同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案7-6

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案7-6 习题7,6
yx,3z,1,, 1, 求过点(4～ ,1～ 3)且平行于直线的直线方程,
215
解所求直线的方向向量为s,(2～ 1～ 5)～所求的直线方程为
y，1x,4z,3,,,
215
2, 求过两点M(3～ ,2～ 1)和M(,1～ 0～ 2)的直线方程, 12
解所求直线的方向向量为s,(,1～ 0～ 2),(3～ ,2～ 1),(,4～ 2～ 1)～所求的直线方程为
y，2x,3x,1,,,
,421
x,y，z,1, 3, 用对称式方程及参数方程表示直线, ,2x，y，z,4,
解平面x,y，z,1和2x，y，z,4的法线向量为n,(1～ ,1～ 1)～ 1n,(2～ 1～ 1)～所求直线的方向向量为 2
ijk
, s,n，n,1,11,,2i，j，3k12
211
x,y，z,1x，z,1,, 在方程组中～令y,0～得～解得x,3～ ,,2x，y，
z,42x，z,4,,z,,2, 于是点(3～ 0～ ,2)为所求直线上的点,
所求直线的对称式方程为
yx,3z，2,, ,
,213
参数方程为
x,3,2t～ y,t～ z,,2，3t,
x,2y，4z,7,0, 4, 求过点(2～ 0～ ,3)且与直线垂直的平面,3x，5y,2z，1,0,方程,
解所求平面的法线向量n可取为已知直线的方向向量～即
ijk
, n,(1, ,2, 4)，(3, 5, ,2),1,24,,16i，14j，11k
35,2
所平面的方程为
,16(x,2)，14(y,0)，11(z，3),0～即 16x,14y,11z,65,0,
2x，2y,z，23,05x,3y，3z,9,0,, 5, 求直线与直线的夹角,,3x,2y，z,03x，
8y，z,18,0,,的余弦,
解两直线的方向向量分别为
ijk
～ s,5,33,3i，4j,k1
3,21
ijk
, s,22,1,10i,5j，10k2
381
两直线之间的夹角的余弦为
s，s^12cos(s, s), 12|s|,|s|12
3，10，4，(,5)，(,1)，10,,0 , 2222223，4，(,1)10，(,5)，10
x，2y,z,73x，6y,3z,8,, 6, 证明直线与直线平行, ,,,2x，y，z,72x,y,z,0,, 解两直线的方向向量分别为
ijk
～ s,12,1,3i，j，5k1
,211
ijk
, s,36,3,,9i,3j,15k2
2,1,1
因为s,,3s～所以这两个直线是平行的, 21
7, 求过点(0～ 2～ 4)且与两平面x，2z,1和y,3z,2平行的直线
方程,
解因为两平面的法线向量n,(1～ 0～ 2)与n,(0～ 1～ ,3)不平12行～所以两平面相交于一直线～此直线的方向向量可作为所求
直线的方向向量s～即
ijk
, s,102,,2i，3j，k
01,3
所求直线的方程为
y,2xz,4,, ,
,231
y，3x,4z,, 8, 求过点(3～ 1～ ,2)且通过直线的平面方程,
521
y，3x,4z,, 解所求平面的法线向量与直线的方向向量
521s,(5～ 2～ 1)垂直, 因为点(3～ 1～ ,2)和(4～ ,3～ 0)都在所求的平面上～ 1
所以所求平面的法线向量与向量s,(4～ ,3～ 0),(3～ 1～ ,2),(1～ ,4～
2)2
也是垂直的, 因此所求平面的法线向量可取为
ijk
, n,s，s,521,8i,9j,22k12
1,42
所求平面的方程为
8(x,3),9(y,1),22(z，2),0～
即 8x,9y,22z,59,0,
x，y，3z,0, 9, 求直线与平面x,y,z，1,0的夹角, ,x,y,z,0,
解已知直线的方向向量为
ijk
～ s,(1, 1, 3)，(1, ,1, ,1),113,2i，4j,2k,2(i，2j,k)
1,1,1
已知平面的法线向量为n,(1～ ,1～ ,1),
因为
s,n,2，1，4，(,1)，(,2)，(,1),0～
x，y，3z,0,所以s ,n～从而直线与平面x,y,z，1,0的夹角为0, ,x,y,z,0, 10, 试确定下列各组中的直线和平面间的关系:
y，4x，3z,, (1)和4x,2y,2z,3,
,2,73
解所给直线的方向向量为s,(,2～ ,7～ 3)～所给平面的法线向量为n,(4
～ ,2～ ,2),
因为s,n,(,2)，4，(,7)，(,2)，3，(,2),0～所以s,n～从而所给直线与所给平面平行, 又因为直线上的点(,3～ ,4～ 0)不满足平面方程4x,2y,2z,3～所以所给直线不在所给平面上,
yxz,, (2)和3x,2y，7z,8,
3,27
解所给直线的方向向量为s,(3～ ,2～ 7)～所给平面的法线向量为n,(3
～ ,2～ 7),
因为s,n～所以所给直线与所给平面是垂直的,
y，2x,2z,3,, (3)和x，y，z,3,
31,4
解所给直线的方向向量为s,(3～ 1～ ,4)～所给平面的法线向量为n,(1～1～ 1),
因为s,n,3，1，1，1，(,4)，1,0～所以s,n～从而所给直线与所
给平面平行, 又因为直线上的点(2～ ,2～ 3)满足平面方程x，y，z,3～所以所给直线在所给平面上,
x，2y,z，1,02x,y，z,0,, 11, 求过点(1～ 2～ 1)而与两直线和 ,,x,y，
z,1,0x,y，z,0,,平行的平面的方程,
解已知直线的方向向量分别为
ijk
～ s,(1, 2, ,1)，(1, ,1, 1),12,1,i,2j,3k1
1,11
ijk
, s,(2, ,1, 1)，(1, ,1, 1),2,11,,j,k1
1,11
所求平面的法线向量可取为
ijk
～ n,s，s,1,2,3,,i，j,k12
0,1,1
所求平面的方程为
,(x,1)，(y,2),(z,1),0～即x,y，z,0,
12, 求点(,1～ 2～ 0)在平面x，2y,z，1,0上的投影,
解平面的法线向量为n,(1～ 2～ ,1), 过点(,1～ 2～ 0)并且垂直于已知平面的直线方程为
y,2x，1z,, ,
12,1
将此方程化为参数方程x,,1，t～ y,2，2t～ z,,t～代入平面方程x，
2y,z，1,0中～得
(,1，t)，2(2，2t),(,t)，1,0～
5222x,,解得t,,, 再将t,,代入直线的参数方程～得～～ y,
3333
2, 于是点(,1～ 2～ 0)在平面x，2y,z，1,0上的投影为点z,
3
522(,, , ),
233
x，y,z，1,0, 13, 求点P(3～ ,1～ 2)到直线的距离, ,2x,y，z,4,0,
解已知直线的方向向量为
ijk
, s,(1, 1, ,1)，(2, ,1, 1),11,1,,3j,3k
2,11
过点P且与已知直线垂直的平面的方程为
,3(y，1),3(z,2),0～即y，z,1,0,
解线性方程组
x，y,z，1,0,,2x,y，z,4,0 ～ ,
,y，z,1,0,
13y,,z,得x,1～～ ,
22
x，y,z，1,0, 点P(3～ ,1～ 2)到直线的距离就是点P(3～ ,1～ 2),2x,y，z,4,0,
13与点间的距离～即 (1, ,, )
22
13322 , d,(3,1)，(,1，)，(2,),2
222
14, 设M是直线L外一点～ M是直线L上任意一点～且直0
线的方向向量为s～试证: 点M到直线L的距离 0
,
|MM，s|0 , d,
|s|
,
s,MN 解设点M到直线L的距离为d～ L的方向向量～根0
,,
MN据向量积的几何意义～以和为邻边的平行四边形的面MM0
积为
,,,
～ |MM，MN|,|MM，s|00
,,,
MN又以和为邻边的平行四边形的面积为, MMd,|MN|,d,|s|0
因此
,,|，s|MM0, d,|s|,|MM，s|～ , d0|s|
2x,4y，z,0, 15, 求直线在平面4x,y，z,1上的投影直线,3x,y,2z,9,0, 的方程,
解过已知直线的平面束方程为
(2，3,)x，(,4,,)y，(1,2,)z,9,,0, 为在平面束中找出与已知平面垂直的平面～令
(4 ,1～ 1),(2，3,～ ,4,,～ 1,2,),0～
即 4,(2，3,)，(,1),(,4,,)，1,(1,2,),0,
1313解之得, 将代入平面束方程中～得 ,,,,,,
1111
17x，31y,37z,117,0,
故投影直线的方程为
4x,y，z,1, , ,17x，31y,37z,117,0,
16, 画出下列各曲面所围成的立体图形:
(1)x,0～ y,0～ z,0～ x,2～ y,1～ 3x，4y，2z,12,0,
yz, (2)x,0～ z,0～ x,1～ y,2～ ,
4
22 (3)z,0～ z,3～ x,y,0～～ x，y,1(在第一卦限内), x,3y,0
222222 (4)x,0～ y,0～ z,0～ x，y,R～ y，z,R(在第一卦限内),。