单元四 空间力系的受力分析.ppt概论
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理论力学课件：空间力系
空间力系
空间力系
4.1 空间汇交力系 4.2 力对点之矩及力对轴之矩 4.3 空间力偶系 4.4 空间力系向一点简化 主矢与主矩 4.5 空间力系的平衡方程及应用 4.6 物体的重心 思考题
空间力系
4.1 空间汇交力系
1.力在直角坐标轴上的投影与分解 1)直接投影法(一次投影法) 在图4-1所示的直角坐标系中,已知力F 与x 轴、y 轴、z
空间力系
2.空间力偶系的合成 作用面不共面的力偶系称为空间力偶系。由于力偶矩矢 是自由矢量,故空间力偶系合成的方法与空间汇交力系相同。 即空间力偶系合成的结果是一个合力偶,合力偶矩等于各分 力矩的矢量和,即
空间力系 将式(4-16)中的矩矢分别向x,y,z 上投影,有
即合力偶矩矢在x,y,z 轴上投影等于各分力偶矩矢在相应轴 上投影的代数和。
空间力系
图4-15
空间力系
空间力系
4)空间力系简化为力螺旋 当力系向一点简化时,R'≠0,MO ≠0,且R'与MO 不垂直而成 任一角α,这是最一般的情形。将 MO 分解为分别与R'平行、 垂直的两个分量 MO//、MO⊥ ,如图4-16(a)所示。其中, MO//=MOcosα、MO⊥ =MOsinα。 MO⊥ 与R'进一步合成为作用在A 点的一个力R, OA=MOsinα/R。由于力偶矩为自由矢量,将 MO//平移到A 点 与R重合,如图4-16(c)所示。最终的简化结果为一个力R 和一 个力偶MO//。这种由一个力和在与之垂直平面内的一力偶所 组成的力系称为力螺旋。
空间力系 合力偶矩矢的大小和方向为
式(4-18)中,α、β、γ 为M 在xyz 坐标系中的方向角。
空间力系 【例4-4】 在图4-12所示的直角三棱柱上,作用着力
空间力系
4.1 空间汇交力系 4.2 力对点之矩及力对轴之矩 4.3 空间力偶系 4.4 空间力系向一点简化 主矢与主矩 4.5 空间力系的平衡方程及应用 4.6 物体的重心 思考题
空间力系
4.1 空间汇交力系
1.力在直角坐标轴上的投影与分解 1)直接投影法(一次投影法) 在图4-1所示的直角坐标系中,已知力F 与x 轴、y 轴、z
空间力系
2.空间力偶系的合成 作用面不共面的力偶系称为空间力偶系。由于力偶矩矢 是自由矢量,故空间力偶系合成的方法与空间汇交力系相同。 即空间力偶系合成的结果是一个合力偶,合力偶矩等于各分 力矩的矢量和,即
空间力系 将式(4-16)中的矩矢分别向x,y,z 上投影,有
即合力偶矩矢在x,y,z 轴上投影等于各分力偶矩矢在相应轴 上投影的代数和。
空间力系
图4-15
空间力系
空间力系
4)空间力系简化为力螺旋 当力系向一点简化时,R'≠0,MO ≠0,且R'与MO 不垂直而成 任一角α,这是最一般的情形。将 MO 分解为分别与R'平行、 垂直的两个分量 MO//、MO⊥ ,如图4-16(a)所示。其中, MO//=MOcosα、MO⊥ =MOsinα。 MO⊥ 与R'进一步合成为作用在A 点的一个力R, OA=MOsinα/R。由于力偶矩为自由矢量,将 MO//平移到A 点 与R重合,如图4-16(c)所示。最终的简化结果为一个力R 和一 个力偶MO//。这种由一个力和在与之垂直平面内的一力偶所 组成的力系称为力螺旋。
空间力系 合力偶矩矢的大小和方向为
式(4-18)中,α、β、γ 为M 在xyz 坐标系中的方向角。
空间力系 【例4-4】 在图4-12所示的直角三棱柱上,作用着力
《空间力系全》课件
2023-2026
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《空间力系全》ppt课 件
REPORTING
CATALOGUE
目 录
• 空间力系概述 • 空间力系的平衡 • 空间力系的合成与分解 • 空间力系的矩心和重心 • 空间力系的实例分析
PART 01
空间力系概述
空间力系的概念
空间力系是指作用在物体上的力 系，其作用点分布在三维空间中
空间力系平衡的条件可以通过力的合 成和分解来满足，即通过改变力的方 向或大小，使得所有力的矢量和为零 。
空间力系平衡的实例
地球同步卫星
地球同步卫星绕地球运行时，受 到地球的引力和向心力，这两个 力相互抵消，使卫星保持相对静 止在地球上空。
天平
天平两端受到的力矩和重力矩相 互抵消，使得天平保持平衡状态 。
01
空间力系平衡是指物体在空间中 受到的力相互抵消，使物体保持 相对静止或匀速直线运动的状态 。
02
空间力系平衡的概念是建立在牛 顿运动定律的基础上的，即当一 个物体受到的合外力为零时，它 将保持静止或匀速直线运动。
空间力系平衡的条件
空间力系平衡的条件是物体所受的合 外力为零。具体来说，就是空间中所 有力的矢量和为零。
监测预警
通过实时监测空间力系的变化情况，及时发现异 常情况并采取相应措施，确保工程安全。
2023-2026
END
THANKS
感谢观看
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REPORTING
定义
空间力系的重心是各质量元构成 的平行多边形的质心。
计算公式
空间力系重心的位置可以通过计 算各质量元的面积或体积，然后 求和并除以总质量，得到空间力
系重心的位置。
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《空间力系全》ppt课 件
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目 录
• 空间力系概述 • 空间力系的平衡 • 空间力系的合成与分解 • 空间力系的矩心和重心 • 空间力系的实例分析
PART 01
空间力系概述
空间力系的概念
空间力系是指作用在物体上的力 系，其作用点分布在三维空间中
空间力系平衡的条件可以通过力的合 成和分解来满足，即通过改变力的方 向或大小，使得所有力的矢量和为零 。
空间力系平衡的实例
地球同步卫星
地球同步卫星绕地球运行时，受 到地球的引力和向心力，这两个 力相互抵消，使卫星保持相对静 止在地球上空。
天平
天平两端受到的力矩和重力矩相 互抵消，使得天平保持平衡状态 。
01
空间力系平衡是指物体在空间中 受到的力相互抵消，使物体保持 相对静止或匀速直线运动的状态 。
02
空间力系平衡的概念是建立在牛 顿运动定律的基础上的，即当一 个物体受到的合外力为零时，它 将保持静止或匀速直线运动。
空间力系平衡的条件
空间力系平衡的条件是物体所受的合 外力为零。具体来说，就是空间中所 有力的矢量和为零。
监测预警
通过实时监测空间力系的变化情况，及时发现异 常情况并采取相应措施，确保工程安全。
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END
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定义
空间力系的重心是各质量元构成 的平行多边形的质心。
计算公式
空间力系重心的位置可以通过计 算各质量元的面积或体积，然后 求和并除以总质量，得到空间力
系重心的位置。
空间力系(工程力学课件)
空间力系平衡方程的应用
二、空间力系平衡方程 空间汇交力系和空间平行力系是空间任意力系的特殊情况，由式（5-10） 可推出空间汇交力系的平衡方程为
空间力系平衡方程的应用
例1 如图5.8（a）所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地 面上，而B端则用绳子CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于 x轴。已知：CE=EB=DE，α=30°，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30°(参见 图5.8（b）)，物重P=l0kN。如起重杆的重量不计，试求起重杆所受的压力和绳
Fxy在与z轴垂直的xy面内
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxyh 为代数量
即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面
上的投影对轴与平面交点之矩。
x
特殊情况：
Oh Bh A
1、力与轴平行，矩为零。
y
2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，矩为零。
力对轴之矩及合力矩定理
1. 力对轴之矩
解：
2.由合力矩定理求F轴之矩FzFx Fra bibliotekxyFy
2F M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 2 6 10606.6N m
M y (F ) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) 0 0
2F 5 8838.8N m 2
例2 图5.4（a）所示为一圆柱斜齿轮，，, 其上受啮合力F作用。已知斜齿轮 的螺旋角β和压力角α。试求啮合力F在坐标轴x、y、z的投影。
解 先将啮合力F向坐标轴z和 坐标平面Oxy投影，如图5.4（b） 所示，得
Fz F sin Fxy F cos
【材料课件】04空间力系(1)
rr M o (F ) y zFx xFz
M o F z xFy yFx
（4–5）
2.力对轴的矩
r
r
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h （4–6）
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴 的矩为零.
3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力Fr ,力 标 x, y, z
结果： F1 3000N, F2 6000N,
FAx 10004N, FAz 9397N,
FBx 3348N, FBz 1799N,
例4-10
已知： F、P及各尺寸 求： 杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
r
M AB F 0
r
M AE F 0
r
M AC F 0
例4-3
已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受 力图建坐标系如图。
由 Fx 0 FOB sin 45 FOC sin 45 0
Fy 0 FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
圆盘面O1垂直于z轴， 圆盘面O2垂直于x轴， 两盘面上作用有力偶， F1=3N，F2=5N，构件自重不计.
求:轴承A,B处的约束力.
解：取整体，受力图如图b所示.
由力偶系平衡方程
Mx 0
Mz 0
解得
F2 400 FAz 800 0
F1 400 FAx 800 0
FAx FBx 1.5N FAz FBz 2.5N
r F
在三根轴上的分力
Frx，Fry，Frz
，力
M o F z xFy yFx
（4–5）
2.力对轴的矩
r
r
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h （4–6）
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴 的矩为零.
3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力Fr ,力 标 x, y, z
结果： F1 3000N, F2 6000N,
FAx 10004N, FAz 9397N,
FBx 3348N, FBz 1799N,
例4-10
已知： F、P及各尺寸 求： 杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
r
M AB F 0
r
M AE F 0
r
M AC F 0
例4-3
已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受 力图建坐标系如图。
由 Fx 0 FOB sin 45 FOC sin 45 0
Fy 0 FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
圆盘面O1垂直于z轴， 圆盘面O2垂直于x轴， 两盘面上作用有力偶， F1=3N，F2=5N，构件自重不计.
求:轴承A,B处的约束力.
解：取整体，受力图如图b所示.
由力偶系平衡方程
Mx 0
Mz 0
解得
F2 400 FAz 800 0
F1 400 FAx 800 0
FAx FBx 1.5N FAz FBz 2.5N
r F
在三根轴上的分力
Frx，Fry，Frz
，力
静力学 空间力系ppt课件
解：
Fz 5 F
35
Fy 3 F 35
Fx 1 F 35
M z(F ) M z(F x ) M z(F y ) M z(F z)
Fx(105 0)0Fy150
10.41(Nm)
1
20
2. 空间力偶 一、力偶矩用矢量表示：
由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面的方位，所以空间力偶矩必须用 矢量表示。
显然空间力偶系的平衡条件是：
MMi 0
∵ M Mx2My2Mz2
Mx 0 ∴ My 0
Mz 0
1
27
[例3]求合力偶 z
b
h
F2
y
F1
F1
x
F2
z
M1 M2 y
x
z M y
x
M 1 F1 b M 2 F2 h1
M M12 M22
28
§6-4 空间任意力系的平衡方程
一、空间任意力系向一点的简化 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系
1
3
§6–1 工程中的空间力系问题
a
a
A
P 2P
1
a 2P
B P
4
§6-2 力在空间坐标轴上的投影 ★一次投影法（直接投影法）
由图可知：
X F cos , Y F cos , Z F cos
z Z
F
Y
X
o
y
x
1
5
★ 二次投影法（间接投影法）
当力与各轴正向夹角不易
z
确定时，可先将 F 投影到xy
z a
解：
a
F
y
a
工学工程力学空间力系PPT课件
③合成 F '1,F2 ',F3'Fn ' 得主矢 R ' 即 R'Fi 'Fi（主矢 R ' 过简化中心O，
且与O点的选择无关） 合成 m1,m2,mn 得主矩 MO 即：mO mi mO (F（i) 主矩 MO与简化中心O有关）
31
第31页/共46页
§5-5 空间一般力系简化结果的讨论
空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主 矢、主矩的不同情况分别加以讨论。
Fn
F2
M1
Fn
F2
F1
F1
F3
Mn
M2
29
第29页/共46页
①根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空间
汇交力系： F '1,F2 ',F3'F和n ' 附加力偶系
m1,m2 ,[m注n
意]
m1,m2,分m别n 是各力对O点的矩。
②由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。 30 第30页/共46页
矢量表示。
第18页/共46页
y
18
MO (F, F ') MO (F ) MO (F ') rA F rB F' (rA rB ) F
M rBA F 力偶矩矢与矩心无关
力偶矩矢的模等于三角形
ABC的面积。
力偶的转向为右手螺旋定则。
O1
从力偶矢末端看去，逆时针
转动为正。
空间力偶是一个自由矢量。
A为球铰链。
求:绳BE、BF的拉力和杆
AB的内力 解：分别研究C点和B点作 受力图
由C点：
Y 0,T1'sin15Qsin450,
第四章 空间力系(H)PPT课件
My(F) 0, Mx(F) 0, Mz(F) 0, Fx 0, Fz 0,
FR
FR
O
O
MO
左螺旋
● FR′≠ 0，MO ≠0 ，且为一般状态
FR
MO
FR Mo′ Mo′′
O
O
FR Mo′
d O1
O
MO MO cos MO MO sin
d MO MO sin
FR
FR
4. 空间任意力系简化为平衡的情形
● F′R=0，MO=0
第四章 空间力系
原力系平衡
例题 5
棱长为 a 的正方体上作用的力系如图示。则 （1）力系的主矢量； （2）主矢量在 OE 方向投影的大小； （3）力系对 AC 轴之矩； （4）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小。
2 22 22
22
Fb 4
第四章 空间力系
F
B
y
§4-3 空间力偶
空间力偶的定义:
(1) 力偶矩的大小； (2) 力偶的转向； (3) 力偶作用面的方位。
M
自由矢量
M
F
B
F
A
空间力偶的等效条件
两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。
第四章 空间力系
空间力偶系的合成与平衡 合力偶矩矢：
M=M1+M2+…+Mn=∑Mi
sin
Fz F cos
第四章 空间力系
F
F
2 x
F
2 y
F
2 z
cos( F , i ) F x F
cos( F , j ) F y
F
cos( F , k ) F z F
2. 空间汇交力系的合成与平衡条件
《空间力系》课件
研究人体结构和生物力学特 性时，空间力系的概念和方 法也是重要的工具。
总结
通过本课件的学习，我们了解了空间力系的定义和重要性，以及其组成要素、 分类、特点和应用领域。空间力系是研究物体运动和变形的基础，对科学和 工程具有重要意义。
《空间力系》PPT课件
本课件将介绍空间力系的定义、重要性和组成要素，分类为线性、平面和立 体空间力系，以及其特点和应用领域。
空间力系的定义
空间力的概念与性质以及对物体或系统的影响。它是研究空间中物体相互作用和力的传递的力学分支。
空间力系的重要性
1 理解物体行为
2 解决实际问题更好地理解物体 在力的作用下的运动和 变形。
空间力系中的力可以以不同的强度作用于物体。
3 力的合成与分解
空间力系中的多个力可以通过合成和分解来影响物体的运动和形态。
空间力系的应用
机械力学中的应用
空间力系理论在机械设计、 工程结构分析和机器运动研 究中起着重要作用。
工程中的应用
空间力系的知识被广泛应用 于各种工程项目的设计和施 工中。
生物力学中的应用
力的方向是指力的作用方向，可以是直线、 平面或空间中的任意方向。
空间力系的分类
线性空间力系
力和物体的运动方向在同 一直线上。
平面空间力系
力和物体的运动方向在同 一平面上。
立体空间力系
力和物体的运动方向不在 同一平面上。
空间力系的特点
1 方向性
空间力系具有明确的力的方向，指示物体受力的作用方向。
2 力的大小
应用空间力系的知识， 可以帮助解决工程、力 学和生物力学中的实际 问题。
空间力系的研究对于推 动科学和技术的发展具 有重要意义。
空间力系的组成要素
总结
通过本课件的学习，我们了解了空间力系的定义和重要性，以及其组成要素、 分类、特点和应用领域。空间力系是研究物体运动和变形的基础，对科学和 工程具有重要意义。
《空间力系》PPT课件
本课件将介绍空间力系的定义、重要性和组成要素，分类为线性、平面和立 体空间力系，以及其特点和应用领域。
空间力系的定义
空间力的概念与性质以及对物体或系统的影响。它是研究空间中物体相互作用和力的传递的力学分支。
空间力系的重要性
1 理解物体行为
2 解决实际问题更好地理解物体 在力的作用下的运动和 变形。
空间力系中的力可以以不同的强度作用于物体。
3 力的合成与分解
空间力系中的多个力可以通过合成和分解来影响物体的运动和形态。
空间力系的应用
机械力学中的应用
空间力系理论在机械设计、 工程结构分析和机器运动研 究中起着重要作用。
工程中的应用
空间力系的知识被广泛应用 于各种工程项目的设计和施 工中。
生物力学中的应用
力的方向是指力的作用方向，可以是直线、 平面或空间中的任意方向。
空间力系的分类
线性空间力系
力和物体的运动方向在同 一直线上。
平面空间力系
力和物体的运动方向在同 一平面上。
立体空间力系
力和物体的运动方向不在 同一平面上。
空间力系的特点
1 方向性
空间力系具有明确的力的方向，指示物体受力的作用方向。
2 力的大小
应用空间力系的知识， 可以帮助解决工程、力 学和生物力学中的实际 问题。
空间力系的研究对于推 动科学和技术的发展具 有重要意义。
空间力系的组成要素
理学空间力系
Fy F sin sin Fz F cos
力的方向: cos = Fx
F
解析表达式: F Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
cos = Fy
F
力的大小: F Fx2 Fy2 Fz2
cos = Fz
F
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16
理论力学
09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 3.空间力偶
理论力学
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。
（2）空间力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变
力偶矩矢 M rBA F
M o (F, F ) M o (F ) M o (F ) rA F rB F
4
09:39
❖§4–1空间汇交力系
理论力学
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力 FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
(3) 指向：与转向的关系服从右手螺旋定则。 或从力偶矢的末端看去，力偶的 转向为逆时针转向。
用矢量表示。
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8
09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
理论力学
15
09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 3.空间力偶
理论力学课件 第四章 空间力系
空间汇交力系的合力对任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的矢量和。
MO (FR ) MO (F1) MO (F2 )
证明:
z F1
FR
rA
F2
O
y
x
MO (FR ) rA F1 rA F2
MO (FR ) MO (F1) MO (F2 )
11
【例4-2】已知力F位于圆盘C处的切平面内，尺寸与角度如图所示，求 力F对x, y, z轴的力矩。
[M O (F )]x yFz zFy [M O (F )] y zFx xFz [M O (F )]z xFy yFx
8
4.2.2 力对轴之矩
力对轴之矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，力对轴之矩是一个 代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平 面与该轴的交点之矩，如图所示的力F对轴z的矩可表示为
解：力F在三个坐标轴上的投影为
Fx Fcos60cos30
3F 4
Fy
Fcos60sin30
1 4
F
Fz
Fsin60
3F 2
而力作用点的坐标分别为
h
x rsin30 1 r 2
y rcos30 3 r 2
zh
z B
rO
60 F Fz C Fxy
A
30Fx
y
Fxy
x
Fy
12
代入力对轴之矩计算公式，可得力对三个坐标轴的矩分别为
M z (F ) M O (Fxy ) Fxy d
z
b
F
a
O y
d
b'
x
a' Fxy
z
Fz
B
A Fx
F Fy
MO (FR ) MO (F1) MO (F2 )
证明:
z F1
FR
rA
F2
O
y
x
MO (FR ) rA F1 rA F2
MO (FR ) MO (F1) MO (F2 )
11
【例4-2】已知力F位于圆盘C处的切平面内，尺寸与角度如图所示，求 力F对x, y, z轴的力矩。
[M O (F )]x yFz zFy [M O (F )] y zFx xFz [M O (F )]z xFy yFx
8
4.2.2 力对轴之矩
力对轴之矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，力对轴之矩是一个 代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平 面与该轴的交点之矩，如图所示的力F对轴z的矩可表示为
解：力F在三个坐标轴上的投影为
Fx Fcos60cos30
3F 4
Fy
Fcos60sin30
1 4
F
Fz
Fsin60
3F 2
而力作用点的坐标分别为
h
x rsin30 1 r 2
y rcos30 3 r 2
zh
z B
rO
60 F Fz C Fxy
A
30Fx
y
Fxy
x
Fy
12
代入力对轴之矩计算公式，可得力对三个坐标轴的矩分别为
M z (F ) M O (Fxy ) Fxy d
z
b
F
a
O y
d
b'
x
a' Fxy
z
Fz
B
A Fx
F Fy
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力F对O点之矩： 大小：MO (F ) 2 5kN m
方向：设与x,y,z轴正向的
夹角分别为a,b,g cos 0.4472 cos 0.7746
cos 0.4472
思考题：如何求下图(a),(b)中力F对x轴之矩？
(a)
(b)
2.空间汇交力系的合成与平衡
a).空间汇交力系的合成
FR Xii Yi j Z ik
b).空间汇交力系的平衡 XX00
FR Fi 0 YY00
ZZ00
空间汇交力系的平衡方程
例：用轻质起重杆吊起重物如图示，A处为固定球铰链，B端用绳 子系在C、D两点，结构关于Ayz平面对称。已知，BF⊥y轴， CE=EB=ED， a=30o，P=10kN。求绳子拉力和A处的约束反力。
解： 研究AB杆与重物
i jk M0(F) r F x y z
XYZ
r xi yj zk F Xi Yj Zk
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
矩心位置不同，力矩M0(F)的大小和方向会发生变化。M0(F)为
始于矩心的定位矢量。
2.力对轴之矩
描述空间力使刚体绕某轴(z轴)的转
由力对轴之矩求力对点之矩：
MO (F ) M x (F )2 M y (F ) 2 M z (F )2
cos(MO , i)
M x (F ) MO (F )
cos(MO , j)
M y(F) MO (F )
cos(MO , k)
M z (F) MO (F )
例：图示水平圆盘半径为r=1m，绕z轴
2.力沿直角坐标轴的分解
F Fxy Fz Fx Fy Fz
直角坐标系中
Fx Xi Fy Yj F Xi Yj Zk
Fz Zk
F X2 Y2 Z2
cos(F , i) X , cos(F , j) Y , cos(F , k) Z
F
F
F
例：求图示手柄上的力F 在三个坐标轴上的投影
Fz 0,
FCZ 1120 N
同时承受弯矩、扭矩、剪力 和轴力作用的圆轴
作业：74 3.1、3.9（b）
解得： FA 8.66kN, FC FD 3.54kN
任务提示
y
5400N
FDz
x
MCZ 0, FCz z FCy
FDy DC 5400 N BC 0
MCY 0,
5400 AC FDZ DC 0
FDy
FDy 1800 N
FDZ 6520 N
Fy 0,
FCy 3600 N
Z F sin Fxy F cos
X F cos sin Y F cos cos
§5-2 力对点之矩和力对轴之矩 1.力对点之矩
描述空间力使刚体绕某点的转动效果。
()
矢量，记作： M0 (F )
作用面：矩心与力的作用线决定的平面；
(
)
大 小：M0(F) Fh 2OAB r F 方 向： 作用面法线，r×F方向
转动，力F=4kN在与圆盘外缘相切
的铅垂面内，h=1m，求力F对O点
解之：矩力。F的作用位置：
x r , y 3r , z h
2
2
力F在坐标轴上的投影：
X力 F对34F坐, 标Y 轴 之F4矩, ：Z
3F 2
M x (F ) yZ zY 2kN m M y (F ) zX xZ 2 3kN m M z (F ) xY yX 2kN m
z0 F在坐标轴上的投影：
X F cos sin Y F cos cos Z F sin
M x (F ) yZ zY 2lF sin M y (F ) zX xZ lF sin Mz (F) xY yX lF cos(cos 2sin )
3.力对点之矩和力对通过该点的轴之矩的关系
MO (F) ( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
MO (F )x ( yZ zY ) M x (F )
()
()
MO (F)y (zX xZ) M y (F)
MO (F )z (xY yX ) M z (F )
结论：力对点的矩矢在通过该点的某轴上 的投影等于力对该轴之矩。
单元四 空间力系
任务：求轴承C、D处的约束反力
空间力系
车 床 主 轴
手摇钻
飞行的飞机
§5-1 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解 1.力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
X F cos Y F cos Z F cos
二次投影法
Fxy F sin X Fxy cos F sin cos Y Fxy sin F sin sin
受力分析，画受力图
列平衡方程
力
投影
FA
FC
FD
P
X
0
FC sin 45
- FD sin 45 0
Y FA sin - FC cos 45cos - FD cos 45cos 0
Z FA cos FC cos 45sin FD cos 45sin P
X 0, FC sin 45 FD sin 45 0 Y 0, FA sin FC cos 45cos FD cos 45cos 0 Z 0, FA cos FC cos 45sin FD cos 45sin P 0
FR
F1
F2
Fn
n
Fi
i 1
FRx Xi FRy Yi FRz Zi
FR X 2 Y 2 Z 2
cos(FR , i)
X FR
,
cos(FR ,
j)
Y FR
,
cos(FR , k)
Z FR
结论：空间汇交力系的合成结果为一合力，其合力等于各分力的
矢量和，合力作用线通过汇交点。
动效果。
代数量，记作： M z (F )
M z (F ) M z (Fxy ) M O (Fxy )
Fxyb
M x (F ) yZ zY
M y (F ) zX xZ
注意：力对点之矩和力对轴之矩的解析表达式 用于右标轴之矩
x l F作用点: y 2l
方向：设与x,y,z轴正向的
夹角分别为a,b,g cos 0.4472 cos 0.7746
cos 0.4472
思考题：如何求下图(a),(b)中力F对x轴之矩？
(a)
(b)
2.空间汇交力系的合成与平衡
a).空间汇交力系的合成
FR Xii Yi j Z ik
b).空间汇交力系的平衡 XX00
FR Fi 0 YY00
ZZ00
空间汇交力系的平衡方程
例：用轻质起重杆吊起重物如图示，A处为固定球铰链，B端用绳 子系在C、D两点，结构关于Ayz平面对称。已知，BF⊥y轴， CE=EB=ED， a=30o，P=10kN。求绳子拉力和A处的约束反力。
解： 研究AB杆与重物
i jk M0(F) r F x y z
XYZ
r xi yj zk F Xi Yj Zk
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
矩心位置不同，力矩M0(F)的大小和方向会发生变化。M0(F)为
始于矩心的定位矢量。
2.力对轴之矩
描述空间力使刚体绕某轴(z轴)的转
由力对轴之矩求力对点之矩：
MO (F ) M x (F )2 M y (F ) 2 M z (F )2
cos(MO , i)
M x (F ) MO (F )
cos(MO , j)
M y(F) MO (F )
cos(MO , k)
M z (F) MO (F )
例：图示水平圆盘半径为r=1m，绕z轴
2.力沿直角坐标轴的分解
F Fxy Fz Fx Fy Fz
直角坐标系中
Fx Xi Fy Yj F Xi Yj Zk
Fz Zk
F X2 Y2 Z2
cos(F , i) X , cos(F , j) Y , cos(F , k) Z
F
F
F
例：求图示手柄上的力F 在三个坐标轴上的投影
Fz 0,
FCZ 1120 N
同时承受弯矩、扭矩、剪力 和轴力作用的圆轴
作业：74 3.1、3.9（b）
解得： FA 8.66kN, FC FD 3.54kN
任务提示
y
5400N
FDz
x
MCZ 0, FCz z FCy
FDy DC 5400 N BC 0
MCY 0,
5400 AC FDZ DC 0
FDy
FDy 1800 N
FDZ 6520 N
Fy 0,
FCy 3600 N
Z F sin Fxy F cos
X F cos sin Y F cos cos
§5-2 力对点之矩和力对轴之矩 1.力对点之矩
描述空间力使刚体绕某点的转动效果。
()
矢量，记作： M0 (F )
作用面：矩心与力的作用线决定的平面；
(
)
大 小：M0(F) Fh 2OAB r F 方 向： 作用面法线，r×F方向
转动，力F=4kN在与圆盘外缘相切
的铅垂面内，h=1m，求力F对O点
解之：矩力。F的作用位置：
x r , y 3r , z h
2
2
力F在坐标轴上的投影：
X力 F对34F坐, 标Y 轴 之F4矩, ：Z
3F 2
M x (F ) yZ zY 2kN m M y (F ) zX xZ 2 3kN m M z (F ) xY yX 2kN m
z0 F在坐标轴上的投影：
X F cos sin Y F cos cos Z F sin
M x (F ) yZ zY 2lF sin M y (F ) zX xZ lF sin Mz (F) xY yX lF cos(cos 2sin )
3.力对点之矩和力对通过该点的轴之矩的关系
MO (F) ( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
MO (F )x ( yZ zY ) M x (F )
()
()
MO (F)y (zX xZ) M y (F)
MO (F )z (xY yX ) M z (F )
结论：力对点的矩矢在通过该点的某轴上 的投影等于力对该轴之矩。
单元四 空间力系
任务：求轴承C、D处的约束反力
空间力系
车 床 主 轴
手摇钻
飞行的飞机
§5-1 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解 1.力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
X F cos Y F cos Z F cos
二次投影法
Fxy F sin X Fxy cos F sin cos Y Fxy sin F sin sin
受力分析，画受力图
列平衡方程
力
投影
FA
FC
FD
P
X
0
FC sin 45
- FD sin 45 0
Y FA sin - FC cos 45cos - FD cos 45cos 0
Z FA cos FC cos 45sin FD cos 45sin P
X 0, FC sin 45 FD sin 45 0 Y 0, FA sin FC cos 45cos FD cos 45cos 0 Z 0, FA cos FC cos 45sin FD cos 45sin P 0
FR
F1
F2
Fn
n
Fi
i 1
FRx Xi FRy Yi FRz Zi
FR X 2 Y 2 Z 2
cos(FR , i)
X FR
,
cos(FR ,
j)
Y FR
,
cos(FR , k)
Z FR
结论：空间汇交力系的合成结果为一合力，其合力等于各分力的
矢量和，合力作用线通过汇交点。
动效果。
代数量，记作： M z (F )
M z (F ) M z (Fxy ) M O (Fxy )
Fxyb
M x (F ) yZ zY
M y (F ) zX xZ
注意：力对点之矩和力对轴之矩的解析表达式 用于右标轴之矩
x l F作用点: y 2l