经典力学_王其申_动量和牛顿定律

第二章 动量和牛顿定律
2.1.1 一质量为m 的质点在XOY 平面上运动，其运动方程为
j t B i t A r sin cos ，其中A 、B 和 均为正常数，则该质点在任意位置r 处所受合外力F 为多少？
2.1.2 一汽艇质量为m ，关闭发动机后由于惯性继续前进，前进时受到与速度成
正比的河水阻力，比例常数为k )0( k 。

若该汽艇先以恒定的速度0v 向岸边靠拢，
问它应当在离岸多远处关闭发动机，才能在到达岸边时恰好停下来（速度无限接近于零）。

2.1.3 一辆装煤车以s m /3的速度从煤斗下面通过，煤粉通过煤斗以每秒5t 的速率注入车厢。

如果车厢的速率保持不变，车厢与钢轨间摩擦忽略不计，求牵引力的大小。

2.1.4 质量为m 的小球在水平面内作速率为0v 的匀速圆周运动，试求小球在经
过：（1）41圆周，（2）21圆周，（3）43
圆周，（4）整个圆周的过程中的动量改变。

试从冲量的计算得出结果。

2.1.5 某物体上有一变力F 作用，它随时间的变化关系如下：在s 1.0内， F 均
匀地由0增加到20N ；又在以后s 2.0内，F 保持不变；再经s 1.0，F 又从20N 均匀地减少到0。

（1）画出F-t 图；（2）求这段时间内力的冲量及力的平均值；
（3）如果物体的质量为3kg ，开始速度为s m /1，与力的方向一致，问在力刚变为0时，物体速度多大？
2.1.6 如图所示，一个质量为1m 的物体拴在长为1L 的轻绳
上，绳的另一端固定在一个水平光滑桌面的钉子上。

另一物体质量为2m ，用长为2L 的绳与1m 连接。

二者均在桌面上做匀速圆周运动，假设1m 、2m 的角速度为 ，求各段绳子上的张力。

2.2.1 美丽的土星环在土星周围从离土星中心是73000km 延伸到距土星中心136000km 。

它由大小从6
10 m 到10m 的粒子组成。

若环的外缘粒子的运行周期是14.2h ，那么由此可求得土星的质量是多大？
2.2.2 如果在土星的赤道上放置一颗同步卫星，这卫星应在土星表面以上多高处？它发射的雷达波（沿直线传播）能覆盖土星表面多大面积？已知土星质量为
km 271089.1 ，半径为kg 41014.7 ，自转周期为10h 。

2.2.3 证明：一个密度均匀的星体由于自身引力在其中心处产生的压强为：
2
232R G P ，其中R , 分别是星体的密度和半径。

2.2.4 以绳沿水平方向用为F 牵引质量为m 的物体，不计绳质量和摩擦，求绳内
A 、
B 两点处张力。

若计绳质量呢？
（2.4.4图） （2.4.5图） （2.2.6图）
2.2.5 用一轻绳在天花板O 点悬挂一重W 的物体，并在A 处施以向上的力F ，
物体保持静止。

求：天花板作用于绳的力B 及C 点的张力。

2.2.6 用力F 推水平地面上一质量为M 的木箱。

设力F 与水平面的夹角为 ，木
箱与地面间的滑动摩擦系数和静摩擦系数分别为k 和s 。

（1）要推动木箱，F
至少应多大？此后维持木箱匀速前进，F 应需多大？（2）证明当 角大于某一
值时，无论用多大的力F 也不能推动木箱。

此 角是多大？
2.2.7 设质量kg m 50.0 的小球挂在030 倾角的光滑斜面
上。

（1）当斜面以加速度2
/0.2s m a 沿如图所示的方向运动时，绳中的张力及小球对斜面的正压力各是多大？（2）当斜面的加速度至少是多大时，小球将脱离斜面？
2.2.8 质量为m 的小球沿半球形碗的光滑内面，正以角速度 在一水平面内作匀速圆周运动，碗的半径为R ，求该小球作匀速圆周运动的水平面离碗底的高度。

2.2.9 长为l 的细绳（质量不计）一端固定，另一端系一小球。

当小球处于平衡位置时，给以一个水平的初速度u ，要使小球沿圆周运动而绳不会松弛，u 值应
为多大？
2.2.10 在半径为r 的光滑球面的顶点处，一质点开始滑落，取初速度接近于零。

试问质点滑到顶点以下多远的一点时，质点离开球面？
2.2.11 图中A 为定滑轮，B 为动滑轮，3个物体的质量分别为：g m 2001 、g m 1002 、g m 503
（1）求每个物体的加速度；
（2）求两根绳中的张力1T 和2T 。

假定滑轮和绳的质量以及绳的伸长和
摩擦力均可忽略。

2.3.1 水以h km v /21 的流速向东流动，游船相对水以h km v /82 的航速在向东
偏北060的方向上航行，一游客在甲板上以h kg v /13 的步速向正北方向行进。

试求游客对岸的速度4v 。

2.3.2 飞机A 以h km v A /1000 的速率（相对地面）向南飞行，同时另一架飞机
B 以h km v B /800 的速率（相对地面）向东偏南030方向飞行。

求A 机相对B 机
的速度与B 机相对A 机的速度。

2.3.3 一人能在水中以s m /1.1的速度划船前进。

今欲横渡一宽为400m ，水流速度为s m /55.0的大河。

（1）倘若要从出发点横渡过河而到达对岸的一点，那应如何确定划行方向？到达对岸需多少时间？（2）如果希望用最短的时间过河，应如何确定划行方向？船到达对岸的位置在什么地方？
2.3.4 飞机以速度v 水平飞入无风的雨区内，雨点以速度u 垂直落下。

驾驶舱有
两块面积各为S 的玻璃窗，一窗在驾驶员上方，一窗在驾驶员前方与水平方向夹角为 ，试求飞机进入无雨区后落在前方和上方两扇玻璃窗上的雨量之比是多少？
2.3.5 设有一架飞机从A 处向东飞到B 处，然后又向西飞回A 处，飞机相对于空气的速率为v ，而空气相对于地面的速率为r v ，A 、B 之间的距离为l ，飞机相对空气的速率v 保持不变。

（1）假定空气是静止的（即r v =0），试证来回飞行时间为v l t /20；
（2）假定空气的速度向东，试证来回飞行的时间为201)(1v v t t r
；
（3）假定空气的速度向北，试证来回飞行的时间为202)(1v v t t r。

2.3.6 一小船被水冲走，被发现后用绳将它从河中B 处拉回到岸边A 处。

假定河水流速沿河宽不变，恒为1u ；拉船时收绳速率恒为2u 。

求小船的运动速度和运动轨迹。

2.3.7 一电梯以1.22s m
的加速度下降，其中一乘客在电梯开始下降后0.5s 时用手在离电梯底板1.5m 高处释放一小球。

求此小球落到底板所需的时间和它对地面下落的距离。

2.3.8 一电梯以加速度a 匀加速上升，当上升速度达到0v 时，有一螺钉自天花板
松落。

天花板与电梯底面间相距为d 。

试求：（1）螺钉从天花板落到底板所需时间；（2）这段时间内螺钉相对地面的位移。

2.3.9 一平台绕固定在地面上的竖直轴以匀角速度 旋转。

一动点P 在平台从转轴处出发，以定速度v 沿一半径向外运动。

求这个动点相对于平台和相对于地面的速度、加速度和运动轨迹。

2.4.1 三艘质量相等的小船鱼贯而行，速度均等于v 。

如果从中间那艘船上同时以相对中间船速度u 把两个质量均为m 的物体分别抛到前后两艘船上，速度u 的方向和速度v 在同一直线上。

问抛掷物体后这三艘船的速度如何变化？
2.4.2 如图，一浮吊，质量M=20t ，由岸上吊起m=2t 的重物后，再将吊杆OA 与竖直方向的夹角 由060转到0
30，设杆长m OA l 8 ，水的阻力与杆重忽略不计。

求浮吊在水平方向移动的距离，并指明朝那边移动。

2.4.3 如右图，一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m 及M 的物体，M 大于m 。

静止于地面上，当m 自由下落距离h 后，绳子才被拉紧。

求绳子刚被拉紧时两物体的速度，以M 及能上升的最大高度H 。

2.4.4 质量为M 的人手里拿着一个质量为m 的物体，此人用与水平面成角 的速率水平向前跳去，当他达到最高点时，将物体以相对于人的速率u 水平向后抛出。

问：由于人抛出物体，他跳的距离增加了多少？假如人可视为质点。

2.4.5 一静止的放射性原子核，在衰变过程中放射一个电子和一个中微子，电子和中微子的速度互相垂直，电子的动量为1.22210
s m kg ，中微子的动量为6.42310 s m kg ，求原子核放射性衰变后反冲动量的大小和方向。

2.4.6 水分子的结构如图，两个氢原子与氧原子的中心距离都是0.0958nm ，它们与氧原子中心连线的夹角为0
105，求水分子的质心。

2.4.7 如图，
1m 和2m 用质量可略去不计的刚性细杆相连接，1m 和2m 分别为10kg 和6kg 。

开始时它们静止在xy 平面上，它们受到如图所示的外力作用，1F =8i N,
2F =6j N 。

试求：（1）它们的质心坐标随时间的变化规律；（2）系统总动量随时间的变化规律。

2.4.8 试证：相互作用的两个质点A 和B ，在不受外力作用时，质点A 相对于质点B 的运动，相当于把B 看成在惯性系中不动时另一个质量为M=)(2121m m m m 的质点相对它的运动，其中1m . 2m 分别是质点A 和B 的质量，M 称为这两个质点的折合质量。

2.4.9 人从高台跳下地时，总是不自觉地先弯腿再站起来，为什么？
2.4.10 铁路上有一平板车，其质量为M ，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动。

现有N 个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m ，相对平板车的速度
均为u 。

问在下述两种情况下，平板车的末速度是多少？（1）N 个人同时跳离；
（2）一个人、一个人跳离。

所得的结果为何不同？
2.4.11 在太空中静止的一单级火箭，点火后，其质量减少到与初质量之比为多大时，它喷出的废气是静止的？
2.4.12 有一辆总质量为M 的装满沙子的小车，车下有一可调节的小孔。

当小车
在恒力F 作用下开始运动时，沙子从小孔漏出，且每秒均匀漏出m 克，若小车
与地面的摩擦不计。

试求小车的速度v 和加速度a 。

2.4.13火箭是依靠自己所载燃料燃烧后，从尾部向后方喷出高速气流而加速运动的，设火箭喷气速率（相对于火箭）为u ，不计重力和阻力。

（1）试建立火箭的运动微分方程；（2）若火箭从发射架上由静止出发喷气上升，喷气速率
u=3000m/s，出发时火箭总质量为0m=1t，其中储有燃料500kg。

求燃料全部用完后火箭的速度.
2.4.14质量为1m的质点，沿倾角为 的光滑直角劈滑下。

劈的质量为2m，又可在光滑水平面上自由滑动。

试求：
（1）质点水平方向的加速度1x ；
（2）劈的加速度2x 。

思考题
1.物体速度的改变有哪几种情况？在各种情况中，合外力对物体作用的方向
怎样？
2.汽车靠地面的摩擦力才能前进，但地面的摩擦力又阻碍它的运动，这个矛
盾应如何解释？
3.“苹果落到地面上而不是地球向上去碰苹果，唯一的理由是因为地球的质
量大得多，所以苹果受到较大的力”，你对这一论述是否同意，并说明你的理由。

4.分析两人拔河时，绳和人的受力情况。

为什么胜方能将对方拉过来？有人
说由于胜方对负方的作用力大于负方的作用力，对吗？
5.用桶装雨，当刮风时与不刮风时，哪一种情况能快些装满？设风的方向与
地面平行。

6.有一旅客站在火车尾厢后面平台上，以不同的速度抛出石块。

问在铁路路
基旁的观察者所看到这石块的运动是怎样的？
（1）让石块相对于车的水平初速度为零，垂直向下落；
（2） 沿水平方向向车后掷出，使石块相对于车的速度等于火车相对于地
面的速度。

7、 下雨时，设雨点相对于地面以匀速垂直下落，有人在车内观察雨点的运动，
试说明在下列各种情况中，他所观察到的结果。

（1）车是静止的；（2）车以匀速沿平直轨道运动；（3）车以加速度沿平直轨道运动；（4）车以匀速率作圆周运动。

8、 如果火箭中从后面喷出的气体的速度小于火箭本身的速度，火箭的速度能
否增加？设空气对火箭的阻力可忽略。

9、 弹簧振子在水平方向作简谐振动（弹簧力属于该系统的内力），重物的速
度随时间作周期性的变化。

这与动量守恒定率是否相矛盾？
10、 把一块很长的木块安装上轮子，放在光滑的平面上。

有两人站在板上从板
的两端相向行走，在下述的三种情况中，木板向哪个方向运动？
（1） 两人质量相同，速度的大小相同；
（2） 两人的质量不同，而速度的大小不同；
（3） 质量相同，而速度大小不同。

11、 在地面上空停着一个气球，在气球下面吊着的软梯上站着一人，当这个人
沿着软梯往上爬时，（1）气球是否运动？怎样运动？（2）对于人和气球所组成的系统，在铅直方向上的动量是否守恒？
12、 从大船跳上岸容易，还是从小船跳上岸容易？在这两种情况下，人和船所
组成的系统动量变化是否相等？
第二章 动量和牛顿第二定理
2.1.1 解：sin cos dr v A ti B tj dt
v r r v
22cos sin dv a A ti B tj dt v r r v 、 222cos sin F ma mA ti mB tj m r v v v v v
其中“—”表示F v 方向与r v
方向相反，即指向O 点。

2.1.2 解：法一：汽艇的运动方程：dv kv m dt 积分：00v t v dv k dt v m . m kt e v v 0
当,0t v 故关闭发动机时离岸的距离：
k mv dt e v vdt s m kt 0
000
法二：dv dv ds dv kv m m m v dt ds dt ds 0v v 时S=0，V=0时汽艇移动的距离S ，得
k mv s ds dv k m s v 0000
2.1.3 解：煤粉落入车厢前的水平速率为零 N v dt dm F v dt dm t d p d F 43105.13105
2.1.4解；如图所示，取坐标，有
= 20200020000
cos sin cos sin cos sin sin cos sin (cos 1)2t t t mv F F ti F tj ti tj R
mv P I Fdt ti tj dt R
mv ti tj R mv t i t j R T v
r r r r r r r r r r r r r r
00
000
00
(1)4(2)22223(3)4(4)00
T
t P mv i j P T
t P mv j mv j
P mv T
t P mv i j P t T P P r r r r
r r r r
r r r r
r ，有，有，有，有
2.1.5 (1)F t 图略 （2） 0.40.2
2062
I N S
g 即面积 力的方向不变0
t
I Fdt Ft
6150.4
I F N t
（3）21I mv mv
12631
3/)3
I mv v m s m
（ 2.1.6解：对2m ，由牛顿第二定律： 2
21212T m L L
对1m ，由牛顿第二定律：2
11211T T m L
2112T T 再由牛三定律
22111212T m L m L L 22112212T T m L L
2.1.7 2.2.1 2.2.2 2.2.3
2.3.1解：以m 表示土星的外缘上一粒子的质量，M 表示土星的质量，由万有引力和牛顿第二定律：
2
224.Mm G m R R T
3
282
3
26
2211
4 1.36104 5.7106.671014.23600R M kg GT
2.3.2解：以r 表示同步卫星m 距土星中心的距离则由引力定律和牛顿第二定律得：
2
22Mm G m r r T
11
2
11
2
3
3
8
22
6.6710 1.89(103600) 1.611044GMT r m
8871.61107.14108.9610h r R m
其发射雷达波的覆盖的面积为：
22221cos 212R h S R R R r r
2
478
7
2
27.14108.9610/1.61101.7710km
2.3.3证明：设距中心处厚为dr ，底面积为ds 的一块物质，其质量为dsdr ，它受内部球体引力为：3
22
44
33dm dF G r G rdrds r
dm 对ds 的压强为2
43
dF dp Grdr ds
整个星体由于自身引力在中心处的压强为：
2220
42
33
R
P G rdr G R
2.3.4解：取物体与绳为隔离体。

取水平坐标轴ox ，有： ma F
在A 点作假想截面，取A 点左边的绳和物体一起视为隔离体
ma A T (不计绳子质量)
F A T
同理：B T F
若计入绳子质量，,.A B T F T F
2.3.5解：以物体和悬绳为隔离体，取向上为正，有 00F F W 0F F W
在B 点作假象截面，取其上部为隔离体，有： 0B F F F W
在C 点作假象截面，取其下部为隔离体，有： C F W
2.3.6解：（1）以木箱为研究对象，建立直角坐标系，由牛顿第二定律得： x 方向：min max cos 0F f y 方向：min sin 0N F Mg 其中max s f N
sin cos min s s Mg
F
在木箱作匀速运动情况下，如上，得：
sin cos min k k Mg F
（2）在min F 式中，若(cos sin )0s ，则min F ，即力要无限大，所以条件是：
(cos sin )0s
则 最小值为1
s
arctg
2.3.7解：以小球为研究对象，建立直角坐标系，由牛顿第二定律，有：
x 方向：cos sin T N ma y 方向：sin cos 0T N mg
1
(cos sin )0.5(29.8) 3.32()22
T m a g N
)(75.3)21
2238.9(5.0)sin cos (N a g m N
由牛顿第三定律，小球对斜面的压力'
3.75()N N N （2）小球刚脱离斜面时0N ，则 ma T cos mg T sin
29.817.0(m /s )a gctg
2.3.8解：以小球为研究对象，建立直角坐标系，由牛顿第二定律，得： 水平方向：2
'
2
sin sin N m R m R 2
N m R 竖直方向：cos N mg
22
cos mg mg g
N m R R
离碗底高度：2(1cos )(1)g H R R R
2.3.9解：建立自然坐标系，列出小球运动方程：
sin mg dt dv
m
(1)
cos 2mg T l v m (2)
而d v l l dt
sin g d dv l v dt d d dv dt dv
积分：
sin v
u
vdv gl d
)cos 1(222 gl u v (3)
由(2)(3)消去 : 2
2[3(2)]2m T v gl u l
要使小球沿圆周运动而细绳不会松弛，须0T
而2
2
02v u gl *
由(2)(3)消去v: 2
[(23cos )]m T u gl l
gl u 52 ** （ *,**都为小球沿圆周运动的条件，*为下半圆周运动条件,**为整个圆周运动条件。

） 2.3.10解：设在相对于竖直直径为1 角的球面处离开球面，在自然坐标系中
法线方向：2cos v mg N m r
而0N ,2
11cos v rg
切线方向：22()sin sin dv dv d r d mg m g r dt dt dt dt
两边各乘
d dt
,得：
dt d dt d r dt d g 2
2sin
即2(cos )[()]2d g d r d dt dt dt
c
r v
r c dt d r g 22)(2)(2cos
当0 时，00v ，可得c g
)cos 1()(22 g r v
r
)cos 1(22 rg v
当0N 时，1v v ，1 ，综合法向、切向可得
)cos 1(2cos 11 rg rg
32cos 1
2.3.11解：对地面参考系，oy 轴向下为正，设三物体的对地加速度分别为
123123,,,a a a a a a v v v v v v
假设其方向为：向下，向下，向上
它们各自受力如图，以2'a v
表示2m 对于滑轮B 的加速度，则： 22
1321,a a a a a a 对123,,m m m 分别列出牛顿第二定律方程： 1111a m T g m
222222
1()m g T m a m a a 323332
1()m g T m a m a a 又滑轮B 质量可忽略，所以1220.T T 联立解得
2212
1.96/, 3.92/s a m s a m N
T N T s m a s m a 784.0,57.1/88.5,/96.1212322
2.5.1解：以后船与中间船上抛出的m 为系统，动量守恒：
()M ()()''m M v mu mu
v m v u M m v v v m M m M
以前船与中间船上抛出的m 为系统，动量守恒：
m M mu v v v M m u v m Mv
"")()(
以三船及两m 为系统，动量守恒：
mv Mv Mv v M m v M m 23''''')(')(
v v '''
2.5.2 解：选取地面为参考系，因水的阻力不计，因而浮吊水平方向动量守恒： 设浮吊M 以速度V 向岸边靠拢，重物m 以相对浮吊速度u 向水运动， 由动量守恒定律：(u )0MV m V
u m M m
V
由dS V dt ，ds u dt （S 为M 对岸移动距离，s 为m 对M 移动距离）
ds
m M m
dS 积分得：m
S s M m
3
3
2108(sin 60sin 30)(202)100.266(m)
o o
2.5.3解：由自由落体，m 下降h
的速度为：v 根据动量守恒定律：
1122()()0
T G t mV mv T G t MV
重力12,G G 与12,T T 相比可忽略，同时12T T
m M mv V
将m ，M 与地球看成一个系统，1T 与2T 作功之和为零，只有重力作功，机械能守恒：
21
()()2
M m V M m gH 222()
m h
H M m
注：过程为三段：①m 自由下落刚达h ，此时速率为v
②绳子拉紧，经过△t 后，M 与m 刚达相同速率 ③M 上升达最大高度H 2.5.4 解：分三个过程考虑，
第一过程，人与物体一起作斜抛运动，达最高点速率为：
cos 0V V ，0sin V t g
若人不抛出物体，刚落在离出发点0R 处：
g V R 2sin 200
第二过程，人在最高处水平向后以相对人速率u 抛出物体，水平方向无外力，人 ，物体系
统动量守恒
u M
m m
V V MV u V m V m M
cos ''
)'()(0
第三过程，人以V 速率作平抛运动，跳出总距离：
t V R R
021
（t 等于人从出发达最高点时间）
g M m u mV R g
V u m M m V g V )(sin sin )cos (2sin 21000
020
g m M u mV R R R )(sin 00
2.5.5 解：衰变前原子核静止，动量为零；衰变后设电子动量为1P v ，中微子动量2P v
，剩余部
分动量为P v
，衰变过程中系统不受外力，动量守恒：
120P P P v v v ，
由几何关系
2221P P P
P v 与X 轴夹角：121
P tg P
代入12,P P 得22
1.410
kg m /s P ，028
2.5.6 解：有质量对称分布可知，水分子的质心在氢原子对氧原子所张角的平分线上， 设两
氢原子的质心在B 点，距氧原子中A 距离为
1050.0958cos 0.0583()2
AB nm o
由质心C 定义有：0m 2()2H H AC C m AB AC m
)
(00648.01
2161
20583.0220nm m m m AB AC H H
2.5.7 解：（1）设有外力作用时，质心坐标为： 110220220CO 121264
1.5()106m x m x m x x m m m m m
110220210CO 1212103
1.875()106
m y m y m y y m m m m m
受12,F F v v
作用后，系统质心运动定律，在OX 轴上分量式为：
C 112()x
dv F m m dt
有12C 1()x m m dv F dt 对上式两边取积分:
C 12C 10
()x
v t x m m dv F dt
12C 1()x m m v Ft
将C
C x dx v dt
代入上式：121()m m dx Ftdt 当t=0时，0x x ，设t=t 时，质心C 的x 坐标为c x x ，对上式积分：
C0
121
()c
x t
x m m dx Ftdt
2221
C01281.5(1.50.25)2()216
c Ft t x x t m m （m ）
同理：
C C 21212C 212C 20
()
()()y
v t
y y y dv F m m m m dv F dt m m v F t dt
C022
212C 2C00
12()(1.8750.1875)(m) 2()
c
y t
c y F t m m dy F tdt y y t m m 质心C 坐标与时间的函数为：
j
t i t r c
)1875.0875.1()25.05.1(22
（2）由动量定理：0Ft p p p r
v v v
t j i t F F t F p )68()(21
2.5.8解：设12,r r v v
分别是质点A 、B 对某惯性系坐标原点的位矢，1221,f f v v 分别是B 对A,对B
的力。

根据牛顿第二定律：
211122d r m f dt v v ；222
212
d r m f dt
v
v
， 将第一式乘2m ，第二式乘1m ，两式相减：
21
11222221f m f m dt r
d m m
其中12r r r v v v
是A 相对B 的位矢
由牛顿第三定律：2112f f v v
，记1212/()m m m m
2122d r f dt
v v
即看成一个质量为 的质点在惯性系中的运动方程
这个质点位矢是r v ，受的力是把2m 放在r v
起点时2m 对1m 的力
说明：如果将两方程相加：
0)(221122 r m r m dt d
积分得：1122
12C c m r m r mr t C v
v
v
——质心在惯性系中静止或作匀速直线运动
其中m 是两质点质量之和，c r v
是两质点质心位置。

12,C C 是常矢量，由初始条件决定 由c r v 和r v
，可以得出A 、B 在惯性系中位矢：
1122
c c u r r r
m u r r r
m v v v v v v
若2
1,m m 则1m ，则21,c c r r r r r v v v v v
，说明B 点在惯性系中几乎是静止或作匀速直线运动，
A 相对
B 系运动十分近似于在惯性中运动.如行星相对与太阳的运动.
2.5.9解:以人体为质点组,动量增量:. 00P 0P P v
v
v
从开始着地到静止过程中,人体受重力W 及地面弹力,以F 表示弹力对时间的平均值,根据质点组动量定理或质心运动定理:
0P P c
mv F W t t t
v v v v v
其中c v v
为着地瞬间质心速度.
0P c mv F W W t t
v v v
在Y 轴投影: c y mv F W t
人体始终直立,质心速度很快变成0.t 小,y F 很大,可能损坏膝关节.若弯腿,当着地后,质心还要向下移动较长距离,经过较长时间0c v v
.
质点组动量变化缓慢,地面作用于腿的冲力小得多,较安全.
2.5.10 解：（1）取平板车和N 个人为研究对象，由于在水平方向上无外力作用，故系统在
该方向上动量守恒，取平板车运动方向为坐标轴正方向，设最初平板车是静止的，有
u
Nm
M Nm
v u v Nm Mv
0)(
（2） 若一个人，一个人的跳车，由动量守恒定律 第一个人跳 11[(1)()0M N m v m v u
第二个人跳 221[(2)]()[(1)]M N m v m v u M N m v
21(1)mu
v v M N m
以此类推，第N 个人跳车时，1()()N N N Mv m v u M m v
m M mu v v N N
1
)1211(
Nm M m M m M mu v N
N
n nm M mu 1 因为 1112M m M m M Nm L ，
1112N M m M m M Nm M Nm
L 故N v v
2.5.11解：当火箭体的速度f v 和废气相对火箭的喷出速度u 相等，喷出废气
的速度 u v f 将等于零，由火箭速度公式：
ln()i f i f
M v v u M 0ln
i f f M v u M i f M e M
火箭质量的减小与初质量之比是：10.632i f
f i i M M M M M
2.5.12解：令开始运动时0,t 则到t 时刻小车和沙子的总质量为M mt ，
系统在恒力的F 的作用下的动力学方程为：
mt M F dt dv a dt
dv
mt M F )
( 已知0t 时，v=0,t t 时v v ，对上式积分：
dt mt M F dv v t 00 解得：1ln F v m M mt
2.5.13解：（1）设t 时刻火箭的质量为m ，速度为v ，t dt 时刻，火箭质量变为(0)m dm dm 速度变为v dv ，质量()dm 的气体离开火箭，它的速度为v u 。

由于系统不受外力，动量守恒
()()()()m dm v dv dm v u mv
dm dv u m
火箭运动微分方程 积分00f v
m v m dm dv u m
00ln f
m v v u m 火箭速度V 与残存质量f m 之间的关系 注：令 0f
m N m ， 可推广至多级火箭
22110ln ln N u N u v v （2）33310ln 2 2.0710(/)v m s。