2018高考新课标数学文二轮专题复习课件：专题六第1讲统计与统计案例 精品

1．抽样方法
抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样， 三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性， 但又各有其特点和适用范围．
在系统抽样，如果遇到Nn 不是整数的情况，可以先从 总体中随机剔除几个个体，使得总体中剩余的个体能被 样本容量整除．
2．统计中的四个数据特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据． (2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于 最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个 数据的平均数作为中位数．
角度 1 茎叶图与样本的数字特征
[例 2－1] (2016·广州调研)为比较甲、乙两地某月 14 时的气温情况，随机选取该月中的 5 天，将这 5 天中 14 时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑 以下结论：
①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平 均气温；
②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平 均气温；
(2)(2016·江苏卷)已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4， 5.5，则该组数据的方差是________．
解：(1)由频率分布直方图，该市居民该月用水量在 区间[0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]内的 频率依次为 0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.
频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为： 4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17 ×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．
角度 2 用样本的频率分布估计总体分布
解：(1)频率分布直方图如图．
(2) 质 量 指 标 值 的 样 本 平 均 数 为 －x ＝ 80×0.06 ＋ 90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为 s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2 ×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
D．23
解析：由茎叶图可知这组数据由小到大依次为 8，9， 12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，所以中位数
20＋20 为 2 ＝20.
答案：B
3．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与 年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统 计数据表：
10. 11. 11. 收入x(万元) 8.2 8.6
5．独立性检验
对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量 X 和 Y， 其样本频数列联表是：
Y y1 y2 总计
X
x1
a b a＋b
x2
c d c＋d
总计 a＋c b＋d n
则 K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d）(其中 n ＝a＋b＋c＋d 为样本容量)．
③甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差；
④甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 解析：甲地 5 天的气温为：26，28，29，31，31，
其平均数为－x 甲＝26＋28＋259＋31＋31＝29； 方差为 s2甲＝15[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31 －29)2＋(31－29)2]＝3.6；
(2)某班级有 50 名学生，现要利用系统抽样在这 50 名学生中抽出 10 名学生，将这 50 名学生随机编号 1～50 号，并分组，第一组 1～5 号，第二组 6～10 号，…，第 十组 46～50 号，若在第三组中抽得号码为 13 的学生，则 在第八组中抽得号码为________的学生．
解析：(1)设男生抽取 x 人，则有94050＝900－x 400， 解得 x＝25. (2)∵13＝5×2＋3，即第三组抽出的是第三名学生， 所以每一组都相应抽出第三名学生，∴在第八组中抽得号 码为 5×7＋3＝38 的学生． 答案：(1)25 (2)38
(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴 的直线与横轴交点的横坐标．
(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
[变式训练 2] (1)(2015·广东卷)已知样本数据 x1， x2，…，xn 的均值－x ＝5，则样本数据 2x1＋1，2x2＋1，…， 2xn＋1 的均值为________．
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即 －x ＝n1(x1＋x2＋…＋xn)． (4)方差与标准差． 方差：s2＝n1[(x1－－x )2＋(x2－－x )2＋…＋(xn－－x )2]． 标准差：
s＝ n1[（x1－－x ）2＋（x2－－x ）2＋…＋（xn－－x ）2]
3．直方图的两个结论
频率 (1)小长方形的面积＝组距×组距＝频率． (2)各小长方形的面积之和等于 1. 4．回归直线^y＝^bx＋^a经过样本点的中心点(－x ，－y )， 若 x 取一个值代入回归直线方程^y＝^bx＋^a中，可求出 y 的估计值．
答案：B
[规律方法] 1.平均数与方差都是重要的数字特征， 是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有着重要的 实际意义．平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势， 方差和标准差描述数据的波动大小．
2．众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系： (1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的 横坐标．
[例 1] (1)(2015·北京卷)某校老年、中年和青年教师 的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状 况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的 老年教师人数为( )
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1 800
青年教师 1 600
合计 4 300
A.90
B．100
C．180
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 解析：因为男女视力情况差异不大，但学段的视力情 况有较大差异，所以应按学段分层抽样． 答案：C
2．(2015·重庆卷)重庆市 2013 年各月的平均气温(℃) 数据的茎叶图如下图，则这组数据的中位数是( )
A.19
B．20
C．21.5
2．分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层， 实质是等比例抽样．分层抽样中分多少层、如何分层要视 具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之 间的样本差异要大，且互不重叠．
[变式训练 1] (1)某校高一年级有 900 名学生，其中
女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学 生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为 ________．
解：(1)由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0， 0.5)的频率为 0.08×0.5＝0.04.
同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5， 4)，[4，4.5)组的频率分别为 0.08，0.21，0.25，0.06，0.04， 0.02.
由 1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝ 0.5×a＋0.5×a.
[例 2－2] (2016·四川卷)我国是世界上严重缺水的 国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况 进行了调查．通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月 均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…， [4，4.5]分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中 a 的值； (2)设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量 不低于 3 吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数．
D．300
(2)(2016·长沙雅礼中学质检)在一次马拉松比赛中， 35 名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为 1～35 号，再用系统 抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间[139，151]上 的运动员人数是________．
解析：(1)设该样本中的老年教师人数为 x，由题意及 分层抽样的特点得9x00＝1362000，故 x＝180.
039 支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程^y ＝^bx＋^a，其中^b＝ 0.76，^a＝－y －^b－x ．据此估计，该社区一户年收入为 15 万元家庭的年支出为( )
A．11.4 万元 B．11.8 万元 C．12.0 万元 D．12.2 万元 解析：－x ＝8.2＋8.6＋10.50＋11.3＋11.9＝10，
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100， 方差的估计值为 104.
(3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这 种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部 产品 80%”的规定．
质量指 标值分
组
频数
[75， 85)
6
[85， 95)
26
[95， [105， [115， 105) 115) 125)
38
22
8
百度文库1)作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组 中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的 这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全 部产品 80%”的规定？
解得 a＝0.30.
(2)由(1)，100 位居民月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06＋0.04＋0.02＝0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计 30 万居民中月均 用水量不低于 3 吨的人数为 300 000×0.12＝36 000.
(3)设中位数为 x 吨． ∵前 5 组的频率之和为 0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25 ＝0.73>0.5.
(2)依题意，可将编号为 1～35 号的 35 个数据分成 7 组，每组有 5 个数据．
在区间[139，151]上共有 20 个数据，分在 4 个小组 内，每组抽取 1 人，共抽取 4 人．
答案：(1)C (2)4
[规律方法] 1.在系统抽样的过程中，要注意分段间 隔，需要抽取 n 个个体，样本就需要分成 n 个组，则分 段间隔即为Nn(N 为样本容量，且 N 能被 n 整除)，首先确 定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按 规则抽取每个个体．
所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 85%，用 水量不超过 2 立方米的居民占 45%.依题意，w 至少定为 3.
(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月
用水费用的数据分组与频率分布表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8 (8， (10， (12， (17， (22，
分组 [2，4] (4，6] (6，8] 10] 12] 17] 22] 27]
专题六 概率与统计
第 1 讲 统计与统计案例
1．(2013·全国Ⅰ卷)为了解某地区的中小学生的视力 情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查， 事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视 力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大．在下面的 抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
(导学号 53130043)
标准差为 s 甲＝ 3.6.
乙地 5 天的气温为：28，29，30，31，32，
其平均数为－x 乙＝28＋29＋350＋31＋32＝30； 方差为 s2乙＝15[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31 －30)2＋(32－30)2]＝2； 标准差为 s 乙＝ 2.∴－x 甲<－x 乙，s 甲>s 乙．
－y ＝6.2＋7.5＋85.0＋8.5＋9.8＝8，
∴ ^a＝8－0.76×10＝0.4， ∴回归直线^y＝0.76x＋0.4. ∴当 x＝15 时，^y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)． 答案：B
4．(2014·全国Ⅰ卷)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得 如下频数分布表：