最新32洛必达法则76049汇总
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32洛必达法则76049
第十七讲
Ⅰ授课题目：
§3.2 洛必塔法则
Ⅱ教学目的与要求：
1.掌握用罗必塔法则求极限；
2.明了使用罗必塔法则的条件；
3.了解将罗必塔法则与极限运算性质结合使用常能简化运算。
Ⅲ教学重点与难点：
重点：各种类型的未定式转化为«Skip Record If...»或«Skip Record If...»型的未定式
难点：罗必塔法则与极限运算性质的结合使用
Ⅳ讲授内容：
§3.2 洛必塔法则
如果当«Skip Record If...»（或«Skip Record If...»）时，两个函数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»都趋于零或都趋于无穷大，那末极限«Skip Record If...»可能存在、也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为«Skip Record If...»或«Skip Record If...».在第一章第六节中讨论过的极限«Skip Record If...»就是未定式
«Skip Record If...»的一个例子．对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商”这—法则．
下面我们将根据柯西中值定理来推出求这类极限的一种简便且重要的方法．
我们着重讨论«Skip Record If...»时的未定式«Skip Record If...»的情形，关于这情形有以下定理：
定理1 设 (1)当«Skip Record If...»时，函数«Skip Record If...»及«Skip Record If...»都趋于零；
(2)在点«Skip Record If...»的某去心邻域内，«Skip Record If...»及«Skip Record If...»都存在且«Skip Record If...»；
（3）«Skip Record If...»存在（或为无穷大），
那么 «Skip Record If...».
这就是说，当«Skip Record If...»存在时,«Skip Record If...»也存在且等于«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»为无穷大时，«Skip Record If...»也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必塔
（L’Hospital）法则
证明因为求«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时的极限与«Skip Record If...»及«Skip Record If...»无关，所以可以假定«Skip Record If...»，于是由条件(1)、(2)知道，«Skip Record If...»及«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的某一邻
域内是连续的．设«Skip Record If...»是这邻域内的一点，那么在以«Skip
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Record If...»及«Skip Record If...»为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满
足，因此有
«Skip Record If...»（«Skip Record If...»在«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间）．
令«Skip Record If...»，并对上式两端求极限，注意到«Skip Record If...»时«Skip Record If...»，再根据条件(3)便得
说明: 1.如果«Skip Record If...»仍属于«Skip Record If...»型, 且«Skip Record If...»和«Skip Record If...»满足洛必达法则的条件,可继续使用洛必达法
则, 即«Skip Record If...»;
2.当«Skip Record If...»时, 该法则仍然成立, 有«Skip Record If...»;
3.对«Skip Record If...»（或«Skip Record If...»）时的未定式«Skip Record
If...»，也有相应的洛必达法则;
4. 洛必达法则是充分条件，反之不成立；
5. 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极
限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.（因为数列不连续，不能求导）
例1求下列极限
（1）«Skip Record If...», («Skip Record If...»型) （2）«Skip Record If...», («Skip Record If...»型)
解原式=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»原式= «Skip Record If...»=
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
注上式中的«Skip Record If...»已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误结果．以后使用洛必达法则时应当经常注意这一点，如果不是未定式，就不能应用洛必达法则．
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（3）«Skip Record If...», («Skip Record If...»型) 原式=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=1
（4）«Skip Record If...», («Skip Record If...»型).原式= «Skip Record If...»= «Skip Record If...»=1
（5）«Skip Record If...», («Skip Record If...»型) 原式=«Skip Record If...»= «Skip Record If...»= «Skip Record If...»
= «Skip Record If...»= «Skip Record If...»
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
例2 求下列极限
（1）«Skip Record If...»原式«Skip Record If...»= «Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»
（2）«Skip Record If...»原式«Skip Record If...»
（3）«Skip Record If...»原式«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
练习：（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»
二．«Skip Record If...»型未定式的求法
关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型«Skip Record If...»型和«Skip Record If...»型.
1．«Skip Record If...»型未定式的求法
步骤：«Skip Record If...»或«Skip Record If...»
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