大学数学中不等式的证明方法探讨
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理 论 前 沿
Ｃｌ Ｅ ｃ ｉ Ｉｏ ｔ：Ｈ： ： ｈ ｄ ａｏ ｎ ｖ ｉ ｅ ｌ＿ ｎ ｕ ｔｎ ｎ ａｏ ｒｄ ａ ｎ ａ ∑ ：
大学 数 学 中不 等 式 的证 明 方 法探 讨 ①
杜 道 渊 （ 川理工学 院理学 院 四川 自贡 ６ ３ ０ 四 ４ ０ ０）
摘 要 ： 等式 的证 明没 有 固定的模 式Βιβλιοθήκη Baidu， 不 方法 多并且 技巧 性 强 ， 讨 它的证 明方 法及 具体 的解 决 办法对 于加深 数 学概念 的理 解 ， 探 学好 大 学数 学是 很 有脾 益 的 。 关键词 ： 等式 中值定理 构造 辅助函数 方法 不 中 图分 类号 ： Ｇ４２７ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文章编 号 ： ７ —９ ９ （ ０ ｏ １ （ ） ０ ９ １ １ ３ ２ １ ） １ ｂ一０ ９ —０ ６ ７５
注 ： 用 柯 西 中值 定 理 来 解 决 不 等 式 的 证 明 ， 方 法 与 上 类 运 其 似 ， 此就不赘述 。 在 ５ 利用 凸函数 的性 质证明不等式 如 果 函 数 （） 区 间 上 的 凸 函 数 ， Ｖ 是 则 ｘ ∈Ｉ（ １ ， ，） ， … ２ ２ 利用泰勒公式证 明不等式 有： 利 用 泰 勒 公 式 来 证 明 不 等 式 对 于 有 的 不 等 式 （ 要 是 已 知 或 主 者 证 明 的 式 子 中含 函数 的一 阶 及 其 以 上 阶 导 数 的 式 子 ） 的证 明 会 厂 （ ） ≤ 不 ｎ ｒ ｌ 变 得 简 单 ， 体 做 法 ： 造 辅 助 函数 ， ； 据 所 证 不 等 式 ， 出 具 构 （） 根 写 利 用 凸 函数 的 性 质证 明不 等 式 的具 体 做 法 ： 造 函数 ｆ（） 判 构 ｘ； 厂 的某 阶 展 开 式 ； 合 展 开 式 证 明 不 等 式 。 （） 结 （ 根据 凸 函数 的 性 质 得 到 所要 证 明的 例２ 设 ／ ） ， － ０时 厂 与 是 等 价 无 穷小 ， 明 ： 定 函数 厂 在 区 间上 的 凸性 ， ： ＞０ 当 － － ） － （） 证 不等式 。 当 ０ ，， ） 。 时 ‘ ＞ （
证 明 ｘｎ ＋ｙｌｙ＞（ ｌｘ ｎ ＋ｙ ｌ ） ｎ
。
，
证 ： ／ ＝一 ｌｔ 因为 ｆ ） ｌｔ １ ） 由函 令 （） ｔ ， ｎ ＝一ｎ 一 ， （ ＝一 ｆ ｆ １
数的定义域知 ｆ （ ＜０。 ｆ ）
又当
０ ｆ ｘ 与 是等价无穷小 ， 时 （） 所以 厂（） ＋。 ） ＝ （ 。
证： 由于 已知 中含 有 二 阶导 数 ， 发我 们 利 用 泰 勒 公 式 去 解决 启 可能更方便简单 。 取Ｘ ＝０由泰 勒 公 式 得 ： 厂 ＝ （） ＋ （） 厂 ０ ＋ｆ（ ０ （ 在 与０ 间 ） 之 。
例５： 设 ＞０ Ｙ＞０ ｘ ， ，
则： ） １ ２） 一， ） ４ｅ 。 厂（ ＝（— ｘｅ １ 厂 （ ＝一ｘ ｘ
① 作者 简 介 ： 道 渊 （ ９ ４ ） 男 ， 杜 １ ６ ～ ： 汉族 ， 川 南 充人 ， 士 ， 师 ， 究 方 向 ： 化 理 论 及 高 等 数 学 研 究 。 四 学 讲 研 优
不 等 式 的 证 明 ， 论 是 在 初 等 数 学 还 是 在 高 等 数 学 中都 占有 无 因为０ ＜１ 所以ｆ（） ０， ） ０） ＜ ， ＜ 故，（ 在［ 内严格单减， ｘ ， １ 从 很 重 要 的 位 置 ， 且证 明 方 法 灵 活 多 变 ， 有很 强 的技 巧 性 ， 以 而在（１ 并 具 所 ０） ） ｆ（ ：０， ，内ｆ（ ＜ ） ０ 由此又知 ｌ 在［１内严格单减， 厂 ） ０） （ ， 也 是 大 学 数 学 中 的 一 个 难 点 。 等 式 的 证 明～ 方 面 反 映 数 学 理 论 所以有 厂 不 ） ＜ｆ（） Ｏ ＝０， １ ） ＜１ （ 即（一ｘｅ ＋ｘ Ｏ＜Ｘ＜】得证。 ） 的 一 个 方 面 的 应 用 ； 一 方 面 通 过 证 明 的 过 程 加 深 对 相 应 的 数 学 另 知 识 的 理 解 。 握 不 等 式 的 证 明 方 法 对 学 好 高 等 数 学 是 很 有 帮 助 ４ 利 用函数 的最值证 明不等式 掌 的 ， 面 就 从 多方 面 来 探 讨 大 学数 学 中 有 关 不 等 式 的 证 明方 法 。 下 函数 在 闭 区 间 上 连 续 则 在 该 区 间 上 函数 一 定 存 在 最 大 最 小 值 ， 用 最 值 来 证 明 不 等 式 的具 体 做 法 ： 造 辅 助 函数 厂 并 说 利 构 （），
中国科教 创新导刊 Ｃ ｉａ ｄ Ｃ ｔｏ Ｉｎ ｖ ｔｏ Ｈ ｒ ｌ ｈｎ Ｅ ｕ ａ ｉｎ ｎ ｏ ａ ｉｎ ｅ ａｄ
９ ９
二
又ｆ （） ， ＞０ 所以 当 ≠０ 时有 － ＞ 得证。 厂 ） （
参考 文 献
［】王 绵 森 ， 知恩 ． １ 马 工科 数 学分 析 基 础 （ ） ． 上 【 北京 ： Ｍ】 高等 教 育 出
版 社 ， ９ ８． ｌ９ ［】同 济 大 学 概率 统 计 教 研 组 ． 率 统 计［ 】上 海 ： ２ 概 Ｍ ． 同济 大学 出版
证 ： 据 所 要 证 明 的不 等 式 ， 辅 助 函 数 厂ｆ＝ｔ 容 易验 证 根 作 （ ） ｐ，
解 方 程 ／ （） ＝０得 ｆ ｘ 的 唯 一驻 点 Ｘ － ｆ ｘ 没 有 不 可 导 （） ４， （）
１
厂） （ 在区间 ｘ上满足拉氏定理的条件， ， Ｊ 所以有结论： 至少存在一 点 ∈（ ， 厂 一 （ ＝ ） — ） ）使得 （ ｆＹ ｆ（ （ 成立 。 ， ） ） ｘ
１ 利用拉格 朗 日中值定 理证明不等式
明 ｆ ｘ 在 ｒ ｂ上有最值 Ｍ， 由ｍ≤厂 ≤ 得到所证 的不等 （） ａ Ｊ ， ｍ； （）
拉 格 朗 日中 值 定 理 是 微 分 学 的 基 础 ， 用 该 定 理 证 明 不 等 式 式 。 运 １ 是 一种 很 常 见 的 方法 。 体做 法 ： 据题 目选 取 一 适 当 的辅 助 函数 具 根 例４ 已知０≤ ： ≤１ｐ＞ｌ证 明 ， ， ≤ ＋（一 １ １ ）≤ 。 厂 及 区间ｆ ， 】 验证 厂 满 足 定理 条件 ； 据 定理 结 论写 出 来表 （） ａ ｂ ） 根 达 式 ， 根据 在 ［ ， 】 的值 的 变化 得 到 不 等 式 的 证 明 。 并 ａｂ上 证 ： ｆｘ ＝ ＋（ ，０ ） ｘ ～一 （一 ）～。 令 （） １ ） ｆ（ ＝ｐ ｐ １ 一 １ 例 ｌ 若 Ｏ ｙ ， １ 证 明 ： ＜ ＜ Ｐ＞ ， 一 ＜ Ｙ ＜ ｘ－ 一 成 立 。 Ｘ 一 ｐ ｐ １
３ 利用函数 的单调 性证明不等式
根 据 函数 的 单 调 性 证 明 不 等 式 的 具 体 做 法 ： 造 辅 助 函 数 构 社 ， ０ ４． ２０ ｆｘ （ 般 只 需把 所 要 证 明 的 不 等 式 进 行 移 项 ， 此 表 达 式 作 为 （） 一 把 【１熊桂 武 ． 率 方 法 在 不 等 式 证 明 中 的 应 用【】重 庆 师 范 大 学 学 ３ 概 Ｊ． 厂 ）判 定 厂（） 符号 （ （） ； 的 ｘ 有时 一 阶 不 能确 定 符号 时 需 要对 其 二 阶 报（ 自然科 学 版 ） ２ ０ （ ） ８ ～９ ． ， ０ ３ ４ ： ８ Ｏ 进 行 判 定 ） 从 而 确 定 ， 的 单 调性 ： 据 单 调 性 的 定 义 得 到所 要 ， （） 根 【】 吴 ． ４张 高等 数 学 中不 等 式 的证 明方法 ［】数学 教学 与研 究 ， ０ ９ Ｊ． ２ ０
．
的 ，于 ｑ＝１厂 ）１（＝所 ｆ ） ０上 最 点 由 ｆ ）２ （＝厂）１ 以 （ 在［ 的 小 － ０ ，１ Ｐ ｘ ， １ 】
１
ｐ （ ） ｐ—Ｙ ＜ ｐ ， 。 ） 证 。 ｙ — ＜Ｘ ｘ ＿（ 一 得
即 ： 一Ｙ ｘ ＝ｐ －ｘ Ｙ 由于 ∈ ， ， １， 值为 ２一 最 大 值 为 １ 故 。 ≤ ＋（一 ≤１ 证 。 。 — ）， Ｊ Ｐ＞ 所以 （ １ ｐ， ， １ ） 得
ｆ ｒ＃、
所以函数 厂 在 （佃 ） （ ） ０ 上是凸函数。 ， 根据凸函数的性质知
Ｖ，ｅｏ ｏ 有ｘ ｘ ｙ ｙ （＋ ） ｘ （ ＋ｏ ｌ ＋ ｌ ＞ ｌ ｙ ． ） ｎ ｎ ｎ
。
成 。 证 立得 。
故／ ０ ＝ ， ） ， 以厂 ＝ — （） ０ 厂（ ＝１ 所 ０ （） ＋
证 明的不等式。
例 ３： 明 当 时 ０＜ ＜ １， ２ ＋ｘ 证 ｅ ｘ＜ ｌ
。
（５ ： ８～ ８ ２ ）８ ９．
证 ： 要 证 明 的 不 等式 变 形 为 （一 ） ＜１ （ ＜ ＜ ） 所 １ ｅ ＋ ０ １。
令厂 ＝ １ ｘ “一 一 ，Ｘ ［１， （ （ ） １ Ｅ０） ） － ｅ ，
Ｃｌ Ｅ ｃ ｉ Ｉｏ ｔ：Ｈ： ： ｈ ｄ ａｏ ｎ ｖ ｉ ｅ ｌ＿ ｎ ｕ ｔｎ ｎ ａｏ ｒｄ ａ ｎ ａ ∑ ：
大学 数 学 中不 等 式 的证 明 方 法探 讨 ①
杜 道 渊 （ 川理工学 院理学 院 四川 自贡 ６ ３ ０ 四 ４ ０ ０）
摘 要 ： 等式 的证 明没 有 固定的模 式Βιβλιοθήκη Baidu， 不 方法 多并且 技巧 性 强 ， 讨 它的证 明方 法及 具体 的解 决 办法对 于加深 数 学概念 的理 解 ， 探 学好 大 学数 学是 很 有脾 益 的 。 关键词 ： 等式 中值定理 构造 辅助函数 方法 不 中 图分 类号 ： Ｇ４２７ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文章编 号 ： ７ —９ ９ （ ０ ｏ １ （ ） ０ ９ １ １ ３ ２ １ ） １ ｂ一０ ９ —０ ６ ７５
注 ： 用 柯 西 中值 定 理 来 解 决 不 等 式 的 证 明 ， 方 法 与 上 类 运 其 似 ， 此就不赘述 。 在 ５ 利用 凸函数 的性 质证明不等式 如 果 函 数 （） 区 间 上 的 凸 函 数 ， Ｖ 是 则 ｘ ∈Ｉ（ １ ， ，） ， … ２ ２ 利用泰勒公式证 明不等式 有： 利 用 泰 勒 公 式 来 证 明 不 等 式 对 于 有 的 不 等 式 （ 要 是 已 知 或 主 者 证 明 的 式 子 中含 函数 的一 阶 及 其 以 上 阶 导 数 的 式 子 ） 的证 明 会 厂 （ ） ≤ 不 ｎ ｒ ｌ 变 得 简 单 ， 体 做 法 ： 造 辅 助 函数 ， ； 据 所 证 不 等 式 ， 出 具 构 （） 根 写 利 用 凸 函数 的 性 质证 明不 等 式 的具 体 做 法 ： 造 函数 ｆ（） 判 构 ｘ； 厂 的某 阶 展 开 式 ； 合 展 开 式 证 明 不 等 式 。 （） 结 （ 根据 凸 函数 的 性 质 得 到 所要 证 明的 例２ 设 ／ ） ， － ０时 厂 与 是 等 价 无 穷小 ， 明 ： 定 函数 厂 在 区 间上 的 凸性 ， ： ＞０ 当 － － ） － （） 证 不等式 。 当 ０ ，， ） 。 时 ‘ ＞ （
证 明 ｘｎ ＋ｙｌｙ＞（ ｌｘ ｎ ＋ｙ ｌ ） ｎ
。
，
证 ： ／ ＝一 ｌｔ 因为 ｆ ） ｌｔ １ ） 由函 令 （） ｔ ， ｎ ＝一ｎ 一 ， （ ＝一 ｆ ｆ １
数的定义域知 ｆ （ ＜０。 ｆ ）
又当
０ ｆ ｘ 与 是等价无穷小 ， 时 （） 所以 厂（） ＋。 ） ＝ （ 。
证： 由于 已知 中含 有 二 阶导 数 ， 发我 们 利 用 泰 勒 公 式 去 解决 启 可能更方便简单 。 取Ｘ ＝０由泰 勒 公 式 得 ： 厂 ＝ （） ＋ （） 厂 ０ ＋ｆ（ ０ （ 在 与０ 间 ） 之 。
例５： 设 ＞０ Ｙ＞０ ｘ ， ，
则： ） １ ２） 一， ） ４ｅ 。 厂（ ＝（— ｘｅ １ 厂 （ ＝一ｘ ｘ
① 作者 简 介 ： 道 渊 （ ９ ４ ） 男 ， 杜 １ ６ ～ ： 汉族 ， 川 南 充人 ， 士 ， 师 ， 究 方 向 ： 化 理 论 及 高 等 数 学 研 究 。 四 学 讲 研 优
不 等 式 的 证 明 ， 论 是 在 初 等 数 学 还 是 在 高 等 数 学 中都 占有 无 因为０ ＜１ 所以ｆ（） ０， ） ０） ＜ ， ＜ 故，（ 在［ 内严格单减， ｘ ， １ 从 很 重 要 的 位 置 ， 且证 明 方 法 灵 活 多 变 ， 有很 强 的技 巧 性 ， 以 而在（１ 并 具 所 ０） ） ｆ（ ：０， ，内ｆ（ ＜ ） ０ 由此又知 ｌ 在［１内严格单减， 厂 ） ０） （ ， 也 是 大 学 数 学 中 的 一 个 难 点 。 等 式 的 证 明～ 方 面 反 映 数 学 理 论 所以有 厂 不 ） ＜ｆ（） Ｏ ＝０， １ ） ＜１ （ 即（一ｘｅ ＋ｘ Ｏ＜Ｘ＜】得证。 ） 的 一 个 方 面 的 应 用 ； 一 方 面 通 过 证 明 的 过 程 加 深 对 相 应 的 数 学 另 知 识 的 理 解 。 握 不 等 式 的 证 明 方 法 对 学 好 高 等 数 学 是 很 有 帮 助 ４ 利 用函数 的最值证 明不等式 掌 的 ， 面 就 从 多方 面 来 探 讨 大 学数 学 中 有 关 不 等 式 的 证 明方 法 。 下 函数 在 闭 区 间 上 连 续 则 在 该 区 间 上 函数 一 定 存 在 最 大 最 小 值 ， 用 最 值 来 证 明 不 等 式 的具 体 做 法 ： 造 辅 助 函数 厂 并 说 利 构 （），
中国科教 创新导刊 Ｃ ｉａ ｄ Ｃ ｔｏ Ｉｎ ｖ ｔｏ Ｈ ｒ ｌ ｈｎ Ｅ ｕ ａ ｉｎ ｎ ｏ ａ ｉｎ ｅ ａｄ
９ ９
二
又ｆ （） ， ＞０ 所以 当 ≠０ 时有 － ＞ 得证。 厂 ） （
参考 文 献
［】王 绵 森 ， 知恩 ． １ 马 工科 数 学分 析 基 础 （ ） ． 上 【 北京 ： Ｍ】 高等 教 育 出
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证 ： 据 所 要 证 明 的不 等 式 ， 辅 助 函 数 厂ｆ＝ｔ 容 易验 证 根 作 （ ） ｐ，
解 方 程 ／ （） ＝０得 ｆ ｘ 的 唯 一驻 点 Ｘ － ｆ ｘ 没 有 不 可 导 （） ４， （）
１
厂） （ 在区间 ｘ上满足拉氏定理的条件， ， Ｊ 所以有结论： 至少存在一 点 ∈（ ， 厂 一 （ ＝ ） — ） ）使得 （ ｆＹ ｆ（ （ 成立 。 ， ） ） ｘ
１ 利用拉格 朗 日中值定 理证明不等式
明 ｆ ｘ 在 ｒ ｂ上有最值 Ｍ， 由ｍ≤厂 ≤ 得到所证 的不等 （） ａ Ｊ ， ｍ； （）
拉 格 朗 日中 值 定 理 是 微 分 学 的 基 础 ， 用 该 定 理 证 明 不 等 式 式 。 运 １ 是 一种 很 常 见 的 方法 。 体做 法 ： 据题 目选 取 一 适 当 的辅 助 函数 具 根 例４ 已知０≤ ： ≤１ｐ＞ｌ证 明 ， ， ≤ ＋（一 １ １ ）≤ 。 厂 及 区间ｆ ， 】 验证 厂 满 足 定理 条件 ； 据 定理 结 论写 出 来表 （） ａ ｂ ） 根 达 式 ， 根据 在 ［ ， 】 的值 的 变化 得 到 不 等 式 的 证 明 。 并 ａｂ上 证 ： ｆｘ ＝ ＋（ ，０ ） ｘ ～一 （一 ）～。 令 （） １ ） ｆ（ ＝ｐ ｐ １ 一 １ 例 ｌ 若 Ｏ ｙ ， １ 证 明 ： ＜ ＜ Ｐ＞ ， 一 ＜ Ｙ ＜ ｘ－ 一 成 立 。 Ｘ 一 ｐ ｐ １
３ 利用函数 的单调 性证明不等式
根 据 函数 的 单 调 性 证 明 不 等 式 的 具 体 做 法 ： 造 辅 助 函 数 构 社 ， ０ ４． ２０ ｆｘ （ 般 只 需把 所 要 证 明 的 不 等 式 进 行 移 项 ， 此 表 达 式 作 为 （） 一 把 【１熊桂 武 ． 率 方 法 在 不 等 式 证 明 中 的 应 用【】重 庆 师 范 大 学 学 ３ 概 Ｊ． 厂 ）判 定 厂（） 符号 （ （） ； 的 ｘ 有时 一 阶 不 能确 定 符号 时 需 要对 其 二 阶 报（ 自然科 学 版 ） ２ ０ （ ） ８ ～９ ． ， ０ ３ ４ ： ８ Ｏ 进 行 判 定 ） 从 而 确 定 ， 的 单 调性 ： 据 单 调 性 的 定 义 得 到所 要 ， （） 根 【】 吴 ． ４张 高等 数 学 中不 等 式 的证 明方法 ［】数学 教学 与研 究 ， ０ ９ Ｊ． ２ ０
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的 ，于 ｑ＝１厂 ）１（＝所 ｆ ） ０上 最 点 由 ｆ ）２ （＝厂）１ 以 （ 在［ 的 小 － ０ ，１ Ｐ ｘ ， １ 】
１
ｐ （ ） ｐ—Ｙ ＜ ｐ ， 。 ） 证 。 ｙ — ＜Ｘ ｘ ＿（ 一 得
即 ： 一Ｙ ｘ ＝ｐ －ｘ Ｙ 由于 ∈ ， ， １， 值为 ２一 最 大 值 为 １ 故 。 ≤ ＋（一 ≤１ 证 。 。 — ）， Ｊ Ｐ＞ 所以 （ １ ｐ， ， １ ） 得
ｆ ｒ＃、
所以函数 厂 在 （佃 ） （ ） ０ 上是凸函数。 ， 根据凸函数的性质知
Ｖ，ｅｏ ｏ 有ｘ ｘ ｙ ｙ （＋ ） ｘ （ ＋ｏ ｌ ＋ ｌ ＞ ｌ ｙ ． ） ｎ ｎ ｎ
。
成 。 证 立得 。
故／ ０ ＝ ， ） ， 以厂 ＝ — （） ０ 厂（ ＝１ 所 ０ （） ＋
证 明的不等式。
例 ３： 明 当 时 ０＜ ＜ １， ２ ＋ｘ 证 ｅ ｘ＜ ｌ
。
（５ ： ８～ ８ ２ ）８ ９．
证 ： 要 证 明 的 不 等式 变 形 为 （一 ） ＜１ （ ＜ ＜ ） 所 １ ｅ ＋ ０ １。
令厂 ＝ １ ｘ “一 一 ，Ｘ ［１， （ （ ） １ Ｅ０） ） － ｅ ，