反函数的概念ppt课件

f1(a)0,f1(x)x,x A
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反函数的概念
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函数的概念
在某变化过程中有两个变量x、y，如果 对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值， 按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数 值与它对应，那么y就是x的函数，记作 y=f(x)，x∈D，x叫做自变量，y叫做因变量， x的取值范围D叫做函数的定义域，和x的值 相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域．
g (5) 9 4
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例10、回答下列问题：
(1) 如果一个函数是奇函数，是否一定存在 反函数？
(2) 如果一个函数是偶函数，是否一定没有 反函数？
(3) 如果一个函数是单调函数，是否一定有 反函数？
(4) 如果一个函数不是单调函数，是否一定 没有反函数？
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例11
设函数 f(x)11x2(1x0)，则
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反函数的概念
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义 域为D，值域为A．如果对A中任意一个值y， 在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足 y=f(x)，这样得到的x关于y的函数叫做y=f(x) 的反函数，记作x=f -1(y)．
y=f -1(x) (x A)
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求反函数的步骤： (1) 由y=f(x)解出x=f -1(y)； (2) 求出y=f(x)的值域 A (y∈A)； (3) 写成 y=f -1(x) (x A)．
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例6
(1)已知 f1(x)2 x3,x1，求 f(x)；
f(x)1(x3)2,x1 4
(2)
求函数
x2, y
(0 x 1)
的反函数．
x, (1 x 0)
f1(x) x, (0x1) x, (1x0)
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例7
已知 f (x) a x b 和其反函数图像都经过 点(1,4)，求a、b的值． a=-3,b=7
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例1、源自文库下列函数的反函数
(1) y 4x 2 (2) y x3 1
(3) yx2 1(x0)
(4) y 3 x 1 ( x R 且 x 1 )
4x 2
2
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例2 (1) 函数 y x2,xR 有没有反函数？
(2) 求函数 y x2, x 0 的反函数．
y x,x 0
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6
例3 若函数 f(x)x2 x(x1)，求 f 1 ( 2 ) 的值．
2
f 1(2) 2
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例4
设函数 f (x) 2 x
xb
， f ( x ) 的图像与其反函数
的图像重合，求 f ( x ) 的解析式．
f (x) 2 x x 1
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互为反函数图像的关系
函数 y f (x) 与函数 y f 1 (x) 的图像关于 直线 y=x 对称． 证明如下：
在函数y=f(x)的图像上任意取一点A，设点A的坐标为(a,b)．则b=f(a)． 由反函数的定义可知：a=f -1(b)，∴点B(b,a)在函数y=f -1(x)的图像上． 而点A与点B关于直线 y=x 对称， 故函数 y=f(x)与函数 y=f -1(x)的图像关于直线 y=x 对称．
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例5
已知函数 y f(x )(x , D ,y A ,A D )， 判断 y f[f 1(x)] 与 y f 1[f (x)] 是否是同一函 数．
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小结：
(1) 反函数是函数，反函数与原函数是相对的； (2) 求反函数的三个步骤； (3) 开平方时注意符号的选择； (4) 互为反函数的图像关于直线 y=x对称； (5) 正确理解记号f -1(x)．
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例8
已知函数 yf(x)与反函数 y f 1(x) 的图像与 直线 yx2分别交于点 A (x1,y1)B ,(x2,y2)， 求 x1 x2的值．
x1 x2 2
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例9
已知函数 f (x) 2x3 ，函数 y=g(x)的图像与
x 1
函数 yf 1(x1)的图像关于直线 y=x对称，
求 g(5)的值．
函数 y f 1(x) 的图像是
y
y
y
1 O
1 1
x
（B）
y
1
O
x
1
O
x
(A)
1 (B)
1
O
1x
(C)
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(D)
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例12 已知yf(x)为奇函数，当 x0, f(x)3x 1， 设 f(x)的反函数是 yg(x)，求 g(8)的值． g(-8)=-2
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例13
函数 yf(x),x D ,y A有反函数 y f 1(x)， 当 y f 1(x) 满足什么要求时，方程 f (x) a 有解 x=0，且 f(x)x,xD？