用尺规作图解决任意角的三等分

用尺规作图解决任意角的三等分

引言：

通常来说，尺规作图的方法是不能三等分任意角的。如果继续使用原有的尺规作图的方法，我也不能解决这个几何问题。原因在于传统的尺规作图停留在二维的范围，

而我现在要用的方法是在三维的参考系中使用直尺、圆规、铅笔、作图纸解决三等分任意角。

首先，介绍所需的工具，本方法中所使用的圆规不是以铅笔画圆，而是以刀“划圆”。至于直尺和铅笔就是传统的工具（没有刻度）。至于白纸，我将利用它实现二维到三维的转换。

方法介绍：

下面利用图解的方法来阐述我的思路。

1、首先我们在纸面上任意画一个∠AOB

2、我们以顶点O

3、利用另一张白纸啮合在步骤2得到的圆上并利用铅笔在白纸上标记弧A ’B ’(X,Y)的位置。

4、展开被标记的白纸，连接XY 得到直线XY ，再利用尺规作图（方法见下图）三等分此直线。 方法简述：作XY 垂线XC;和平行线QP; 在QP 上作三个等圆如图（三直径相加不等于XY ）； 如图连接即可三等分XY （简单相似三角形即可证明）

X Y C Q P C J

5、将白纸贴回圆O（XY对准弧A’B’）即可三等分弧A’B’

6、利用等弧对应的圆心角相等的原理，简单可证三等分了∠AOB。

总结：

也许大家会争议步骤3（同理的步骤5），在同指导教员（刘俊红教员）讨论时，我们也意识这一点也许会存在争议，利用了纸面的可重塑性到底算不算尺规作图？我们思考了很久，如果从单从操作的角度来讲，的确借助了“捷径”，但是如果从理论来讲，利用这种方法可以在三维的坐标系（不需要它的坐标刻度）中只借助直线方程和圆的方程（也就是圆规和直尺）就可以三等分任意角，大致思路是利用我们可以精确三等分直角和特殊角的原理（见下图），在弧面中三等分弧（本质来说是与前述方法一致的，但在弧面中三等分弧的方法是利用中垂线的方法）。

在三维坐标系中平分是在理论上不需要借助其它工具的，但是如果没有其他工具的帮助的话会有很大的误差，所以我利用白纸为辅助的工具，增加它的精度。当然如果利用这个方法制作出模具的话就可以精确三平分角了。

借此想表明我的一个观点：在一维或者二维难以解决的问题，也许可以在更多维的坐标系内轻易解决（多维到少维也许也存在此类现象……）。举一个简单的例子：人类在长时间

内都认为地球是一个平面，最后是通过人和人之间的配合（一些人看见了另一些人行驶的船，桅杆先进入视野）才发现脚下是一个球。这看似人之间非常简单的配合，在单纯思维领域却是十分困难的，因为目前还没有人可以和别人实时共享思维和控制别人的思维（举例：甲去执行c=1+5;乙去执行j=c+4但不能执行c=1+5;）。形象的来说，当一个人解决一个难题时，就相当于他自己一个人无助的在一个星球上探索它的形状，他不能自己一边驾船，一边在岸边观察，于是他沿着星球不停地走，心想如果能回到现在的地方那么就是圆的（简单的来说），他在过程中遇到了高山和深海，没有GPS而迷路，随着时间迁移而不再认识出发的地点等等的困难……好吧，就算他历经艰险回到了出发地，那么他所得到的仅仅是一个推想，因为没人能证明他是不是绕着400米跑道走了好几年，所以他还是不能证明星球的形状。但是最终他的愚公精神感动了上天，神给了他一对翅膀，他以7.9KM\S的速度飞上了天，终于看到了这颗星的形状。

这一对翅膀我想就是应该是突破惯性思维的束缚的信念。一般来说看问题要辩证的来看，但是问题辩证的关系依赖于更高于它的辩证关系，如果说在一个“平面”上存在此消彼长的规律的话，那么我们就可以通过改变它的“高度”把它变成绝对量的此长彼长或此消彼消。当然在“高度”为定值的时候还是此消彼长，但是如果在我什么都不了解的四维空间呢？就需要另一对翅膀了。