中考复习专题之三角函数与几何结合

与三角函数有关的几何题
例 1、 如图 3，直线 AB 经过⊙ O 上的点 C ，并且 OA OB ， CA CB ，⊙ O 交直
线 OB 于 E，D ，连接 EC， CD ．
（ 1）求证：直线 AB 是⊙ O 的切线；
（ 2）试猜想 BC， BD，BE 三者之间的等量关系，并加以证明；
（ 3）若 tan CED
∴ = ，即
．
∴ x=1， ∴ BC=2x=2 ．
点评： 此题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判断和性质等 重要知识，能够准确的判断出 O 点的位置，是解答此题的关键．
5、如图，在 △ ABC 中， AB=AC ，以 AB 为直径的半圆 O 交 BC 于点 D， DE⊥ AC ， 垂足为 E． （ 1）求证：点 D 是 BC 的中点； （ 2）判断 DE 与⊙ O 的位置关系，并证明你的结论；
1 ，⊙ O 的半径为 3，求 OA的长．
2
析解：（ 1）证明：如图 6，连接 OC ．
OA OB ， CA CB ， OC AB ． AB 是⊙ O 的切线．
（ 2） BC2=BD ×BE．
ED 是直径， ECD 90 ．
E EDC 90 ．
又 BCD OCD 90 ， OCD ODC ，
BCD E ．
（ 3）如果⊙ O 的直径为 9， cosB= ，求 DE 的长．
分析：（ 1）连接 AD ，根据等腰三角形的性质易证； （ 2）相切．连接 OD ，证明 OD ⊥DE 即可．根据三角形中位线定理证明； （ 3）由已知可求 BD ，即 CD 的长；又∠ B=∠ C，在 △ CDE 中求 DE 的长． 解答：（ 1）证明：连接 AD ．∵ AB 为直径，∴ AD ⊥ BC ．∵ AB=AC ， ∴ D 是 BC 的中点； （ 2） DE 是⊙ O 的切线． 证明：连接 OD ．∵ BD=DC ， OB=OA ， ∴ OD∥ AC ．∵ AC ⊥ DE，∴ OD⊥ DE ． ∴ DE 是⊙ O 的切线．
于点 D ，∠ BOE=60 °，cosC= ， BC=2 ．
（ 1）求∠ A 的度数； （ 2）求证： BC 是⊙ O 的切线； （ 3）求 MD 的长度．
分析：（ 1）根据三角函数的知识即可得出∠ A 的度数．
（ 2）要证 BC 是⊙ O 的切线，只要证明 AB ⊥ BC 即可．
（ 3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出
（ 3）解： Rt△ DEA 中， tan∠ E= ，又
tan∠ E=tan∠ DAC= ，
∵ AD=1 ，∴ EA= ． Rt△ ABC 中， tan∠ ACB= ，
又∠ DAC= ∠ ACB ，∴ tan∠ ACB=tan ∠ DAC ． ∴ = ，∴可设 AB= ， BC=2x ，
∵ AD ∥ BC ，∴ Rt△ EAD ∽ Rt△ EBC ．
（ 3）由（ 2）证得∠ E=∠ ACB ，即 tan∠ E=tan∠ DAC= ，那么 BC= AB ；由于
AD ∥BC，易证得 △ EAD ∽△ EBC ，可用 AB 表示出 AE 、BC 的长，根据相似三角形 所得比例线段即可求出 AB 的长，进而可得到 BC 的值． 解答：（ 1）解：（提示： O 即为 AD 中垂线与 AC 的交点或过 D 点作 EC 的垂线与 AC 的交点等）． （ 2）证明：连接 OD ．∵ AD ∥ BC，∠ B=90 °，∴∠ EAD=90 °． ∴∠ E+ ∠ EDA=90 °，即∠ E=90°﹣∠ EDA ． 又圆 O 与 EC 相切于 D 点，∴ OD ⊥ EC． ∴∠ EDA+ ∠ ODA=90 °，即∠ ODA=90 °﹣∠ EDA ． ∴∠ E= ∠ ODA ； 又 OD=OA ，∴∠ DAC= ∠ ODA ，∴∠ DAC= ∠E．） ∵ AD ∥ BC ，∴∠ DAC= ∠ ACB ，∴∠ E=∠ ACB ．
又 CBD EBC ， △ BCD ∽△ BEC ．
BC BD ．∴ BC2=BD×BE. BE BC
（ 3）
tan CED
1
，
CD
1Baidu Nhomakorabea
．
2 EC 2
BD CD 1
△ BCD ∽△ BEC ，
．
BC EC 2
设 BD x ，则 BC 2x ．
又 BC2=BD ×BE，∴（ 2x） 2=x(x+6)
解之，得 x1 0 ， x2 2 ． BD x 0 ， BD 2 ．
在 Rt△ ABC 中，∵ BC=2 ，∴ AB=BC ?tan60°=2 ∴ OA= =3，∴ OD= OA= ，∴ MD= ．
× =6．
点评： 本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此 线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可．
4、如图，已知 Rt△ ABC 和 Rt△EBC ，∠ B=90 °．以边 AC 上的点 O 为圆心、 OA 为 半径的⊙ O 与 EC 相切， D 为切点， AD ∥ BC ． （ 1）用尺规确定并标出圆心 O；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （ 2）求证：∠ E=∠ACB ；
MD 的长度．
解答：（ 1）解：∵∠ BOE=60 °，∴∠ A= ∠ BOE=30 °．
（ 2）证明：在 △ ABC 中，∵ cosC= ，∴∠ C=60 °．
又∵∠ A=30 °，∴∠ ABC=90 °，∴ AB ⊥ BC．∴ BC 是⊙ O 的切线．
（ 3）解：∵点 M 是 的中点，∴ OM ⊥ AE ．
（ 3）若 AD=1 ，
，求 BC 的长．
分析：（ 1）若⊙ O 与 EC 相切，且切点为 D ，可过 D 作 EC 的垂线，此垂线与 AC 的 交点即为所求的 O 点． （ 2）由（ 1）知 OD⊥ EC，则∠ ODA 、∠E 同为∠ ADE 的余角，因此∠ E= ∠ ODA= ∠OAD ， 而 AD ∥ BC ，可得∠ OAD= ∠ ACB ，等量代换后即可证得∠ E=∠ ACB ．
OA OB BD OD 3 2 5 ．
2、已知：如图， AB 是⊙ O 的直径， AB 10 , DC 切⊙ O 于点 C，AD DC，垂足
为 D，AD 交⊙ O 于点 E ．
（ 1）求证： BC EC ;
（ 2）若 cos BEC
4
,
求 DC
的长．
5
D C
E
A
O
B
3、如图， 以线段 AB 为直径的⊙ O 交线段 AC 于点 E，点 M 是 的中点， OM 交 AC