行列式的定义和性质及若干应用论文

行列式及其在初等数学中的应用

【摘 要】行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下四个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式;综述了行列式在解析几何中的若干应用,最后列举三阶行列式在高中数学的应用

【关键词】: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组

引言

行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、n 维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何及高中数学四个方面的应用。

1 行列式的定义和性质

1.1行列式的定义

行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数，符号为正，逆序数为奇数，符号为负。

例1 n

n D n 000

00010020

0100

计算行列式　. 解：　n D 不为零的项一般表示为！１ｎ－１n a a a a nn n n 1122 ,故!)

1(2

)

2)(1(n D n n n

1.2行列式的性质

行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变；5、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零； 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。

例 2 一个n 阶行列式ij n a D 的元素满足,,,2,1,,n j i a a ji ij 则称反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.

证明： 由　ji ij a a 知ii ii a a ，即n i a ii ,2,1,0 .故行列式可表示为

00032132313

223

12

11312

n n

n

n n

n n a a a a a a a a a a a a D , 由行列式的性质'A A ，

000)1(0

000321323

13223121131232132313

22312

11312

n n n n n

n n n

n

n

n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n D 1 .

为奇数时，得当n ,　

n n D D 因而得0 n D . 2行列式的若干应用

2.1 行列式在线性方程组中的一个应用

设含有n 个变元的1 n 个一次线性方程组为

.

0,0,0,122,111,122221*********n n n n n n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1） 设方程组（1）的系数矩阵A 的秩是1 n , 不失一般性, 假定不等于零的1 n 阶行列

式是

n

n n n n

n a a a a a a a a a A ,13,12

,122322

113121

. 行列式1A 中的元素, 就是矩阵A 中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列.

我们把n x x x ,,,32 看作是未知数, 1x 是已知数, 解方程组(1), 得

1

1

A x d x i i

),,3,2(n i （2） 式中i d 是行列式1d 的第1 i 列元素换以1,12111,,, n a a a 所成的行列式. 也就是

n

n i n n i n n n n

i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,11,13,12

,121,2211,22322

11,1111,11312

. 把i d 中第1 i 列移到第一列, 得

n

n i n i n n n n

i i n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,12,11,121,21,2222111,11,112112

)1(

. 上式右边的行列式用i A 表示, 行列式i A 是矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素所组成. 故

i i i A d 2)1( .

代入（2）式, 得

112)1(A x A x i i i , 或1

1

1

)1(A x A x i i i . 结论[2]

: 方程组（1）中的n x x x ,,,21 与n n A A A A 1

321)1(,,,, 成比例, 式中

i A ),,2,1(n i 是从矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素做成的行列式.

3行列式在初等代数中的几个应用

3.1 用行列式分解因式

利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.

例3.1.1 分解因式：3

23

23

2

3

23

2

3

2b ac c ba a cb b ca a bc c ab .

解: 222222()()()abc bc b c a c ac ab a b 原式

()()()abc bc c b ab a c ab b a 1111

1

1

c a a abc bc

ac

ab

b c b

11

1010

bc a bc

a

abc ab c abc ab bc c a ac b ac bc b a

()()()()abc ab bc b a ac bc c a