最新变化率与导数、导数的计算

变化率与导数、导数

的计算

第十一节变化率与导数、导数的计算

[备考方向要明了]

考什么怎么考

1.了解导数概念的实际背景．

2.理解导数的几何意义．

3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常

数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，

y＝

x的导数．

4.能利用基本初等函数的导数公式和

导数的四则运算法则求简单函数的导

数.

1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主

要以选择题或填空题的形式考查曲线在某点

处的切线问题，如2012年广东T12，辽宁

T12等．

2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函

数与对数函数、三角函数等，主要考查对基

本初等函数的导数及求导法则的正确利用.

[归纳·知识整合]

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx＝lim

Δx→0

Δy

Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即

f′(x0)＝lim

Δx→0

Δy

Δx＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx.

(2)导数的几何意义：

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(3)函数f(x)的导函数：

称函数f ′(x )＝lim Δx →0

f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

为f (x )的导函数．

[探究] 1.f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？

提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P 0(x 0，y 0)处的切线与过点P 0(x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．

(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？

提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数

3．导数的运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)f ′(x )是函数f (x )＝1

3x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为( )

A ．0

B ．3

C ．4

D ．－73

解析：选B ∵f (x )＝1

3x 3＋2x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2.

∴f ′(－1)＝3.

2．曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线方程为( ) A ．x ＋y ＋2＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0

D ．x －y －2＝0

解析：选A ∵f (x )＝2x －x 3，∴f ′(x )＝2－3x 2. ∴f ′(－1)＝2－3＝－1. 又f (－1)＝－2＋1＝－1，

∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0. 3．y ＝x 2cos x 的导数是( ) A ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin x B ．y ′＝2x cos x －x 2sin x C ．y ＝2x cos x D ．y ′＝－x 2sin x

解析：选B y ′＝2x cos x －x 2sin x .

4．(教材习题改编)曲线y ＝sin x

x 在点M (π，0)处的切线方程是________．

解析：∵f (x )＝sin x

x ，∴f ′(x )＝x ·cos x －sin x x 2，

∴f ′(π)＝－ππ2＝－1

∴切线方程为y ＝－1

π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.

答案：x ＋πy －π＝0

5．(教材习题改编)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.

解析：由题意知f ′(5)＝－1， f (5)＝－5＋8＝3， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2

导数的计算

[例1] 求下列函数的导数 (1)y ＝(1－x )?

?1＋

1x ； (2)y ＝ln x x ；

(3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e.

[自主解答] (1)∵y ＝(1－x )?

???1＋

1x ＝1

－x ＝x?Skip Record If...?－x?Skip Record If...?，

∴y ′＝(x?Skip Record If...?)′－(x?Skip Record If...?)′＝－12x?Skip Record If...?－

2x?Skip Record If...?.

(2)y ′＝????ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2

＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2.

(3)y ′＝????sin x cos x ′ ＝

(sin x )′cos x －sin x (cos x )′

cos 2x

＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x

(4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′

＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln

3＋1)·(3e)x －2x ln 2.

若将本例(3)中“tan x ”改为“sin x

2????1－2cos 2x 4”如何求解？解：∵y ＝sin x 2????1－2cos 2x 4＝－sin x 2cos x 2＝－1

2sin x ∴y ′＝－1

2cos x ．

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求函数的导数的方法

(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；

(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．

1．求下列函数的导数

(1)y ＝x ＋x 5＋sin x

x 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；

(3)y ＝11－x ＋11＋x

；(4)y ＝cos 2x

sin x ＋cos x .

解：(1)∵y ＝x 1

2＋x 5＋sin x x 2＝x?Skip Record If...?＋x 3＋sin x

x 2， ∴y ′＝(x?Skip Record If...?)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′ ＝－32x?Skip Record If...?＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .

(2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.

(3)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝2

1－x ，

∴y ′＝? ????21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2

(1－x )2.

(4)y ＝cos 2x

sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，

∴y ′＝－sin x －cos x .

[例2] 求下列复合函数的导数： (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2?

???2x ＋π

3；(4)y ＝ln(2x ＋5)． [自主解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5 与u ＝2x －3复合而成，

∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′ ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.

(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u?Skip Record If...?与u ＝3－x 复合而成． ∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u?Skip Record If...?)′(3－x )′ ＝12u －12(－1)＝－1

2u?Skip Record If...? ＝－123－x ＝3－x 2x －6

(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π

3，

则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ????2x ＋π3·cos ????2x ＋π3 ＝2sin ?

???4x ＋2π

3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， ∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝2

2x ＋5.

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复合函数求导应注意三点

一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．