图7－2 图b ，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 与坐标原点0的距离为y

2

04r

dx

dE πελ=

θπελcos 42

0r

dx

dE

y

=

，

θπελsin 42

0r

dx

dE x =

因θ

θ

θθcos ,cos ,2

y r d y dx ytg x =

==，

代入上式，则

)cos 1(400θπελ

--

=y

＝)11(

42

2

L

y y

+-

-

πε

λ，方向沿x 轴负向。

习题7－1图

dq ξ

d ξ

习题7－2 图a

x θ

θπελθd y

dE E x x ⎰

⎰

-=

-=

0sin 4

x

dx

习题7－2 图b

θθπε

λ

θd y

dE

E y

y ⎰⎰=

=

cos 4

00sin 4θπελ

y

=

＝

2

2

04L

y y

L

+πελ

7－3 一细棒弯成半径为R 的半圆形，均匀分布有电荷q ，求半圆中心O 处的场强。

解：如图，在半环上任取d l =Rd θ的线元，其上所带的电荷为dq=λRd θ。对称分析E y =0。

θπεθ

λsin 42

0R

Rd dE x =

⎰

⎰=

=

π

θπελ

0sin 4R

dE

E x

R

02πελ

=

2

022R

q

επ=

，如图，方向沿x 轴正向。

7－4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l 、线电荷密度为λ2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。

解：在λ2的带电线上任取一dq ，λ1的带电线是无限长，它在dq 处产生的电场强度由高斯定理容易得到为，

x

E 01

2πελ=

两线间的相互作用力为

⎰

⎰=

=

x

dx

dF F 0212πελλ⎰

=

l

a

x

dx 0

2

12πε

λλ

,ln

20

21a

l a +πε

λλ如图，方向沿x 轴正向。

7－5 两个点电荷所带电荷之和为Q ，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？ 解：设其中一个电荷的带电量是q ，另一个即为Q －q ，若它们间的距离为r ，它们间的相互作用力为

2

04)(r

q Q q F πε-=

相互作用力最大的条件为

0422

0=-=

r

q Q dq

dF πε

x

习题7－3图

λ1 习题7－4图

由上式可得：Q=2q ，q=Q/2

7－6 一半径为R 的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。

解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为

θθπσθπσd R rRd dq sin 222

==

dq 在o 点产生的电场据（7－10）式为

3

04R

ydq dE πε=

，θcos R y =

θθπεθ

πσπ

d R

R dE

E cos 4sin 20

3

03

⎰

⎰=

=

)(sin sin 20

θθεσ

π

d ⎰

=

2

2

2

sin 2π

θεσ=

4εσ

=

。如图，方向沿y 轴负向。

7－7 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。

解：如图，设作一圆平面S 1盖住半球面S 2， 成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0， 即

02

1

=⋅+

⋅=

⋅⎰

⎰

⎰

S S S

S d E S d E S d E

2

2

1

1R E S d E S d E S S S π-=⋅-=⋅=

ψ⎰⎰

7－8 求半径为R ，带电量为q 的空心球面的电场强度分布。

解： 由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强E 的大小相等，方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S 1与S 2。对S 1与S 2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为

04d 2

1

==⋅=

⎰r E S πψS E

得 0=内E （r

2

4d 2

επψq

r

E S =

=⋅=

⎰

S E

r

r

ˆ2

04q πε=

外E (r>R)

E

习题7－7图

r

习题7－18图