薄壁箱梁弯曲理论

图示的薄壁单元体的平衡条件为 q t z 0
s z
薄 壁 单 元 体 中 的 剪 力
流
当薄壁构件的横截面具有一个对称轴时,则该对称轴总是主轴,箱
形梁一般地都具备这一条件，主轴惯性积
I xy 0
因此，法向应力为
z

Mx Ix
y
My Iy
x
s 把平衡条件式移项后并沿薄壁中心线对曲线坐标
1 d dz
距中性面处 y 的任一纤维的应变
z

y

y
表明：梁中的纵向应变与该点的曲率以及该纤维离中性面的距离 成正比。该式是梁纯弯曲变形的基本方程，且与材料性质无关。
在一维线弹性情况下，由应力应变关系的虎克定律得到
Ey
由截面法向力的平衡可以求得法向应力与外力弯矩的关系为
y0

y0

y
0

x0 、y0又可表达为
n
x0 2 Aiqi i 1
n
y0 2 Aiqi i 1
(Qy 1)
(Qx
1)

值得注意的是，剪切中心与形心并不在同一点上
薄壁箱梁的剪力滞效应理论
（1） 剪力滞效应及其分析方法
为了说明剪力滞效应的基本概念,先取一悬臂箱形薄壁梁为例,在
G
q
ds 0
上式即为剪切变形的协调条件．G得t到

q0 Gt
ds

qi
ds Gt

0
所以，附加未知剪力流为
q0 ds
qi
Gt ds
Gt
单室箱形截面
当箱形梁采用同一材料时，剪切
模量G为一常数，可简化为
ds
qi
q0 t ds
t
单室箱形截面弯曲时总的剪力流由下式求得


I x Iy

箱形截面的剪切中心计算要根据截面上的剪力流的平衡条件求
x 出,即要求截面上的剪力流沿 、y 两方向的合力分别等于作用在
q 该截面上的外剪力 Qx 、Q y 。同时要求外剪力 对于形心的扭矩分
别等于由于剪力产生的剪力流 对形心的转动力矩
Qy x0 q(Qy )ds s
M
z ydA E y dA EI x
My Ix
对于如图所示的偏心压弯杆，M x Pe y
M y Pex
z

P A
I xy x I y y
I
2 xy

Ix
I
y
Mx

I xy y I x x
I
2 xy

I
x
I
y
My
(2) 开口截面的弯曲剪应力
梁弯曲的初等理论对于实腹梁，其弯曲剪应力 平行于剪力
0
1 2
l 0
A3u
2dz

l Mwdz 1
0
2
l
EI
(w)
2
dz

0
l 0
A1
(u)2
dz

l 0
A2uw2dz
EI Eb h/ 2 y2dy Ebh3
h / 2
12
A1

Eb
h/2 h / 2
f
2 ( y)dy
h/2
A2 Eb h/ 2 yf ( y)dy
Ix
x 翼缘板中的剪应力沿 轴是线性分布的，在翼缘板外边缘处剪应
力等于零。
(3) 剪切变形的影响
如图所示的矩形直梁，该横截面翘曲位移函数 f ( y) ，与其对应
的沿轴线变化的广义位移 u( z)，挠曲位移 w(z) 则
轴线 挠度
w w(z)
横截面上任一 点的轴向位移
u(x, y, z) f ( y)u(z) yw(z)
ch kz kl 2 ch kl
k1k2
q k2
z2 2
a2 z a3
纵向位移为
2
sh kz kl
u a1
ch
kl
2


k1q 2k 2
(l

2z)
2
跨中挠度 (z l / 2)
截面正应力


w1/ 2

5ql 4 384EI


a3
1
k1 k2 /( A1 A22 / EI ) k2 A2 / EI
若取
f ( y) sin y
h
q 则 对于简支梁A1 承 E受b均2h ,布A2荷载E
2bh
2
2的, A情3 况G，b2可h2求得挠度为
w
q 2EI

lz3 6

z4 12


k 2 a1 k
最早涉入剪力滞问题的理论推导是弗·卡曼（ T.V.Karman ），他
曾取一跨径为 2l 且承受余弦形荷载的连续梁为解析对象，利用最
在每一个切口处建立一个变形协调方程，其一般形式为
i
q0i Gt
ds

qi
ds
i Gt
qk
i,k
ds Gt

0
i 1,2 n
i k 为与第 室相邻的室。
如下图所示三室箱形截面，当所用的材料相同时，可以建立如下三
个方程。
q01
1t
ds q1
ds 1t
q2
的从，而因整此个最腹大板剪截应面力上的m剪a应x 力与分最布小是剪接应近力于均匀mi的n 。数因值此差作别为不大近似，
th 计算可以直接将剪力 Q 除以腹板面积
作为腹板的最大剪应
力。计算翼缘板中的剪应力时，对中性轴的一次矩 S 为
S

b1

h 2

h1 2

y
2
翼缘板的剪应力
Qb1 y2
Q，并认为剪应力沿梁宽方向的分布是均匀的。因此，剪应力的计
算公式为
QS
I xb
偏心压弯杆
对于箱形梁的剪应力计算。可
近似地将箱形梁看成宽翼缘的
工字梁。对于宽翼缘的工字梁，
其腹板剪应力平行剪力作用的
宽
竖向轴，而翼缘剪应力平行于 x
翼
轴，并假设沿板厚度方向均匀
缘
分布，则剪应力计算公式同样
梁 腹

y0 q0 (Qx 1)ds qi (Qx 1)
s
i 1
ds
式中 x0 、y 0 表示箱形截面的剪切中心，用 x0 、 y 0 代表式中的
第口截一面项闭，合即时虚所设要开求口的截剪面切的中剪心切的中位心移位，置则；写成x0 、y 0 表示虚设开
x0 x0 x0
10 薄壁箱梁的弯曲理论
梁弯曲的初等理论 箱形梁的弯曲剪应力 薄壁箱梁的剪力滞效应理论 剪力滞效应的变分解法 超静定结构的剪力滞效应 剪力滞效应的比拟杆解法 小结 本章参考文献
梁弯曲的初等理论
(1) 弯曲正应力
在纯弯曲下，梁截面的变形服从平截面假设。则根据变形的几
何关系可得到
B
如果单室箱形截
面对 y 轴对称，
并且横向外力的 作用线也与对称 轴重合,如图所示。 则杆件弯曲时， 位于对称轴上
的A 、两点的剪
力流等于零，因 此，可以利用对 称性将箱形截面
的切口虚设在 A 、B
两点中的任一点，
单室对称箱形截面的剪力流
q

q0


q0
ds t

ds t
断面中心线坐标s
的起点也先取在 切口处，此时不 必求附加剪力流
不考虑横向挤压应变时，有


u z

f ( y)u
yw

则考虑剪切应变能时 的wz总势能uy为 f ( y)u

l h/ 2 Eb 2dydz l h/ 2 Gb 2dydz
l
Mwdz
2 0 h / 2
2 0 h / 2
静定问题。为了确定剪力流的初始值 q ，必须在箱形截面的任一
位置上虚构一个切口，这样箱形截面也就转化为开口截面来求解。
q q0qi
因此，必须在虚设的切口处满足变形连续条件，即在虚构的切口 处两对应面的相对位移等于零．
ds 0
式中 剪切变形，剪力流 q t 因此上式写成
p 悬臂端的梁肋处施加一对集中力 ，如图所示
剪力滞效应示意
在平行于截面 AD 处，应用初等梁的弯曲理论，顶板上得到
均匀分布的弯曲拉应力。离固端处愈近，拉应力的强度也愈高。但 是实际上，腹板传递的剪力流在腹板与翼缘板的交界处要大，而向 板内传递的过程中，由于翼缘板（上、下翼板）存在剪切变形，故 向板内传递的剪力流要逐渐的变小。以顶板为例，其拉应力在顶板 宽范围之内的分布是不均匀的，呈现板的中间小而两边大的分布状 态。很明显，肋处的剪力流向板中传递过程，有滞后现象，所以工 程界称之谓“剪力滞效应”或“剪力滞后现象”。定 义 0

xtds
0
s Ix 0
Sy

xtds
0
Iy 0
则
q

Qy Ix
Sy

Qx Iy
Sx
当构件上只作用有 Q y 时,上式又简化为
q


Qy Ix
Sy
与实腹梁的剪应力计算公式形式上是一致的
(2) 单室箱形截面的剪力流
在计算箱形截面剪力流时遇到的困难是任意起始点的剪力流
是未知的(开口薄壁截面杆件自由边缘的剪力流q 0) ,它属于超
由变分原理有
A3

Gb
h/2
[
h / 2
f
( y)]2dy
0
l
δ
[( EIw
0

A2u

M
)δ
w

( A1u

A2 w)δ
u

A3uδ
u]dz

l
[(EIw
0
A2u
M
)δ
w

( A1u

A2w
A3u)δ
u]dz
[δ
u( A1u

A2 w)]l0

0
得控制方程
EA1IuwAA22wu
M A3u

0
受弯矩形梁的尺寸及坐标
及边界条件 整理后得
δ
u[A1u
A2
w]
l 0

0
u

K
2u

k1M

w


M EI

k2u
式中
k 2 A3 /( A1 A22 / EI )
得到(图示)
进行积分,
q(s, z) q(z) s z tds 0 z
开 口 薄
壁
截
面
的
平
衡
条
注意到只有弯矩 M x 、M y 是 z 的函数，并有
件
M y z
Qx
M x z
Qy
可以得到剪力流方程
q Qy
s ytds Qx
s
xtds
s
Sx
可以适用
板
中
的
剪
应
力
宽翼缘梁计算截面以外面积（图中的阴影部分）对中性轴的一 次矩为
S

b 2

h2 4

h12 4


t 2

h12 4

y12

腹板中的剪应力


Q I xt


b 2

h2 4

h12 4

t 2

h12 4

y12
令 y1 0 ，可求得最大剪应力
max

Q I xt
bh2 (
8
bh12 8

th12 ) 8
它发生在中性轴处。若令 y h1 ，可得腹板最小剪应力
2
m in

Q I xt
bh2 8

bh12 8

t 一般地，宽翼缘梁腹板的厚度 与翼板宽度 b 相比是比较小

1 ch kl

k1k2
ql 2 8k 2

2
z

M I
y

Eu s in
y
h

k2
y

a1

k1 k3
q
上列各式中
a2

ql 3 24EI

k1k2
ql 2k 2
a3


k2 k
a1
由此可见，无论是应力，还是挠度，均与初等梁理论有所不同。
箱形梁的弯曲剪应力
(1) 薄壁构件单元体中的剪力流方程
ds 1,2 t
0
q02
2t
ds q2
ds 2t

q1
ds 1,2 t
q3
2,3
ds t


0
q03
3t
ds q3
ds 3t
q2
ds 2,3 t
0
多
室
箱
形 截 面
q q0 qi
的
剪
力
流
（4） 箱形截面的剪切中心
前面在分析箱形截面构件的弯曲时，都假定横向外力的作用线 通过剪切中心这一特殊点，这样杆件在外力作用下不产生扭转，只 发生弯曲变形。开口截面的剪切中心的计算公式，通过横向外力作 用线通过该点使截面不产生扭转变形这一条件可以得到。
x0

I y Iy I xy Ix
IxIy

I
2 xy

b
Ix

xtds
0
b
y0

I xy Iy I x Ix
IxIy

Iห้องสมุดไป่ตู้
2 xy

当坐标轴为主轴时，则简
x0

I y Ix
I y

ytds
0
s
ds
0
化为 I xy 0,
y0
（ qi 0 ），杆
件弯曲时产生的 剪力流可直接按 照开口截面的公 式计算。剪力流 的分布对称于竖
向对称轴
(3) 多室箱形截面的剪力流
首先将闭合截面都切开，转化为开口截面，然后应用变形协调
条件，使被切开的截面恢复为原先的闭合截面，从而求得剪力流。
n 这样有 n 室组成的箱形截面切开后，就有 个多余剪力流。可以


Qx y0

s
q(Qx
)
ds

中心令的Q位x 置、。Q式y 分中别的等剪于力1流，是则假上想式开的口左截边面（剪x力0流、y与0 附）加即多表余示剪剪力切
流的叠加值。因此有
x0
n
q0 (Qy 1)ds qi (Qy 1)
ds
s
i 1

n