二面角求解方法

二面角的作与求

求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下：

1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

4、投影法：利用s

投影面

=s

被投影面

θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，

是求二面角的好方法。尤其对无棱问题

5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos

例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，

PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。

分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法

解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE

AC=AB ，PB=PC ∴

AE ⊥ BC ，PE ⊥BC

∴PEA ∠为二面角

P-BC-A 的平面角

在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6

P

C

B

A

E

∴PEA ∠=900

∴二面角P-BC-A 的平面角为900。

例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。

解1：（三垂线定理法）

取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC

∴平面

PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC

∴BE ⊥平面

PAC

由三垂线定理知BF ⊥PC

∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角

设PA=1,E 为AC 的中点，BE=

23,EF=4

2

∴tan BFE ∠=

6=EF

BE

∴BFE ∠=arctan 6

解2：（三垂线定理法）

取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM

AB=AC,PB=PC ∴

AE ⊥BC,PE ⊥BC

∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC

∴

平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE

由三垂线定理知AM ⊥PC

P

C B

A

E

F M

E

P

C

B

A

F

图1

图2

∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角

设PA=1，AM=

22,AF=7

21

.=PE AE AP

∴sin FMA ∠=

7

42=AM AF ∴FMA ∠=argsin

7

42

解3：（投影法）

过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC

∴平面

PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC

∴BE ⊥平面

PAC

∴PEC ∆是PBC ∆在平面

PAC 上的射影

设PA=1,则PB=PC=2,AB=1

4

1

=

∆PEC S ,47=

∆PBC S

由射影面积公式得，77

cos

arg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）

过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=

2

2

,PB=PC=2 ∴BE=

PC S PBC 2

1∆=414,CE=42,DE=42

由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =

7

7cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。

P

C

A

E

E

P

C

B

A D

图3

图4

例3：二面角βα--EF 的大小为 120，A 是它内部的一点，AB ⊥α，AC ⊥β,B 、C 为垂

足。

（1） 求证：平面ABC ⊥α,平面ABC ⊥β

（2） 当AB=4cm,AC=6cm 时求BC 的长及A 到EF 的距离。 分析：本题采用作棱的垂面法找二面角的平面角 解：（1）设过 ABC 的平面交平面α于BD,交平面β于CD

AB ⊥α,AB ⊂平面ABC

∴

平面ABC ⊥α,同理平面ABC ⊥β

（2） AB ⊥α

∴AB ⊥EF

同理AC ⊥EF

∴EF ⊥平面ABDC

∴BD ⊥EF,

CD ⊥EF

∴BDC ∠= 120

∴ 60=∠BAC

∴BC=72606426422=⨯⨯-+ COS cm

有正弦定理得点A 到EF 的距离为：d=

321

460

sin =

BC cm α

《二面角的求法》

一、复习引入：

1、什么是二面角及其平面角？范围是什么？

A

B

C β

D