专题6.2 导数中的参数问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

【方法综述】

导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式成立/存在性/方程的根/零点等条件,求解参数的取值或取值范围”.这类型题目在近几年的高考全国卷还是地方卷中，每一年或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型.学生要想解决这类型的题目，关键的突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分类讨论法和分离参数法. 【解答策略】 一．分离参数法

分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的，如下面的第2种情形），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)

该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.

例1．【河北省沧州市2019届高考模拟】直线与曲线

有两个公共点，则实数的取值范围是

_____． 【答案】

【解析】 因为直线与曲线

有两个公共点，所以方程有两不等实根，即

有两不等实根，

令，则与函数有两不同交点，因为

，

所以由得；由

得

或

；因此函数

在

和

上单调递减，

在

上单调递增，作出函数的简图大致如下：

因为；又与函数有两不同交点，所以由图像可得，只需.故答案为【指点迷津】

由直线与曲线有两个公共点可得方程有两不等实根，即有两不等实根，令，求出函数的值域即可.

【举一反三】【湖南省永州市2019届高三三模】若存在，使得成立，则实数的取值范围是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】

原不等式等价于：

令，则存在，使得成立

又

当时，，则单调递增；当时，，则单调递减

，，即

当且仅当

，即

时取等号

，即

本题正确选项：

2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）

该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了. 例2．【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次教学质量检查】定义在

上的函数

满足

，且

，不等式

有解，则正实数的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】 因为，故， 因，所以

即

.

不等式

有解可化为 即

在

有解. 令，则， 当时，，在上为增函数；

当时，

，在

上为减函数； 故

，所以

，故选C. 【指点迷津】不等式的恒成立问题，应优先考虑参变分离的方法，把恒成立问题转化为函数的最值（或最值的范围）问题来处理，有时新函数的最值点（极值点）不易求得，可采用设而不求的思想方法，利用最值点（极值点）满足的等式化简函数的最值可以求得相应的最值范围． 【举一反三】【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】已知当

时，关于的方程

有唯一实数解，则所在的区间是( )

A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6．7)

【答案】C

【解析】

由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，

令f（x）（x＞1），则f′（x）．

令g（x）＝x﹣lnx﹣4，则g′（x）＝10，

∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，

∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，

∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）＝0，

∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．

则f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．

∴f（x）min＝f（x0）．

∵﹣4＝0，∴，

则∈（5，6）．

∴a所在的区间是（5，6）．

故选：C

二．分类讨论法

分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论.

1.二次型根的分布或不等式解集讨论

该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程，可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.

例3．【江苏省扬州中学2019届高三3月月考】已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

∵，

∴．

∵函数有两个不同的极值点，，

∴，是方程的两个实数根，且，

∴，且，

解得．

由题意得

．

令，

则，

∴在上单调递增，

∴．

又不等式恒成立，

∴，

∴实数的取值范围是．

故答案为．

【指点迷津】

1.本题考查导数在研究函数中的应用，体现了导数的工具性，解题的关键是得到的表达式．解答恒成立问题的常用方法是转化为求函数的最值的问题解决，当函数的最值不存在时可利用函数值域的端点值来代替.