最新变化率与导数、导数的计算

变化率与导数、导数

的计算

第十一节 变化率与导数、导数的计算

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考

1.了解导数概念的实际背景．

2.理解导数的几何意义．

3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，

y ＝1

x 的导数．

4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题，如2012年广东T12，辽宁T12等．

2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导数及求导法则的正确利用.

[归纳·知识整合]

1．导数的概念

(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率

lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy

Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即

f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)导数的几何意义：

函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．

(3)函数f (x )的导函数：

称函数f ′(x )＝lim Δx →0

f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

为f (x )的导函数．

[探究] 1.f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？

提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P 0(x 0，y 0)处的切线与过点P 0(x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．

(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？

提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数

3．导数的运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)f ′(x )是函数f (x )＝1

3x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为( )

A ．0

B ．3

C ．4

D ．－73

解析：选B ∵f (x )＝1

3x 3＋2x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2.

∴f ′(－1)＝3.

2．曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线方程为( ) A ．x ＋y ＋2＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0

D ．x －y －2＝0

解析：选A ∵f (x )＝2x －x 3，∴f ′(x )＝2－3x 2. ∴f ′(－1)＝2－3＝－1. 又f (－1)＝－2＋1＝－1，

∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0. 3．y ＝x 2cos x 的导数是( ) A ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin x B ．y ′＝2x cos x －x 2sin x C ．y ＝2x cos x D ．y ′＝－x 2sin x

解析：选B y ′＝2x cos x －x 2sin x .

4．(教材习题改编)曲线y ＝sin x

x 在点M (π，0)处的切线方程是________．

解析：∵f (x )＝sin x

x ，∴f ′(x )＝x ·cos x －sin x x 2，

∴f ′(π)＝－ππ2＝－1

π

.

∴切线方程为y ＝－1

π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.

答案：x ＋πy －π＝0

5．(教材习题改编)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.

解析：由题意知f ′(5)＝－1， f (5)＝－5＋8＝3， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2

导数的计算

[例1] 求下列函数的导数 (1)y ＝(1－x )⎝

⎛⎭

⎫1＋

1x ； (2)y ＝ln x x ；

(3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e.

[自主解答] (1)∵y ＝(1－x )⎝

⎛⎭⎫1＋

1x ＝1

x

－x ＝x«Skip Record If...»－x«Skip Record If...»，

∴y ′＝(x«Skip Record If...»)′－(x«Skip Record If...»)′＝－12x«Skip Record If...»－

1

2x«Skip Record If...».

(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2

＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2.

(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′ ＝

(sin x )′cos x －sin x (cos x )′

cos 2x