光子晶体波导

E
2
c2
E
1
r
H
2
c2
H
非均匀介质 H 0 0
磁场始终连续，求解关于磁场的方程较为方便
算符
Fˆ
1
r
FˆH
2
c2
H
本征值方程
11
第11章 光子晶体波导
11.1 光子晶体理论
11.1.2 平面波展开法
本征值方程
FˆH
2
c2
H
Fˆ
1
r
1
r
(r
)
1
r
(r
Rl
)
( Rl l1a1 l2a2 l3a3 )
结晶学原胞(晶胞)或布拉维原胞 按对称性选取的单元，格点 可以在平行六面体顶角上，也可以在面心或体心处。 基矢沿空间对称轴方向，一般用 a 、b 、c 表示。如立方晶体 的晶胞有简立方(SCC)、体心立方(BCC)、面心立方(FCC)等。 超晶胞：大体积晶胞。
7
第11章 光子晶体波导
11.1 光子晶体理论
1
方程的本征值：
ei KRl
12
第11章 光子晶体波导
11.1 光子晶体理论
11.1.2 平面波展开法 方程的本征值： ei KRl
K 待定波矢
令 rn r nRl
(rn ) eiKrn r (r )
(rn ) eiKrn (r ) eiKr
令 (r ) eiKr u(r )
晶格矢： 任一格点 R la1 ma2 na3 l、m、n为整数
6
第11章 光子晶体波导
11.1 光子晶体理论
11.1.1 光子晶体结构与两种晶格
维格纳-塞茨原胞 (W-S原胞)
以一个格点为原点，作原点与其
邻近格点连线的中垂面或中垂线，
由这些中垂面或中垂线围成的最
小体积或面积。
图11.3 W-S原胞、晶胞与晶胞基矢
位置空间的晶格 (正格子）
晶体：基元,周期性空间点阵 格点,晶格
布拉维格子 一种基元构成
复式格子 两种及以上基元构成
图11.2 原胞与基矢
周期：基元沿空间三个方向等效平移的最小距离 a1 (a2 a3 )
原胞：以格点为顶点、周期为边长的平行六面体,最小单元
基矢：原胞三边的矢量。原胞选取不唯一，但体积相同
h1、h2、h3为整数
G R 2n
8
第11章 光子晶体波导
11.1 光子晶体理论
11.1.1 光子晶体结构与两种晶格
二维正、倒格子基矢
正方晶格 晶格常数a
a1 ax0
b1
2
a
x0
a2 ay0
b2
2
a
y0
三角晶格
a1 ax0
b1
2
a
( x0
3 3
y0 )
a2
a 2
x0
3 y0
b2
11.1.2 平面波展开法
光子晶体研究方法 ： 平面波展开法、传输矩阵法、时域有限 差分法、多重散射法、有限元法等
平面波展开法：将电磁波按平面波形式展开，把求解麦氏方
程问题转化为求解本征方程本征值问题 光子晶体中电磁波的色散关系或能带结构。
单色波
E E(r )eit
H H (r )eit
1
r
4
3a
y0
倒格子基矢量纲是米-1，倒格子空间实际是一波矢空间，它
的引入简化了坐标空间周期函数的数学表示。
波矢是描述光波传输的重要物理量，倒格子基矢在光子晶体
分析中起着重要作用。
9
第11章 光子晶体波导
11.1 光子晶体理论
11.1.1 光子晶体结构与两种晶格
布里渊区
任选一倒格点为原点 (波矢
Biblioteka Baidu11.1 光子晶体理论
11.2 光子晶体波导
3
第11章 光子晶体波导
普通晶体 原子、分子、离子等周期排布，形成周期势场。 薛定谔方程电子能带结构，带与带之间有带隙（禁带）。
光子晶体(photonic crystal，PC) 不同介电常数的介质在空间按一定的周期结构排布，排布 周期与光波长相当。 电磁场方程电磁波的传输特性具有和半导体电子能带类 似的电磁波能带结构，这种能带结构称为光子能带 (photonic energy band)。能带间的区域称为光子禁带或光 子带隙 (PBG：photonic band gap)
为0）,作出它最近邻点的倒 格点矢量，并作出每个矢量 的垂直平分面或线，这些面 或线所围成区域就是倒格子 W-S原胞，称作第一布里渊 区(1BZ)。次邻近点倒格矢 的垂直平分面或线，与第一 布里渊区边界所围的区域为 2BZ，依次类推。
图11.5 二维倒格子与布里渊区
10
第11章 光子晶体波导
11.1 光子晶体理论
• 内容
第1章 电磁场理论 第2章 几何光学 第3章 光波导几何分析 第4章 薄膜波导模式理论 第5章 三维光波导 第6章 光纤模式理论 第7章 电磁场分析的有限元法 第8章 模式耦合理论 第9章 无源光器件 第10章 有源光器件 第11章 光子晶体波导 第12章 光波导的制备
第11章 光子晶体波导
坐标表象中 u(r ) 是周期函数
u(r ) u(r nRl )
(r ) eiKr u(r )
满足周期算符本征方程的本征函数，必由一个平面波因子和 一个周期函数组成，即Bloch 波。 K Bloch 波矢
Fˆ (r ) Fˆ (r Rl )
位移算符 T (Rl )表示移位r至r Rl TFˆ (r )H Fˆ (r Rl )H (r Rl ) Fˆ (r )TH
算符Fˆ (r )和T对易，二者有共同的本征函数
T (r Rl ) T n (r nRl ) n
电磁波频率在带隙内时，则不能在光子晶体中传播。
4
第11章 光子晶体波导
11.1 光子晶体理论
11.1.1 光子晶体结构与两种晶格
(a) 一维
(b) 二维
图11.1 光子晶体结构示意图
(c) 三维
5
第11章 光子晶体波导
11.1 光子晶体理论
11.1.1 光子晶体结构与两种晶格
光子晶体和普通晶体在结构和研究方法上有一定的类比性， 借用了许多固体物理中的概念，如晶格(lattice)、布拉维格 子(bravais lattice)、原胞(primitive cell)、倒格子(reciprocal lattice)、布里渊区(Brillouin zone)、布洛赫(Bloch)函数等。
11.1.1 光子晶体结构与两种晶格 倒易空间的晶格（倒格子）
倒格子基矢：
一组与三维位置空间基矢正交的矢量
定义
b1
2π Ω
a2
a3
b2
2π Ω
a3
a1
ai bj 2 ij
b3
2π Ω
a1
a2
倒格子： 由 b1 b2 b3 构成的新点阵
图11.4基矢与倒格子基矢
倒格矢： 任一倒格点 G h1b1 h2b2 h3b3 倒格矢与晶格矢满足