运筹学基础复习一(09-05-21)
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4 8 12
x2
无可行解： 无可行解：
3x1 +4 x2 =36
六、线性规划单纯形法 线性规划单纯形法
利用ＥＸＣＥＬ求解 利用ＥＸＣＥＬ求解 ＥＸＣＥＬ
单纯形法小结
1.根据实际问题给出数学模型，列出初始单纯形表，进行标准化 根据实际问题给出数学模型，列出初始单纯形表，
变 量 xj≥0 xj≤0 xj无约束 b≥ 0 b<0 ≤ = ≥ max z min z 加入变量的系数 松驰变量xsi 人工变量xai 不需要处理 令xj'=-xj；xj'≥0 令xj=-xj'-xj''；xj'、xj''≥0 不需要处理 约束条件两端同乘-1 加松驰变量xsi 加人工变量xai 减去剩余变量xsi，加人工变量xai 不需要处理 令z'=-z ,求max z' 0 -M
则该问题的数学模型表示为
max z = 2 x1 + 3 x 2 + x 3 1 1 1 3 3 x1 + 13 3 x 2 + 26 3 x 3 = 30000 1 1 1 x2 + x 3 = 100 x1 + 30 30 30 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0
产品 车间 A B C 单位产品获利
工时单耗 甲 乙 1 0 3 3 0 2 4 5
生产能力 8 12 36
建立模型： 建立模型：
(1)决策变量: (1)决策变量
要决策的问题是甲、乙两种产品的产量，因此有两个决策变量： 设x1为甲产品产量，x2为乙产品产量。
(2)约束条件 (2)约束条件 :
生产这两种产品受到现有生产能力的制约，用量不能突破。 则A车间的能力约束条件表述为
原问题(maxZ)口诀 原问题(maxZ)口诀: 变量决定约束是同号 口诀:
约 m 个 束 ≥ 条 ≤ 件 =
变 量 无约束 m个 ≤0 ≥0
原问题(maxZ)口诀 原问题(maxZ)口诀: 约束决定变量是反号 口诀:
原问题(minS) 与对偶之关系 与对偶之关系： 原问题
例.配比问题
某养鸡场所用的混合饲料是由 n 种配料组成。要求这种混合饲 料必须含有 m 种不同的营养成份，而且要求每单位混合饲料中第 i 种营养成份的含量不能低于 bi ( i= 1,2, …, m）。已知第 i 种营养成 份在每单位的第 j 种配料中的含量为 aij , j = 1,2, …, n，每单位的第 j 种配料的价格为 cj 。现在要求在保证营养条件的前提下，应采用何 种配方，使混合饲料的成本最小. 配料
右端常数项 决策变量非负 非负
b i≥ 0
x1,x2,…,xn ≥0
（二）非标准型向标准型转化
目标函数极小化问题 minZ=CTX
只需将等式两端乘以-1即变为极大化 变为极大化问题。因为minZ=–max(–Z)=CTX， 变为极大化 令Z′= -Z，则 maxZ′= – CTX
约束条件中右端常数项非正 约束条件中右端常数项非正
一、线性规划 线性规划
基本运算
线性规划建模（是否是整数规划、0－1规划需要自己判定， 并加上相应约束条件）、线性规划的图解法、线性规划（包括整 数规划、0-1规划）的EXCEL求解、求线性规划的对偶问题 二、运输问题 运输问题 产销平衡、产大于销、产小于销的含义及解决方法、给出运 输问题的初始方案（三种）、会判定是否最优、会求改进路线、 改进量、会利用EXCEL求最优解 三、图论 图论 会求最小枝杈树、从起点到终点的最短路线（可利用 EXCEL）、会求网络的最大流量（可用EXCEL） 四、库存管理 库存管理 会求经济批量、会判定折扣方案的优劣
Am 价格
am1 am2 … c1 c2 …
设xj 表示在单位混合饲料中，第j 种配料的含量（ j =1,2,…,n）则有如下的数学模型：
MinZ=c MinZ=c1x1 + c2x2 + … + cnxn
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≥ b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≥ b2 …… am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≥ bm x1 ≥0, x2 ≥0 ,… , xn≥0
营养成份
B1
B2
…
Bn
含量 b1 b2 bm
A1 A2
…
a11 a21
a12 a22
… …
a1n a2n amn cn
Am 销量
am1 am2 … c1 c2 …
配料 营养成份 A1 A2
…
B1 a11 a21
B2 a12 a22
… … …
Bn a1n a2n amn cn
含量 b1 b2 bm
建立模型： 建立模型：
为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式，非标 准型可以转化为标准型计算
（一）标准形式
标准形式为： 标准形式为：
目标函数最大化 最大化
maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a21x1+a22x2+…+a2nxn ＝b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn＝bm
约束条件为等式， a11x1+a12x2+…+a1nxn ＝b1 等式， 等式
若资料为百分比，则变量也可设为百分比，但要满足：
x 1 + x 2 + … + x n＝ １
三、线性规划问题的标准形式
线性规划问题的数学模型有各种不同的形式，如
目标函数有极大化 极小化 极大化和极小化 极大化 极小化； 约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况； ≤ ≥ ＝ 决策变量一般有非负性 非负性要求，有的则没有。 非负性
4 8 12
0
x1
3x1 +4 x2 =36
Βιβλιοθήκη Baidu
等值线：位于同一直线上的点的目标函数值相同。 最优解：可行解中使目标函数最优(极大或极小)的解 本题中：满足目标函数最大的极点是离原点距离最远的点（4,6）
３. 解的几种可能性
唯一最优解： 唯一最优解：只有一个最优点。在可行域的一个顶点处达到 多重最优解： 多重最优解：无穷多个最优解。若在两个顶点同时得到最优解， 则它们连线上的每一点都是最优解。 如例1的数学模型变为 如例 的数学模型变为 9 maxZ= 3x1 +4 x2 x1 =8 C(4,6) x1 ≤8 6 D 2x2 =12 2x2 ≤12 S.t. B Z=36 3 3x1 +4 x2 ≤36 Z=24 Z=12 x1 ≥0, x2 ≥0 A 0 x1 无界解： 无界解：
原问题 目标函数min 目标函数 对偶问题 目标函数max 目标函数
n个 变 ≥ 0 量 ≤ 0 无约束 约 m 个 束 ≥ 条 ≤ 件 =
两端同乘以 -1
约束条件为不等式
当约束方程为“≤”时，左端加入一个非负的松弛变量 松弛变量，就把不 松弛变量 等式变成了等式； 当约束条件为“≥”时，不等式左端减去一个非负的剩余变量 剩余变量， 剩余变量 就把不等式变成了等式。
决策变量x 决策变量xk没有非负性要求
令xk=xk‘-xk〃， 其中令xk′，xk〃 ≥0，用xk′、xk〃 取代模型中xk
约 束 条 件
目 标 函 数
第二章 线性规划的对偶理论
任一线性规划 线性规划问题都存在另一与之伴随的线性规划问 线性规划 题是，他们从不同角度对一个实际问题是提出并描述，组 成一对互惠为对偶的线性规划问题。
一、原问题与对偶问题的对应关系
(1) 一个问题中的约束条件个数 约束条件个数等于另一个问题的变量数 变量数。 约束条件个数 变量数 (2) 一个问题的目标函数中的系数 目标函数中的系数是另外一个问题中约束不等式 目标函数中的系数 约束不等式 的右端项。 的右端项 (3) 约束条件在一个问题是“≤”，在另一个问题是“≥”。 “ ” “ ” (4) 目标在一个问题是求极小 求极小，在另一个问题是求极大 求极大。 求极小 求极大
基本概念
一、线性规划 线性规划 线性规划的三个要素、线性规划化标准型的要求、图解法、 单纯型法判定最优的条件、松驰变量、剩余变量、人工变量、解 的情况、线性规划的对偶理论、原问题与对偶问题解的关系 二、运输问题 运输问题 运输问题的初始方案、改进路线、改进指数、检验数、 最优方案的判定标准、改进方法、产销不平衡的处理方法 三、图论 图论 图及图元素、最小枝杈树及寻求方法、增广链、容量、 流量、截集及截集容量、饱和弧 四、库存管理 ABC管理法、经济批量、安全库存
二、线性规划模型的构建
例1. 生产计划问题 某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间 生产，最后都需在C车间装配，相关数据如表所示：
产品 车间 A B C 单位产品获利 工时单耗 甲 乙 1 0 3 3 0 2 4 5 生产能力 8 12 36
问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。
甲乙产品的产量不应是负数，否则没有实际意义，这个要求表 述为
x1 ≥0， x2 ≥0 则该问题的数学模型表示为
maxZ= 3x1 +5 x2 ≤8 2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0 x1
目标函数
约束条件
例2. 最大利润问题
某文教用品厂利用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练 习本三种产品。该厂现有工人100人，每天白坯纸供应限量为3 万kg，如果单独生产各种产品时，每个工人每天生产原稿纸30 捆，或日记本30打，或练习本30箱。已知原材料消耗为：每捆 原稿纸用白坯纸3(1/3)，每打日记本用白坯纸13(1/3)，每箱练 习本用白坯纸26(2/3)。又知每生产一捆原稿纸可盈利2元，每 生产一打日记本可盈利3元，每生产一箱练习本可盈利1元。试 决定：在现有生产条件下工厂盈利最大的生产方案。 （要求：建模并利用EXCEL求解） 提示：设每天生产原稿纸x1捆，日记本x2 打，练习本x3箱
2. 最优解的确定
确定x1、x2希望目标函数 Z= 3x1 +5 x2达到最大，图形中Z= 3x1 +5 x2
x2 代表以Z为参数的一族平行线，即等值线。
9
x1 =8
6
D
C(4,6)
即x1=4，x2=6时
2x2 =12
Z的值最大为42。 C(4,6)为最优解 C(4,6)为最优解
3
B(8,3) Z=39 Z=42 A
四、线性规划问题的图解法
图解法即是用图示的方法来求解线性规划问题。图解法 图解法 简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。适用 于两个决策变量的线性规划问题
1. 可行域 的确定
满足所有约束条件的解叫可行解，解的集合称之为可行域 可行域。即所有 可行域 x2 约束条件共同围成的区域。
例1的数学模型为： 的数学模型为：
第一章 线性规划
线性规划是一种合理利用资源、合理调配资源的应用数学方法。 线性规划
一、线性规划问题的三个要素
决策变量 是指实际系统或决策问题中有待确定的因素，是系统中的可控因素。 目标函数 是决策者对决策问题目标的数学描述。如时间最省、利润最大、 成本最低。 目标函数是决策变量的线性函数。 约束条件 任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限制条件表示为 一组等式或不等式，称之为约束条件 约束条件。 约束条件 约束条件的基本类型：大于等于“≥”、等于“＝”、小于等于 “≤”
下列的表给出了原问题模型和模型的对应关系，这些也可以 看作是一个线性规划原问题转化为对偶问题的一般规律。
原问题(maxZ)与对偶之关系 与对偶之关系： 原问题 与对偶之关系
原问题 目标函数max 目标函数 对偶问题 目标函数min 目标函数
n个 约 ≥ 束 ≤ 条 = 件
n个 变 ≥ 0 量 ≤ 0 无约束
maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
9
x1 =8
6
D
C(4,6)
2x2 =12 B A x1
3
0
4
8
12
3x1 +4 x2 =36
五边形OABCD内(含边界)的任意一点 (x1，x2) 都是满足所有约 束条件的一个解，称之可行解 。 可行解
x1
≤8
同理，B和C车间能力约束条件为
2x2 ≤12 12 3x1 +4 x2 ≤36
产品 车间 A B C
工时单耗 甲 乙 1 0 3 3 0 2 4 5
生产能力 8 12 36
(3)目标函数 : (3)目标函数
单位产品获利
目标是利润最大化，用Z表示利润，则
maxZ= 3x1 +5 x2 (4)非负约束 (4)非负约束:
x2
无可行解： 无可行解：
3x1 +4 x2 =36
六、线性规划单纯形法 线性规划单纯形法
利用ＥＸＣＥＬ求解 利用ＥＸＣＥＬ求解 ＥＸＣＥＬ
单纯形法小结
1.根据实际问题给出数学模型，列出初始单纯形表，进行标准化 根据实际问题给出数学模型，列出初始单纯形表，
变 量 xj≥0 xj≤0 xj无约束 b≥ 0 b<0 ≤ = ≥ max z min z 加入变量的系数 松驰变量xsi 人工变量xai 不需要处理 令xj'=-xj；xj'≥0 令xj=-xj'-xj''；xj'、xj''≥0 不需要处理 约束条件两端同乘-1 加松驰变量xsi 加人工变量xai 减去剩余变量xsi，加人工变量xai 不需要处理 令z'=-z ,求max z' 0 -M
则该问题的数学模型表示为
max z = 2 x1 + 3 x 2 + x 3 1 1 1 3 3 x1 + 13 3 x 2 + 26 3 x 3 = 30000 1 1 1 x2 + x 3 = 100 x1 + 30 30 30 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0
产品 车间 A B C 单位产品获利
工时单耗 甲 乙 1 0 3 3 0 2 4 5
生产能力 8 12 36
建立模型： 建立模型：
(1)决策变量: (1)决策变量
要决策的问题是甲、乙两种产品的产量，因此有两个决策变量： 设x1为甲产品产量，x2为乙产品产量。
(2)约束条件 (2)约束条件 :
生产这两种产品受到现有生产能力的制约，用量不能突破。 则A车间的能力约束条件表述为
原问题(maxZ)口诀 原问题(maxZ)口诀: 变量决定约束是同号 口诀:
约 m 个 束 ≥ 条 ≤ 件 =
变 量 无约束 m个 ≤0 ≥0
原问题(maxZ)口诀 原问题(maxZ)口诀: 约束决定变量是反号 口诀:
原问题(minS) 与对偶之关系 与对偶之关系： 原问题
例.配比问题
某养鸡场所用的混合饲料是由 n 种配料组成。要求这种混合饲 料必须含有 m 种不同的营养成份，而且要求每单位混合饲料中第 i 种营养成份的含量不能低于 bi ( i= 1,2, …, m）。已知第 i 种营养成 份在每单位的第 j 种配料中的含量为 aij , j = 1,2, …, n，每单位的第 j 种配料的价格为 cj 。现在要求在保证营养条件的前提下，应采用何 种配方，使混合饲料的成本最小. 配料
右端常数项 决策变量非负 非负
b i≥ 0
x1,x2,…,xn ≥0
（二）非标准型向标准型转化
目标函数极小化问题 minZ=CTX
只需将等式两端乘以-1即变为极大化 变为极大化问题。因为minZ=–max(–Z)=CTX， 变为极大化 令Z′= -Z，则 maxZ′= – CTX
约束条件中右端常数项非正 约束条件中右端常数项非正
一、线性规划 线性规划
基本运算
线性规划建模（是否是整数规划、0－1规划需要自己判定， 并加上相应约束条件）、线性规划的图解法、线性规划（包括整 数规划、0-1规划）的EXCEL求解、求线性规划的对偶问题 二、运输问题 运输问题 产销平衡、产大于销、产小于销的含义及解决方法、给出运 输问题的初始方案（三种）、会判定是否最优、会求改进路线、 改进量、会利用EXCEL求最优解 三、图论 图论 会求最小枝杈树、从起点到终点的最短路线（可利用 EXCEL）、会求网络的最大流量（可用EXCEL） 四、库存管理 库存管理 会求经济批量、会判定折扣方案的优劣
Am 价格
am1 am2 … c1 c2 …
设xj 表示在单位混合饲料中，第j 种配料的含量（ j =1,2,…,n）则有如下的数学模型：
MinZ=c MinZ=c1x1 + c2x2 + … + cnxn
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≥ b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≥ b2 …… am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≥ bm x1 ≥0, x2 ≥0 ,… , xn≥0
营养成份
B1
B2
…
Bn
含量 b1 b2 bm
A1 A2
…
a11 a21
a12 a22
… …
a1n a2n amn cn
Am 销量
am1 am2 … c1 c2 …
配料 营养成份 A1 A2
…
B1 a11 a21
B2 a12 a22
… … …
Bn a1n a2n amn cn
含量 b1 b2 bm
建立模型： 建立模型：
为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式，非标 准型可以转化为标准型计算
（一）标准形式
标准形式为： 标准形式为：
目标函数最大化 最大化
maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a21x1+a22x2+…+a2nxn ＝b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn＝bm
约束条件为等式， a11x1+a12x2+…+a1nxn ＝b1 等式， 等式
若资料为百分比，则变量也可设为百分比，但要满足：
x 1 + x 2 + … + x n＝ １
三、线性规划问题的标准形式
线性规划问题的数学模型有各种不同的形式，如
目标函数有极大化 极小化 极大化和极小化 极大化 极小化； 约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况； ≤ ≥ ＝ 决策变量一般有非负性 非负性要求，有的则没有。 非负性
4 8 12
0
x1
3x1 +4 x2 =36
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等值线：位于同一直线上的点的目标函数值相同。 最优解：可行解中使目标函数最优(极大或极小)的解 本题中：满足目标函数最大的极点是离原点距离最远的点（4,6）
３. 解的几种可能性
唯一最优解： 唯一最优解：只有一个最优点。在可行域的一个顶点处达到 多重最优解： 多重最优解：无穷多个最优解。若在两个顶点同时得到最优解， 则它们连线上的每一点都是最优解。 如例1的数学模型变为 如例 的数学模型变为 9 maxZ= 3x1 +4 x2 x1 =8 C(4,6) x1 ≤8 6 D 2x2 =12 2x2 ≤12 S.t. B Z=36 3 3x1 +4 x2 ≤36 Z=24 Z=12 x1 ≥0, x2 ≥0 A 0 x1 无界解： 无界解：
原问题 目标函数min 目标函数 对偶问题 目标函数max 目标函数
n个 变 ≥ 0 量 ≤ 0 无约束 约 m 个 束 ≥ 条 ≤ 件 =
两端同乘以 -1
约束条件为不等式
当约束方程为“≤”时，左端加入一个非负的松弛变量 松弛变量，就把不 松弛变量 等式变成了等式； 当约束条件为“≥”时，不等式左端减去一个非负的剩余变量 剩余变量， 剩余变量 就把不等式变成了等式。
决策变量x 决策变量xk没有非负性要求
令xk=xk‘-xk〃， 其中令xk′，xk〃 ≥0，用xk′、xk〃 取代模型中xk
约 束 条 件
目 标 函 数
第二章 线性规划的对偶理论
任一线性规划 线性规划问题都存在另一与之伴随的线性规划问 线性规划 题是，他们从不同角度对一个实际问题是提出并描述，组 成一对互惠为对偶的线性规划问题。
一、原问题与对偶问题的对应关系
(1) 一个问题中的约束条件个数 约束条件个数等于另一个问题的变量数 变量数。 约束条件个数 变量数 (2) 一个问题的目标函数中的系数 目标函数中的系数是另外一个问题中约束不等式 目标函数中的系数 约束不等式 的右端项。 的右端项 (3) 约束条件在一个问题是“≤”，在另一个问题是“≥”。 “ ” “ ” (4) 目标在一个问题是求极小 求极小，在另一个问题是求极大 求极大。 求极小 求极大
基本概念
一、线性规划 线性规划 线性规划的三个要素、线性规划化标准型的要求、图解法、 单纯型法判定最优的条件、松驰变量、剩余变量、人工变量、解 的情况、线性规划的对偶理论、原问题与对偶问题解的关系 二、运输问题 运输问题 运输问题的初始方案、改进路线、改进指数、检验数、 最优方案的判定标准、改进方法、产销不平衡的处理方法 三、图论 图论 图及图元素、最小枝杈树及寻求方法、增广链、容量、 流量、截集及截集容量、饱和弧 四、库存管理 ABC管理法、经济批量、安全库存
二、线性规划模型的构建
例1. 生产计划问题 某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间 生产，最后都需在C车间装配，相关数据如表所示：
产品 车间 A B C 单位产品获利 工时单耗 甲 乙 1 0 3 3 0 2 4 5 生产能力 8 12 36
问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。
甲乙产品的产量不应是负数，否则没有实际意义，这个要求表 述为
x1 ≥0， x2 ≥0 则该问题的数学模型表示为
maxZ= 3x1 +5 x2 ≤8 2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0 x1
目标函数
约束条件
例2. 最大利润问题
某文教用品厂利用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练 习本三种产品。该厂现有工人100人，每天白坯纸供应限量为3 万kg，如果单独生产各种产品时，每个工人每天生产原稿纸30 捆，或日记本30打，或练习本30箱。已知原材料消耗为：每捆 原稿纸用白坯纸3(1/3)，每打日记本用白坯纸13(1/3)，每箱练 习本用白坯纸26(2/3)。又知每生产一捆原稿纸可盈利2元，每 生产一打日记本可盈利3元，每生产一箱练习本可盈利1元。试 决定：在现有生产条件下工厂盈利最大的生产方案。 （要求：建模并利用EXCEL求解） 提示：设每天生产原稿纸x1捆，日记本x2 打，练习本x3箱
2. 最优解的确定
确定x1、x2希望目标函数 Z= 3x1 +5 x2达到最大，图形中Z= 3x1 +5 x2
x2 代表以Z为参数的一族平行线，即等值线。
9
x1 =8
6
D
C(4,6)
即x1=4，x2=6时
2x2 =12
Z的值最大为42。 C(4,6)为最优解 C(4,6)为最优解
3
B(8,3) Z=39 Z=42 A
四、线性规划问题的图解法
图解法即是用图示的方法来求解线性规划问题。图解法 图解法 简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。适用 于两个决策变量的线性规划问题
1. 可行域 的确定
满足所有约束条件的解叫可行解，解的集合称之为可行域 可行域。即所有 可行域 x2 约束条件共同围成的区域。
例1的数学模型为： 的数学模型为：
第一章 线性规划
线性规划是一种合理利用资源、合理调配资源的应用数学方法。 线性规划
一、线性规划问题的三个要素
决策变量 是指实际系统或决策问题中有待确定的因素，是系统中的可控因素。 目标函数 是决策者对决策问题目标的数学描述。如时间最省、利润最大、 成本最低。 目标函数是决策变量的线性函数。 约束条件 任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限制条件表示为 一组等式或不等式，称之为约束条件 约束条件。 约束条件 约束条件的基本类型：大于等于“≥”、等于“＝”、小于等于 “≤”
下列的表给出了原问题模型和模型的对应关系，这些也可以 看作是一个线性规划原问题转化为对偶问题的一般规律。
原问题(maxZ)与对偶之关系 与对偶之关系： 原问题 与对偶之关系
原问题 目标函数max 目标函数 对偶问题 目标函数min 目标函数
n个 约 ≥ 束 ≤ 条 = 件
n个 变 ≥ 0 量 ≤ 0 无约束
maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
9
x1 =8
6
D
C(4,6)
2x2 =12 B A x1
3
0
4
8
12
3x1 +4 x2 =36
五边形OABCD内(含边界)的任意一点 (x1，x2) 都是满足所有约 束条件的一个解，称之可行解 。 可行解
x1
≤8
同理，B和C车间能力约束条件为
2x2 ≤12 12 3x1 +4 x2 ≤36
产品 车间 A B C
工时单耗 甲 乙 1 0 3 3 0 2 4 5
生产能力 8 12 36
(3)目标函数 : (3)目标函数
单位产品获利
目标是利润最大化，用Z表示利润，则
maxZ= 3x1 +5 x2 (4)非负约束 (4)非负约束: