波动光学课后习题答案(第二章)
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则能量损失系数为
2
τ Loss = 1 − (1 − R) 2 = 0.5914
（2）进行镀膜后，根据 72 页的图 2‐24 的分析以及 73 页的公式(2.3‐8)可知，此时，镀膜镀 膜厚度为光波长的 1/4，具有增透的功能，则反射率为
⎛ n n − n 2 ⎞ ⎛ n − n 2 / n ⎞ ⎛ 4 − 2.352 ⎞ Rm = ⎜ 0 2 12 ⎟ = ⎜ 0 12 2 ⎟ = ⎜ = 0.0256 2 ⎟ ⎝ n0 n2 + n1 ⎠ ⎝ n0 + n1 / n2 ⎠ ⎝ 4 + 2.35 ⎠
ΔL = 3.7 mm
2‐22 利用艾里公式类似的思路可计算不同情况下反射光和投射光的相对强度，该分析已经 在课堂上做过介绍。 2‐23 解：F‐P 标准具常数或自由光谱范围的表达式为
( Δλ ) f =
λ1
m
=
2 λ1
2nh
利用上式非常容易的计算出不同情况下的自由光谱范围，具体计算略。 2‐24 解：根据题意分析可知，
α
α ⎛ x − ⎜ − k sin 2 2 ⎝
α ⎞ x ⎟ = 2k sin x 2 ⎠
则根据干涉的加强和减弱的基本条件，当 ϕ 变化 2π时干涉条纹变化一个周期，此时条纹间 距满足如下关系，
Δϕ = 2k sin
即
α
2
Δx = 2π
Δx =
λ
2sin
α
2
2‐3 解：此题和 2‐2 题的分析思路完全相同，只是两条光束的入射角有一些变化而已，根据 同样的思路，可得到，
Δh = m
带入参数Δh=0.233mm，m=792，则
λ
2
λ=0.5880μm 2‐19 解：该题与 2‐18 类似，只是在其中一路改变光程的方法变化而已，不是移动反射镜， 而是加入某一介质，使其折射率发生变化，根据前面的分析可知，当介质折射率变化时，光 束在其中传播时的光程也发生变化，因此有，
Δ = 2nh cos θ 2 +
λ
2
= mλ
具体见教材 60 页的公式(2.1‐20)和(2.1‐21)及其后面的分析。其中，m 为干涉级次。 在本题中要求实现二级反射增强，则 m=2，波长λ=0.7μm，n=1.33，入射角θ1=30°，则很容 易计算得到 h=0.426μm 2‐11 解：此题目与 2‐11 类似，只是其中的波长是某一范围，取 m 为整数，从 1 开始取起， 然后分析一下，在该级次是否存在某一波长光束实现反射干涉增强，然后以此类推。具体计 算略。 2—12 解：此题主要考核劈尖发生等厚干涉时的一些基本规律，如
则能量损失系数为
2
2
2
τ Loss = 1 − (1 − R) 2 = 0.0506
2‐27 解：根据 72 页的图 2‐24 的分析以及 73 页的公式(2.3‐11)可知，此时镀膜具有增反的功 能，在不同厚度时的反射率不同，具体分析请同学们自己完成。 （其余的题目略，不做具体要求，但鼓励大家去解答，下面仅给出部分习题的求解思路） 2‐28 该题目考核的是在实际情况下，当光束非垂直入射时镀膜对反射率和透射率的影响。 该问题的求解可通过 71 页的公式(2.3‐7)求得，建议通过编写程序完成上述计算。 2‐29 解：根据前面的分析很容易知道当膜层厚度为二分之一波长的整数倍时，低折射率膜 的反射率达到最大（相当于没有镀膜一样） ，此时满足如下关系：
d=N
λ
2n
ΔL =
λ
2n sin α
由题目可知，相邻两个亮条纹对应的在劈尖表面的长度为
ΔL =
带入参数 n=1.0，λ=0.5893μm，则得到
λ
2n sin α
= 0.5mm
sin α = 5.893 ×10−4 ≈ α ≈ tan α
则计算得到铝箔的厚度为
D = L′ tan α = 70 × 5.893 × 10−4 = 41.251μ m
其中，L ( S1 P ) L ( S2 P ) 分别是 s1 点和 s2 点到 P 点的光程， t 为玻璃片厚度， n 为其折射率。 根据 2‐4 题（1）的分析可知，
yd = ( n − 1) t D
带入参数可最终计算得到
t = 1.67 ×10−2 mm
2‐6 解：由前面的分析很容易求出入射光波长为 0.588μm，当用白光照射时，不同波长在接 收屏上获得的干涉条纹间距不同， 因此除了中心点， 在其它区域不同级次的干涉条纹都发生 了平移，导致干涉条纹出现“混叠现象” ，其表现类似于“彩虹”分布。 2‐7、2‐8 及 2‐9 题略 2‐10 解：根据光束在平行平板上发生的双光束干涉可知，在反射光的方向上发生干涉加强 的条件是：
则计算得到
Δϕ = k Δ =
2π
d ⎡ n 2 − sin 2 θ − cos θ ⎤ ⎦ λ ⎣
2‐2 解：利用 54 页的公式(2.1‐3)和(2.1‐4)，建立如下图所示的坐标系，即沿着表面的方向为 x 方向，可知，
ϕ = k1 • r − k1 • r = k sin
v
v
v
v
因此，2‐4 题的三个小问题不难回答，计算省略，请同学根据以上分析思路自行计算。 2‐5 解：当在一个狭缝处放置玻璃片导致干涉条纹在接收屏上发生平移，假设中央亮纹移动 到 P 点（如教材 119 页图 2‐76 所示） ，则表明两条光束经过狭缝后到达 P 点的光程相同，则 表明，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
L ( S1 P ) = L ( S2 P ) + ( n − 1) t
k 5 λ0 = λ ( k = 1, 2,3,K) 4 2
很容易计算得到在可见光波段内，有两个波长 0.458μm 和 0.687μm 的光具有最大的反射， 分别对应绿光和红光，而人眼看到是这两种颜色的混合，是什么颜色呢？ 2‐30 具体参考教材 74 页。 2‐31 参考教材 75 和 76 页， 目前有成熟的商业软件来计算这个问题， 请大家去网络上搜索。 2‐35 解：根据空间相干性的基本条件（参考教材 102 和 103 页） ，使双缝发生干涉的最大横 向宽度满足，
( n − 1) L = m
λ
2
其中，L 为玻璃管的长度。带入参数，得到 n=1.0002925 2‐20 略，具体可参考教材 61 页。 2‐21 解：在此情况下，两光束相当于发生了等厚干涉（两个反射镜形成了一个劈尖） ，则干 涉条纹间距为
ΔL =
带入参数，最终计算得到
λ
2n sin α
dt ≤
带入参数可知
λR
b
=
λ θ
dt ≤ 59.2 μ m
2‐36 参考教材 103 页，上 2‐35 题类似。
2‐37 和 2‐38 与 2‐36 类似。 2‐39 解：根据基本的关系
c
ν
= λ ，进行微分运算可知 −c
ν2
即
Δν = Δλ Δλ
−Δν
ν
因此，
第二章 光的干涉
2‐1 解：此题非常简单，主要考察一个基本的概念，那就是相位变化等于波数与光程变化的 乘积，即
Δϕ = k Δ =
2π
λ
Δ
现在比较下图所示的两条光线的光程差（即从入射点到红线所示位置的中间的光程差值） ， 利用基本的三角函数关系，非常容易计算得到：
Δ = d ⎡ n 2 − sin 2 θ − cos θ ⎤ ⎣ ⎦
2nh = mλ1 = ( m + 0.5) λ2
λ1 + λ2
2
带入参数，最终计算得到
= 600nm
Δλ=9×10‐3nm 2‐25 略，具体请看教材 69 页的公式(2.2‐16)和(2.2‐17)。 2‐26 解： （1）没有镀膜时的上下界面反射率都为
⎛n −n ⎞ R = ⎜ 1 2 ⎟ = 0.36 ⎝ n1 + n2 ⎠
2nh +
λ
2
= mλ ( m > 0 )
可知，当两个不同波长的干涉条纹重合时，同时满足上述条件，则有
1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 2nh = ⎜ m1 − ⎟ λ1 = ⎜ m2 − ⎟ λ2 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝
带入参数：λ1=0.5μm，m1=6，m2=7，则
λ2=0.423μm 2‐17 解：根据平板双光束产生干涉的条件可知
φ=
2π
λ
Δ≈
2π yd λ D
则接收屏上干涉最大和最小出现的位置分别是
y=m
（2）相位差由光程差计算得到，即
Dλ 1 ⎞ Dλ ⎛ 和 y = ⎜m + ⎟ d 2⎠ d ⎝ Δϕ = k Δ = 2π Δ
λ
（3）任意一点的光程由如下公式计算
I ( P ) = I1 ( P ) + I 2 ( P ) + 2 I1 ( P ) I 2 ( P ) cos Δϕ
=
λ
Δλ
Δν
ν
=
λ
已知λ=632.8nm，Δλ=2×10‐8nm，则很容易根据上式计算出
ν = 4.74 ×1014 Hz
Δν = 1.49 ×104 Hz
（相干长度） Δ c =
λ2 = 2 × 104 m Δλ
2‐40 这是一道非常好的题目，在某年北理工的考研题目中曾涉及，考察的基本内容就是两 个波长产生的混合干涉条纹的强度分布问题。 基本的思路是： 分别计算出每个波长干涉条纹 的干涉强度分布，总干涉强度就是两者强度的和，然后再分析总干涉强度的分布规律。具体 分析过程略，可参考北京大学赵凯华编写的“光学”一书中光的干涉的章节。
ϕ = k R • r − kO • r = k sin θ R x − ( −k sin θO x ) = k sin θ R x + k sin θO x
v
v
v
v
则最终相邻两个亮条纹的间距为
Δx =
λ
sin θ R + sin θO
2‐4 解：此题是杨氏双缝干涉的经典题目，主要的知识点就是： （1） 对于接收屏上任意一点，两条光束在该点的相位差为
在获得劈尖角度的情况下，根据上式 ΔL =
λ
2n sin α
，可计算得到绿光的波长为λ=0.55μm。
（2‐13 略） 2‐14 解：此题是关于牛顿环反射光干涉条纹分布的问题。牛顿环中心区域是否为暗条纹主 要取决光束在空气层上下表面发生反射时是否存在“半波损失” ，因此这一问题又要追溯到 第一章的内容，请参考教材 33 页的图 1‐29 和教材 60 页对这一问题的分析。具体图形略。 2‐15 题参考教材 65 页的分析。 1‐16 解：根据牛顿环干涉形成亮纹的条件
Δ = 2nh cos θ 2 +
对上式做微分运算可得，
λ
2
= mλ
2nΔh cos θ 2 = Δmλ
即
Δh =
Δmλ = h0τΔT 2n cos θ 2
其中τ为膨胀系数，ΔT 为温度变化。带入参数，最终计算得到
τ = 4.22 × 10−4 / ( m ×o C )
2‐18 解：根据 Michelson 干涉仪的基本原理，当其中一路的光程变化二分之一波长时，干涉 条纹移动一个级次，即
2
τ Loss = 1 − (1 − R) 2 = 0.5914
（2）进行镀膜后，根据 72 页的图 2‐24 的分析以及 73 页的公式(2.3‐8)可知，此时，镀膜镀 膜厚度为光波长的 1/4，具有增透的功能，则反射率为
⎛ n n − n 2 ⎞ ⎛ n − n 2 / n ⎞ ⎛ 4 − 2.352 ⎞ Rm = ⎜ 0 2 12 ⎟ = ⎜ 0 12 2 ⎟ = ⎜ = 0.0256 2 ⎟ ⎝ n0 n2 + n1 ⎠ ⎝ n0 + n1 / n2 ⎠ ⎝ 4 + 2.35 ⎠
ΔL = 3.7 mm
2‐22 利用艾里公式类似的思路可计算不同情况下反射光和投射光的相对强度，该分析已经 在课堂上做过介绍。 2‐23 解：F‐P 标准具常数或自由光谱范围的表达式为
( Δλ ) f =
λ1
m
=
2 λ1
2nh
利用上式非常容易的计算出不同情况下的自由光谱范围，具体计算略。 2‐24 解：根据题意分析可知，
α
α ⎛ x − ⎜ − k sin 2 2 ⎝
α ⎞ x ⎟ = 2k sin x 2 ⎠
则根据干涉的加强和减弱的基本条件，当 ϕ 变化 2π时干涉条纹变化一个周期，此时条纹间 距满足如下关系，
Δϕ = 2k sin
即
α
2
Δx = 2π
Δx =
λ
2sin
α
2
2‐3 解：此题和 2‐2 题的分析思路完全相同，只是两条光束的入射角有一些变化而已，根据 同样的思路，可得到，
Δh = m
带入参数Δh=0.233mm，m=792，则
λ
2
λ=0.5880μm 2‐19 解：该题与 2‐18 类似，只是在其中一路改变光程的方法变化而已，不是移动反射镜， 而是加入某一介质，使其折射率发生变化，根据前面的分析可知，当介质折射率变化时，光 束在其中传播时的光程也发生变化，因此有，
Δ = 2nh cos θ 2 +
λ
2
= mλ
具体见教材 60 页的公式(2.1‐20)和(2.1‐21)及其后面的分析。其中，m 为干涉级次。 在本题中要求实现二级反射增强，则 m=2，波长λ=0.7μm，n=1.33，入射角θ1=30°，则很容 易计算得到 h=0.426μm 2‐11 解：此题目与 2‐11 类似，只是其中的波长是某一范围，取 m 为整数，从 1 开始取起， 然后分析一下，在该级次是否存在某一波长光束实现反射干涉增强，然后以此类推。具体计 算略。 2—12 解：此题主要考核劈尖发生等厚干涉时的一些基本规律，如
则能量损失系数为
2
2
2
τ Loss = 1 − (1 − R) 2 = 0.0506
2‐27 解：根据 72 页的图 2‐24 的分析以及 73 页的公式(2.3‐11)可知，此时镀膜具有增反的功 能，在不同厚度时的反射率不同，具体分析请同学们自己完成。 （其余的题目略，不做具体要求，但鼓励大家去解答，下面仅给出部分习题的求解思路） 2‐28 该题目考核的是在实际情况下，当光束非垂直入射时镀膜对反射率和透射率的影响。 该问题的求解可通过 71 页的公式(2.3‐7)求得，建议通过编写程序完成上述计算。 2‐29 解：根据前面的分析很容易知道当膜层厚度为二分之一波长的整数倍时，低折射率膜 的反射率达到最大（相当于没有镀膜一样） ，此时满足如下关系：
d=N
λ
2n
ΔL =
λ
2n sin α
由题目可知，相邻两个亮条纹对应的在劈尖表面的长度为
ΔL =
带入参数 n=1.0，λ=0.5893μm，则得到
λ
2n sin α
= 0.5mm
sin α = 5.893 ×10−4 ≈ α ≈ tan α
则计算得到铝箔的厚度为
D = L′ tan α = 70 × 5.893 × 10−4 = 41.251μ m
其中，L ( S1 P ) L ( S2 P ) 分别是 s1 点和 s2 点到 P 点的光程， t 为玻璃片厚度， n 为其折射率。 根据 2‐4 题（1）的分析可知，
yd = ( n − 1) t D
带入参数可最终计算得到
t = 1.67 ×10−2 mm
2‐6 解：由前面的分析很容易求出入射光波长为 0.588μm，当用白光照射时，不同波长在接 收屏上获得的干涉条纹间距不同， 因此除了中心点， 在其它区域不同级次的干涉条纹都发生 了平移，导致干涉条纹出现“混叠现象” ，其表现类似于“彩虹”分布。 2‐7、2‐8 及 2‐9 题略 2‐10 解：根据光束在平行平板上发生的双光束干涉可知，在反射光的方向上发生干涉加强 的条件是：
则计算得到
Δϕ = k Δ =
2π
d ⎡ n 2 − sin 2 θ − cos θ ⎤ ⎦ λ ⎣
2‐2 解：利用 54 页的公式(2.1‐3)和(2.1‐4)，建立如下图所示的坐标系，即沿着表面的方向为 x 方向，可知，
ϕ = k1 • r − k1 • r = k sin
v
v
v
v
因此，2‐4 题的三个小问题不难回答，计算省略，请同学根据以上分析思路自行计算。 2‐5 解：当在一个狭缝处放置玻璃片导致干涉条纹在接收屏上发生平移，假设中央亮纹移动 到 P 点（如教材 119 页图 2‐76 所示） ，则表明两条光束经过狭缝后到达 P 点的光程相同，则 表明，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
L ( S1 P ) = L ( S2 P ) + ( n − 1) t
k 5 λ0 = λ ( k = 1, 2,3,K) 4 2
很容易计算得到在可见光波段内，有两个波长 0.458μm 和 0.687μm 的光具有最大的反射， 分别对应绿光和红光，而人眼看到是这两种颜色的混合，是什么颜色呢？ 2‐30 具体参考教材 74 页。 2‐31 参考教材 75 和 76 页， 目前有成熟的商业软件来计算这个问题， 请大家去网络上搜索。 2‐35 解：根据空间相干性的基本条件（参考教材 102 和 103 页） ，使双缝发生干涉的最大横 向宽度满足，
( n − 1) L = m
λ
2
其中，L 为玻璃管的长度。带入参数，得到 n=1.0002925 2‐20 略，具体可参考教材 61 页。 2‐21 解：在此情况下，两光束相当于发生了等厚干涉（两个反射镜形成了一个劈尖） ，则干 涉条纹间距为
ΔL =
带入参数，最终计算得到
λ
2n sin α
dt ≤
带入参数可知
λR
b
=
λ θ
dt ≤ 59.2 μ m
2‐36 参考教材 103 页，上 2‐35 题类似。
2‐37 和 2‐38 与 2‐36 类似。 2‐39 解：根据基本的关系
c
ν
= λ ，进行微分运算可知 −c
ν2
即
Δν = Δλ Δλ
−Δν
ν
因此，
第二章 光的干涉
2‐1 解：此题非常简单，主要考察一个基本的概念，那就是相位变化等于波数与光程变化的 乘积，即
Δϕ = k Δ =
2π
λ
Δ
现在比较下图所示的两条光线的光程差（即从入射点到红线所示位置的中间的光程差值） ， 利用基本的三角函数关系，非常容易计算得到：
Δ = d ⎡ n 2 − sin 2 θ − cos θ ⎤ ⎣ ⎦
2nh = mλ1 = ( m + 0.5) λ2
λ1 + λ2
2
带入参数，最终计算得到
= 600nm
Δλ=9×10‐3nm 2‐25 略，具体请看教材 69 页的公式(2.2‐16)和(2.2‐17)。 2‐26 解： （1）没有镀膜时的上下界面反射率都为
⎛n −n ⎞ R = ⎜ 1 2 ⎟ = 0.36 ⎝ n1 + n2 ⎠
2nh +
λ
2
= mλ ( m > 0 )
可知，当两个不同波长的干涉条纹重合时，同时满足上述条件，则有
1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 2nh = ⎜ m1 − ⎟ λ1 = ⎜ m2 − ⎟ λ2 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝
带入参数：λ1=0.5μm，m1=6，m2=7，则
λ2=0.423μm 2‐17 解：根据平板双光束产生干涉的条件可知
φ=
2π
λ
Δ≈
2π yd λ D
则接收屏上干涉最大和最小出现的位置分别是
y=m
（2）相位差由光程差计算得到，即
Dλ 1 ⎞ Dλ ⎛ 和 y = ⎜m + ⎟ d 2⎠ d ⎝ Δϕ = k Δ = 2π Δ
λ
（3）任意一点的光程由如下公式计算
I ( P ) = I1 ( P ) + I 2 ( P ) + 2 I1 ( P ) I 2 ( P ) cos Δϕ
=
λ
Δλ
Δν
ν
=
λ
已知λ=632.8nm，Δλ=2×10‐8nm，则很容易根据上式计算出
ν = 4.74 ×1014 Hz
Δν = 1.49 ×104 Hz
（相干长度） Δ c =
λ2 = 2 × 104 m Δλ
2‐40 这是一道非常好的题目，在某年北理工的考研题目中曾涉及，考察的基本内容就是两 个波长产生的混合干涉条纹的强度分布问题。 基本的思路是： 分别计算出每个波长干涉条纹 的干涉强度分布，总干涉强度就是两者强度的和，然后再分析总干涉强度的分布规律。具体 分析过程略，可参考北京大学赵凯华编写的“光学”一书中光的干涉的章节。
ϕ = k R • r − kO • r = k sin θ R x − ( −k sin θO x ) = k sin θ R x + k sin θO x
v
v
v
v
则最终相邻两个亮条纹的间距为
Δx =
λ
sin θ R + sin θO
2‐4 解：此题是杨氏双缝干涉的经典题目，主要的知识点就是： （1） 对于接收屏上任意一点，两条光束在该点的相位差为
在获得劈尖角度的情况下，根据上式 ΔL =
λ
2n sin α
，可计算得到绿光的波长为λ=0.55μm。
（2‐13 略） 2‐14 解：此题是关于牛顿环反射光干涉条纹分布的问题。牛顿环中心区域是否为暗条纹主 要取决光束在空气层上下表面发生反射时是否存在“半波损失” ，因此这一问题又要追溯到 第一章的内容，请参考教材 33 页的图 1‐29 和教材 60 页对这一问题的分析。具体图形略。 2‐15 题参考教材 65 页的分析。 1‐16 解：根据牛顿环干涉形成亮纹的条件
Δ = 2nh cos θ 2 +
对上式做微分运算可得，
λ
2
= mλ
2nΔh cos θ 2 = Δmλ
即
Δh =
Δmλ = h0τΔT 2n cos θ 2
其中τ为膨胀系数，ΔT 为温度变化。带入参数，最终计算得到
τ = 4.22 × 10−4 / ( m ×o C )
2‐18 解：根据 Michelson 干涉仪的基本原理，当其中一路的光程变化二分之一波长时，干涉 条纹移动一个级次，即