三维立体与二维投影

三维立体与二维投影

三维和二维之间存在着一种重要关系，这就是立体和投影的关系。

三维立体被光线照射，会在二维的面上投下它的阴影，即投影。

投影的形状取决于原来立体的形状。

比如说，一个球体的投影是一个圆或者椭圆。

不过，如果投影是一个圆面，就不能反推形成这个投影的那个立体肯定是一个球。

原来的立体可能是一个圆柱，也可能是一个圆锥。

投影显示的只是从某一个方向照射所得到的形状。

换句话说，投影截取到的仅仅是原来立体所具有的部分信息，而不是全部信息，所显示的原来立体的样子是“不完全”的。

古希腊的哲学家柏拉图（公元前427－前347）曾在公元前360年发表过一部叫做《理想国》的著作，其中写有一个非常著名的“洞窟比喻”。从小就囚禁在洞窟内的囚徒只看见过映照在洞壁上的影子，他以为那影子就是全部世界，终其一生也不知道投下那影子的立体的真实样子。

柏拉图用这个比喻来表达他的一个思想，即只凭经验来思考什么是真实的人，就犹如这名囚徒。

“我们只看见了投影”。

柏拉图用这句话来劝诫人们，要把目光从洞壁转向洞外，才能求得“真知”（柏拉图称之为“理想”）。

柏拉图的这些话，对于人类挑战“宇宙究竟有多少维”这个大课题，也具有十分重要的意义。

柏拉图说：“我们看见的这个世界也许是一个‘投影’”

小结

柏拉图的“洞窟比喻”

柏拉图在其《理想国》一书中所写的“洞窟比喻”的大致意思如下：“从小就被囚禁在洞窟中的囚徒只能看见洞壁（无法看到后面）。他们以为洞壁上的影子就是全部世界，把影子当成真实的物体。只有解除囚禁，把目光投向洞窟的外面，才有可能求得真知（理想）。”

投影显示的仅仅是立体的“横断面”

设想一个【平头改锥（螺丝刀）】的头部，

光线从上向下照射时（沿着z轴方向），得到的投影是一个【圆】；

光线从后向前照射时（沿着y轴方向），得到的投影是一个【正方形】；光线从左向右照射时（沿着x轴方向），得到的投影是一个【三角形】。也就是说，投影只截取到物体所具有的信息中属于较低维度的一部分信息。

例如“测量身高”，是将三维降低为一维的投影。

我们所见到的是否是真实的立体？

位于眼球深处的“视网膜”是接受来自外界光线的一个屏幕。

左右眼球相隔一定的距离，因此，同一物体映照在左眼和右眼视网膜上的二维图像并不相同。

大脑会根据这种微小的差异补上远近信息。

我们看到的三维图像其实是大脑重新构建的一种“间接三维图像”。

从上面两幅图中能看出什么？

二维世界与三维世界又有什么不同呢？

二维世界是一个面，如前面所介绍的，这上面可以有三角形、四边形和圆等具有面积的各种图形（平面图形）。

上升到三维空间，则又有了体积的“立体”

平面图形有各种不同的形状，立体，也是有立方体、球、三角锥、圆锥、正四面体等等各式各样的形状。

立体有一个在二维不可能有，必须是在三维才具有的特性，那就是，立体可以具有“贯通的孔洞（管子）”。

轮胎的形状（环）就是具有贯通孔洞的一个立体。

有手柄的茶杯，也是一个有贯通孔洞（穿进手指的部分）的立体。

二维世界的图形是绝不可能有贯通孔洞的。

例如正方形，你可以从它的上边向下剜去一部分，得到一个“凹”字的图形。但是若向下剜得太深，穿过了正方形的下边，你得到的经不会是一个图形，而是把原来的正方形分割成了两个长方形。

在三维可以有“环”和“扭结”

立体“有体积”，此外还具有二维所没有的其他特性。

比如说，三维中的具有贯通孔洞的图形（环，如轮胎的形状），

还有通过穿插所形成的扭结图形（例如，国人过年过节时所喜爱的立体穿插的红色【中国结】），

这些都是在二维中所不可能有的。由此可见，立体要比平面图形复杂得多。

在三维空间，不仅有【立体】，同时也可以有【二维的面】、【一维的线】和【零维的点】。

事实上，维数较多的空间内部总是包含了维数比它要低的空间。“立体”，比平面图形复杂得多

三维的这个特性对于我们人类实在是太重要了。

要知道，我们人体就是一个“具有贯通孔洞的立体”。

这个贯通的孔洞——你当然马上就可以想到，那就是从口向下直延伸至肛门的消化道。

从受精卵到形成胎儿的身体，这个过程叫做“发育”。

在人体发育过程中有一件非常重要的事情，那就是在大量细胞聚集形成的胚胎上向开出一个孔洞（肛门），然后逐渐向内延伸，直到在贯通处形成口。

如果是二维世界的话，这个孔洞一贯通，人体就会被分为两半。

在这种意义上，人的诞生还要多亏三维世界有这样一个特性呢。

小结

三维世界中的“立体”

长方体、球、环、圆锥、

有扭结（立体穿插）的立体

人体与“维”

人是身体有贯通的消化道的生物（也有像海葵那样的没有贯通消化道的生物）。

贯通身体的消化道，这只能是在三维世界可以有，而在二维世界不可能有的结构。

这是因为，在二维身体上开一个贯通消化道的话，身体就会被分割成两半。

二维人无法形成消化道（人体会被消化道分割成两半）

三维人形成消化道

扩展阅读：

“二维”的特性

辅助资料：

克莱因瓶

莫比乌斯带

Soliton

一维世界和二维世界有什么不同呢？

在一维世界（线），两个区域A和B，可加以比较的量只有它们的长度。然而在二维世界就不同了。

二维世界（面）中的两个区域A和B，可以比较它们的面积。

不仅如此，除了面积，还可以比较两个区域的另一个特征，这就是“形状”。

在二维世界，有三角形、四边形、圆、椭圆等等，甚至曲线所包围不规则图形，而一维世界就不会有这种种“形状”

利用二维所具有的这种性质我们可以玩拼图游戏。

把一幅图画剪开成若干部分（拼块），要求把它们重新拼合成一幅完整的图画。