求逆矩阵方法总结

解：
3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 3 2 1 0 2 0 4 6 0 1 0 2 3 X A B 2 3 1 3 0 0 1 1 3 0 0 1 1 3
0 1 2 1 2 1 0 0 3 6 9 2 0 0 9 6 9 4 1 0 1 2 3 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以 A 不可逆。 3．求逆矩阵方法的应用之三 利用矩阵初等行变换解矩阵方程
五、小结 1.矩阵初等行变换：求逆、判断矩阵是否可逆、 解矩阵方程 2.思考：若 XA=B，如何用初等变换法求 X?
首先介绍 “代数余子式” 这个概念： 设 D 是一个 n 阶行列式，aij （i、j 为下角标）是 D 中第 i 行第 j 列上的元素。在 D 中 把 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后， 剩下的 n-1 阶行列式叫做元素 aij 的“余子式”， 记作 Mij。 把 Aij = (-1)^(i+j) * Mij 称作元素 aij 的“代 数余子式”。 （符号 ^ 表示乘方运算）
0 -1 -1 2 0 0 -2 4 0 0 0 -2
然后变成三角形行列式，直接将对角线数字乘起来就行了。。
原式=-1×-2×-2=-4
计算行列式： （4 阶）第一行：0xyz ，第二行：x0zy 第三行：yz0x 第四行：zyx0
把 234 行加到第一行 提取第一行的 x+y+z 用第一行第一列的 1 消去二三四行的第一列 按第一列展开，得到三阶行列式 把第三行加到第二行 提取第二行的 x-y-z 用第三列减第二列 按第二行展开，得到二阶行列式
对于三阶矩阵 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
首先求出 各代数余子式 A11 = (-1)^2 * (a22 * a33 - a23 * a32) = a22 * a33 - a23 * a32 A12 = (-1)^3 * (a21 * a33 - a23 * a31) = -a21 * a33 + a23 * a31 A13 = (-1)^4 * (a21 * a32 - a22 * a31) = a21 * a32 - a22 * a31 A21 = (-1)^3 * (a12 * a33 - a13 * a32) = -a12 * a33 + a13 * a32 …… A33 = (-1)^6 * (a11 * a22 - a12 * a21) = a11 * a22 - a12 * a21
1
A E 中的 E 换成 B，然后利
A B
例
n2 n
E A1 B


n 2 n
其中的 A B 即为所求矩阵方程 AX B 的 X。
1Baidu Nhomakorabea
1 2 3 2 5 设A 2 2 1 ，B 3 1 ，若AX B，求X 。 3 4 3 4 3
解：
1 2 1 2 1 0 0 2 1 4 5 0 1 0 （A E ） 4 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 2 1 2 1 0 0 0 0 1 0 9 6 9 4 0 1 2 3 1 0 1 0 0 0 0 0 3 1 0 0 1
其次，介绍伴随矩阵的概念 设 E 是一个 n 阶矩阵，其矩阵元为 aij。则 E 的伴随矩阵 E'为 A11 A12 …… A1n A21 A22 …… A2n …… An1 An2 …… Ann 的转置矩阵。
E'中的矩阵元 Aij 就是上面介绍的 代数余子式。 ======================
2 1 3 r1 r2 1 0 0 1 0 1 0 1 3 0 0 1 1 0
1 2 1 3 2 1
0 0 1 0 0 1 1 0 1
0 3 0 1 1 1 0 1 3 0 2 2 3 1
2 1 4 3 3 1 1 2 A 1 3 3 0 1 1
（ “润物细无声” ）
1
对一般的矩阵方程 AX B 求解，我们可以先求 A
，然后求 X＝ A B。
1
现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。 其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程， 因为求 A 就是求解矩阵方 程 AX E 的解，而对一般的矩阵方程 AX B 只要将 用初等行变换，即
4 3 2 3 1
四，知识拓展 2．求逆矩阵方法的应用之二 利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A︱E)经过初等行 变换，原来 A 的位置不能变换为单位阵 E，那么 A 不可逆。 例
1 2 1 2 2 1 4 5 设A , 求A1。 4 1 2 1 1 1 1 1
1 2 3 2 5 1 2 3 2 5 1 0 2 1 4 （A B） 2 2 1 3 1 0 2 5 1 9 0 2 5 1 9 3 4 3 4 3 0 2 6 2 12 0 0 1 1 3
1. 求逆矩阵方法的应用之一 例
1 设A 1 1 1 （A E ） 1 解： 1
2 0 , 求A1。 3 2 1 0 0 r r 1 2 1 0 0 1 0 r 0 3 r 1 3 0 0 1 0 1 r3 1 1 1 1 0 3 0 2 r1 2r3 3 0 1 0 3 0 3 1 2 r2 2r3 0 0 0 0 1 1 0 1 1 2 1 1 2 1
然后伴随矩阵就是 A11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33
的转置 矩阵 AT（T 为上标）
第一行为主元，A11 以下第 I 行 Aij 减去 Ai1/A11*A1j。。。。 （行列式中，把某一行的所有对应元素乘以某一个数加到另一行上面去，行列式值不变） 然后把第一列化成 0 同理。。。可以把左下角的数字全部化成 0.。。。 比如 1 -1 0 2 0 -1 -1 2 -1 2 -1 2 1 -》 1 -1 0 2 0 -1 -1 2 0 1 -1 2 0 3 -》 1 -1 0 2 0 -1 -1 2 0 0 -2 4 0 0 -2 2 -》 1 -1 0 2 1 -4 0 1 0