七年级数学上册3.5 三元一次方程组及其解法

x y 2z 3,

y 5z 3,
④
11z 11. ⑥
阶梯型方程组
所以
x 3,

y

2,
z 1.
通过消元，将二元一次方程组的问 题转化为一元一次方程组的问题
归纳：通过消元，将一个较复杂的三元一次方程组化为
简单易解的阶梯型方程组，从而通过回代得出其解，整
x y 10
C

x

z

2
. y z 15
x yz 1 D x 3y 4z 7 . xyz 12
( D)
[注意] 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不 一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
☆ 三元一次方程组的解法
温故知新
（1）回顾解二元一次方程组的思路。 二元一次方程组 消元 一元一次方程
学习目标
1.理解三元一次方程（组）解的概念； 2.能解简单的三元一次方程组.（重点、难点）
导入新课
问题引入
三个小动物年龄之和为26岁
流氓兔比加菲猫大1岁
流氓兔年龄的2倍加上米老鼠 的年龄之和比加菲猫大18岁
求 三 个 小 动
物 的 年 龄
讲授新课
☆ 三元一次方程（组）的概念
互动探究
问题1：题中有未知量？你能找出哪些等量关系？

x-1=y.

2x+z=y+18.
由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组， 叫做三元一次方程组.
下列方程组不是三元一次方程组的是
x1
A

x

y

2
. x z 10
x3y 2z 1 B 2x y 4z 0 . 3x 2y z 3
未知量： 每一个未知量都用一个字母表示
流氓兔的年龄
x岁
加菲猫的年龄
y岁
三个未知数（元）
米老鼠的年龄
z岁
等量关系： 用方程表示等量关系.
（1）流氓兔的年龄+加菲猫的年龄+米老鼠的年龄=26 x+y+z=26.
（2）流氓兔的年龄-1=加菲猫的年龄
x-1=y.

（3）2×流氓兔的年龄+米老鼠的年龄=加菲猫的年龄+18
-，得 y 6z 8. ⑤
x y 2z 3,


y 5z 3,
④
y 6z 8.
⑤
通过消元，将三元一次方程组的问题转化为二元 一次方程组的问题
④-⑤，得 11z 11. ⑥
z 1. ⑦ 回 代 ⑦代入④中，得 y 2.
将y、z的值代入中，得x=3.
5x 5y 10z 35, 20x 10y 10z 70, 5x 15y 5z 35.
(2)-×4,-,得
5x 5y 10z 35,

10
y

30z

70,
④
10y 5z 0.
⑤
⑤+④,得
5x 5y 10z 35,
通过代入或是加减进行消元， 将三元转化为二元，使得三元 一次方程组转化为解二元一次 方程组，进而转化为解一元一 次方程.
食物
铁
A
5
B
5
C
10
钙
维生素
20
5
10
15
10
5
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各位x、y、z份， 请列出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚 好满足婴儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C 的份数.
解：(1)设食谱中A，B，C三种食物各x,y,z份，由该食 谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素， 得方程组
2x+z=y+18.
问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？
x+y+z=26. 2x+z=y+18.
x-1=y.

含三个未知数 未知数的次数都是1
三元一次方程
含两个未知数 未知数的次数都是1 二元一次方程
因三个小动物的年龄必须同时满足上述三个方程， 故将三个方程联立在一起.
x+y+z=26.
x 2y z 5.
x 9, （2） y 1,
z 6.
x 33, （3） y 14,
z 4.
x 2, （4） y 1,
z 1.
2．甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1， 甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
个求解过程就称为用消元法解三元一次方程组.
例2 解《九章算术》第八章第一题的方程组
3x 2y z 39, 2x 3y z 34, x 2y 3z 26.
解： 先用加减法消去z： -,×3-,得
x y 5,
④源自文库

5x 7y 76,
解：设甲为x，乙为y，丙为z，根据题意，
组成以下方程组：
x y z 26

x

y

1
2x 3z y 18
解这个方程组，得
x 10

y

9
z 7
答：甲为10，乙为9，丙为7.
课堂小结
三
元
概念
一
次
方
程
组
及
其
解
步骤
法
由三个一次方程组成的含三个 未知数的方程组，叫做三元一 次方程组.
10y 30z 70, ④
35z 70.
⑥
通过回代，得 z=2,y=1,x=2.
答：该食谱中包含A种食物2份，B中食物1份，C种食物2份.
当堂练习
1.解方程组
3x y z 4,
(1)

x y z 6,
2x 3y z 12.
⑤
x 2y 3z 26.

④×7+⑤,得
若是先消去y,该如何 做呢？
12x 111,
⑥

x y 5,
⑤
x 2y 3z 26.

x

37 4
,
通过回代，解得：

y


17 4
,

z

11. 4
☆ 三元一次方程组的应用
例3 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量 中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现 有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐， 其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食 物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
（2）如何解三元一次方程组？
三元一次方程组
消 元
二元一次方程组
消 元
一元一次方程
（3）消元方法：
① 代入法（代入消元法） ② 加减法（加减消元法）
典例精析
x y 2z 3,
例1 解方程组 2x y z 3,
x 2y 4z 5.
解： 先用加减消元法消去x +×2,得 y 5z 3. ④
2x y 3z 1,
(2)

2x 2z 6,
4x 2y 5z 4.
x 2y 5,
(3)

y 3z 2,
x y z 51.
解：（1）
x y

2, 3,
z 1.
2x 3y z 6, (4) x y 2z 1,