第五章 功率谱密度函数

lim
T
1 T
X *(n)X (n) lim 1 T T
X (n) 2 Gxx (n)
G22 (n)
lim 1 T T
F2*(n)F2 (n)

lim 1 T T
X * (n)e j2nL X (n)e j2nL
Gxx (n)
G33 (n)

1 lim T T
▲（3）自谱SX(ω) 是一非负函数
S
X
()

lim
T
E

1 T
X
T
()
2


▲（4）单边谱密度GX(ω)
GXG(ωX()ω)
GX
(
)

2S 0
X
()
( 0) ( 0)
SXS(ωX()ω)
0
ω
工程中不存在负频率，按其偶函数特征将负频率范围 内的谱密度折算到正频率范围内获得单边谱密度函数
互谱密度函数
G12 (n)
1 lim
T T
F1*(n)F2 (n)

1 lim T T
X *(n) X (n)e j2nL
Gxx (n)e j2nL
G21 (n)

lim
T
1 T
F2* (n) F1 (n)

lim
T
1 T
X *(n)e j2nL X (n)
计算汽车四个输入的振动传递时，需要计算四个车轮输入的自谱和四个
车轮彼此之间的互谱，共16个谱量，其中四个自谱，12个互谱；其中互
谱的计算公式：
Gik
(n)

lim
T
1 T
Fi* (n) Fk
(n)
Gik
(n)

lim
T
1 T
Fi* (n) Fk
(n)
G11(n)

lim
T
1 T
F1* (n) F1 (n)
结合互谱与自谱间的关系不等式，易知
0


2 XY


1
互相关函数与自相关函数之间的关系
RXY ( ) 2 RX (0)RY (0)
互谱与自谱满足之间的关系
SXY 2 SX SY
掌握 四个车轮输入的自谱与彼此间的互谱
四个车轮：路面不平度函数
q1(l) x(l) q3(l) y(l)
T
对上式求集合平均得
RX


0

E
X 2
t

1
2

SX
d
自功率谱密度函数定义为
S
X
()

lim
T
E
1 T
X
T
(
)
2


SX ()

RX
(
)e
j
d
可以证明以上两种形式是等价的
自谱具有下列性质
d
xT
(t)

1
2

XT
()e
jt
d
Βιβλιοθήκη Baidu
yT
(t

)

1
2

YT
(
)e
j
(t

)d
S XY ()

RXY
(
)e

j
d


RXY ( ) cos d j RXY ( ) sin d
由于互相关函数不是偶函数，因而上述两项积分 一般均不为零，即互谱函数为一复数。
G13(n) G31*(n) Gxy (n) G42 (n) G24*(n) Gyx (n)
作业：
推导：
G14 (n) G41*(n) Gxy (n)e j2nL G32 (n) G23*(n) Gyx (n)e j2nL
G13(n) G31*(n) Gxy (n) G42 (n) G24*(n) Gyx (n)
lim 1 T X 2 (t)dt
T0
所以：自相关函数蕴藏着随机信号功率的物理意义。
研究随机过程时，常需要利用傅立叶变换来确定 随机过程的频率结构，但一个时间函数，在区间 ( t ) 内其傅立叶变换是否存在，取决于是 否绝对可积。

X (t)dt
很多时间函数不能满足上述条件，因此不能利用 用时间函数历程函数直接进行傅立叶变换。
2

SX

e j d
SX F RX

RX

e j d
RX



1
2

SX

e j d
上两式通常叫做维纳—辛钦关系式。
若令式中τ=0，则可得
RX


0

E
X 2
t

1
2
功率谱密度函数可由相关函数转换而来。 自相关函数
Rx ( ) E[ X (t) X (t )]
当τ＝0时， Rx ( ) 为X(t) 的均方值
Rx (0) E[ X (t) X (t)] E[ X 2 (t)]
若随机过程为各态历经过程，则
Rx (0) E[ X (t) X (t)] E[ X 2 (t)]
XT ()

xT
(t
)e
jt
dt
YT ()

yT
(t )e
jt dt


yT
(t


)e
j (t

)dt
相应地，其傅里叶反变换为
1
xT (t) 2

XT
()e
jt
d
yT
(t

)

1
2

YT
()e
j
(t

)
q2 (l) x(l L) q4 (l) y(l L)
1、2为同侧车轮 3、4为同侧车轮
F[q1(l)] F[x(l)] X (n)
F[q2 (l)] F[x(l L)] X (n)e j2nL
F[q3(l)] F[ y(l)] Y (n)
F[q4 (l)] F[ y(l L)] Y (n)e j2nL
互为共轭函数
互功率谱密度的两个性质：
5.4 共相谱、正交谱和相干函数
(只要求掌握相干函数的表达式) 互谱一般为复函数，可写成
共相谱 正交谱
共相谱、正交谱名称的由来
共相谱为同相分量之积
CXY


lim
T
E
1 T

XR
YR



XI

YI


SX
d
显然，若自相关函数在τ＝0处表示信号的“功率
”，则式中SX(ω)的量纲为“功率”/频率单位，
代表单位频带上所具有的功率。
5.2 自功率谱密度函数及其性质
自相关函数的傅里叶变换对为
SX ()

RX
(
)e
j
d
RX



1
2

SX
5.3 互功率谱密度函数及其性质
自功率谱SX(ω)定义为自相关函数的傅里叶变换， 互谱密度(简称互谱)有类似的定义，SXY(ω)与 RXY(τ)；SYX(ω)与RYX(τ)互为傅里叶变换对。
SXY ()

RXY
(
)e
j
d

RXY
(
)

1
2

S
XY
(
)e
正交谱为正交分量之积
QXY


lim
T
E
1 T

X
I
YR


XR
YI

互谱一般为复数，亦可写成
其中
SXY SXY e jXY
SXY
CX2Y


QX2Y



XY
第五章 随机振动的功率谱密度
第五章 随机振动的功率谱密度
5-1 自相关函数的物理意义及其傅立叶变换 5-2 自功率谱密度函数及其性质 5-3 互功率谱密度函数及其性质 5-4 共相谱、正交谱和相干函数
5-1 自相关函数的物理意义 及其傅立叶变换
一个随机振动过程的特征可以用数学期望、方差 和相关函数来描述。

e j d
SX(ω)是ω的函数，表征信号本身“功率”按频率 的分布情况。故定义SX(ω)为自功率谱密度函数
(简称自功率谱或自谱)。 下面将从另一角度定义自功率谱密度函数
下面将从另一角度定义自功率谱密度函数
设x(t)是遍历过程的一个样本函数，它是定义在
(-∞﹤t﹤∞)区间内的一个非周期函数，不满足
▲（1）自谱SX(ω)为一实偶函数 ，由于自相关函数 为实偶函数，实偶函数的傅立叶变换也是实偶函数 ▲（2）自谱密度SX(ω)曲线下面包围的面积乘以常 数1/2π，即为平稳随机过程X(t)的圴方值E[X2(t)]。
SX(ω)
0
ω
RX


0

E X 2
t

1
2

SX
d
F3* (n) F3 (n)

1 lim T T
Y *(n)Y (n)

1 lim T T
Y (n)
2

Gyy (n)
G44 (n)
lim 1 T T
F4*(n)F4 (n)
lim 1 T T
Y *(n)e j2nLY (n)e j2nL
Gyy (n)
G11(n) G22 (n) Gxx (n) G33 (n) G44 (n) Gyy (n)
绝对可积条件，不能直接应用傅立叶变换。引入
下述辅助函数xT(ω):
x(t) T / 2 t T / 2
xT (t)
0
t T/2
若xT(t)满足绝对可积条件，则有
XT ()

xT
(t
)e
jt
dt
xT
(t )

1
2

XT
(
)e
jt
d
xT(t) 的均方值定义为:

arctan QXY CXY


互谱与自谱满足下列不等式
SXY 2 SX SY
（证明略）
由过程X(t)与Y(t)的自谱与互谱，可定义谱相干函数 γXY(ω)（或称凝聚函数）

2 XY


SXY 2 SX SY
但在工程技术问题中，广泛采用从频率域来描述 一个随机振动过程特征的功率谱密度函数。
1、功率谱密度函数能够反映随机振动的功率关于频率的 分布密度。
2、对于一个线性系统，输入功率谱、输出功率谱、系 统本身的传递特性三者之间的关系式非常简便。
3 在对系统进行振动试验时，功率谱有助于振动特性的 模拟
功率谱密度与相关函数可分别从频域与时差域这 两个不同的角度反映着同一个统计特性—“功率”。
对于平稳随机过程，x 0 时（不为零时可调节零
点），当

时，自相关函数趋于

2 x
0
，所
以自相关函数满足绝对可积的条件，用符号SX(ω)
记作它的傅里叶变换
SX F RX

RX

e j d
相应的逆变换为:
RX



1

Gxx (n)e j2nL
G12 (n) G21* (n) Gxx (n)e j2 nL
同理： G34 (n) G43*(n) Gyy (n)e j2nL
G14 (n) G41*(n) Gxy (n)e j2nL G32 (n) G23*(n) Gyx (n)e j2nL
j
d

SYX ()

RYX
(
)e
j
d

RYX
(
)

1
2

SYX
(
)e
j
d

从另一个角度定义互功率谱密度
设x(t)与y(t)为遍历过程的两个子样函数，都是定 义在区间-∞≤t≤∞内的非周期函数，其傅里叶变换 XT(ω)和YT(ω)分别为：