常系数非齐次线性微分方程

非齐次线性方程的 一个特解
对应齐次线性方程 的通解
对应齐次线性方程 的通解为
y′′ + py′ + qy = 0
Y = C1 y1 + C 2 y2
通解
Y = C1e r1 x + C 2 e r2 x
Y = ( C1 + C 2 x ) e r1 x
αx
特征根
( 1)
r1 ≠ r2 ，
( 2 ) r1 = r2 ( 重根 )
2x
λx
因Pm ( x ) = x , λ = 2是特征单根，
故应设特解 y = x ( b0 x + b1 ) e
* 2x
1 代入原微分方程，确定 b0 = , b1 = 1, 2 1 2x * 特解 y = x x 1 e 2 1 2x x 2x 所 求 通 解 为 y = C1 e + C 2 e + x x 1 e 2
解 P = x , λ = 0, ω= 1,特征方程 r + 1 = 0,
2
特征根 r1 = i , r2 = i
Q λ + iω = i 是特征根， ∴ k = 1.
特解形式为
y = x ( a0 x + a1 ) cos x + ( b0 x + b1 ) sin x
*
y =x e
Q λ + iω = 2i 不是特征根，
∴ y2 = cos 2 x 于是 y′′ + y = 3 3cos 2 x的特解为
代入 y′′ + y = 3cos 2 x，得a = 1, b = 0,
设y2 = a cos 2 x + b sin 2 x
*
y = y + y 2 = 3 + cos 2 x
y′′ + y = 0
特征方程 r + 1 = 0, 特征根 r1 = i , r2 = i
2
对应齐次方程的通解为
Y = C1 cos x + C 2 sin x
y′′ + y = 3 3cos 2 x = f1 ( x ) + f 2 ( x ) 叠加原理
′′ + y = 3 ∴ y1* = 3 Qy 而y′′ + y = 3cos 2 x 特征根 r1 = i , r2 = i
特征方程 r 3r + 2 = 0， ( r 1) ( r 2 ) = 0 即
特征根 r1 = 1, r2 = 2
于 是 ， 得 Y = C1 e + C 2 e
x 2x
再求 y′′ 3 y′ + 2 y = xe 的特解：
2x
y* = x k Qm ( x ) e λ x f ( x ) = xe 属于Pm ( x ) e 型
特解的形式为 y = x Qm ( x ) e
* k
λx
( 2 ) y′′ + 5 y′ + 6 y = 3 xe
2 x
解 特征方程为 2 r + 5r + 6 = 0, 即(r + 2)(r + 3 ) = 0，
特征根为 r1 = 2, r2 = 3.
因Pm ( x ) = 3 x , λ = 2 是特征根，
* k
结论 特解的形式为 y = x Qm ( x ) e 0, 若λ不是特征根 其中Q ( x ) m k = 1, 若λ是特征单根 为待定多项式, 2, 若λ是特征重根
λx
特解的形式为 y = x Qm ( x ) e 0, 若λ不是特征根 k = 1, 若λ是特征单根 2, 若λ是特征重根 其中Qm ( x ) 为待定多项式,即 m m 1 Qm ( x ) = am x + am 1 x + L + a1 x + a0 k m m1 λx 将 y = x (am x + am1 x + L+ a1 x + a0 )e λx 代入方程 y′′ + py′ + qy = e Pm ( x ) 即可确定系数： 即可确定系数： am , am 1 ,L , a1 , a0 , 从而确定特解. 从而确定特解.
0, λ ± iω 不是特征根 k= 1， λ ± iω 是特征根
y =x e
*
k λx
R1 ( x ) cos ω x + R2 ( x ) sin ω x
0, λ ± iω 不是特征根 k= 1， λ ± iω 是特征根
例4 写出下列方程的特解形式：
( 1) y′′ + y = x cos x
故应设特解
y = x ( b0 x + b1 ) e
*
2 x
′′ + 2 y′ + y = ( 3 x 2 + 1) e x ( 3) y
特征方程 r + 2r + 1 = 0， ( r + 1) = 0 即
2 2
r 特征根 r1，2 = 1,
因Pm ( x ) = ( 3 x +1) , λ = 1是特征重根，
第九节 常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′ + py′ + qy = f ( x ) 如何求通解？ 如何求通解？ 根据通解的结构， 根据通解的结构，通解为对应齐次线性 方程的通解与非齐次线性方程的一个特解 之和. 之和. 问题 如何求非齐次线性方程的一个特解？ 如何求非齐次线性方程的一个特解？
* k
λx
例1 求 y′′ 2 y′ 3 y = 3 x + 1 的一个特解. 1, 解 f ( x ) 属于Pm ( x ) eλ x型，( Pm ( x) = 3x＋ λ = 0) .
y* = x k Qm ( x ) e λ x 特解的形式为 Q1 ( x ) = ax + b, k由 λ = 0是 否 特 征 (重 )根
一、f ( x ) = e Pm ( x ) 型
λx
推测解的形式
*
′′ + py′ + qy = e λ x Pm ( x ) 代入微分方程 y
≠0
假设 y = Q ( x ) e
λx
( 其 中Q ( x ) 是 某个 多项 式 )
确定Q( x ). 代入方程，整理得 代入方程， Q′′ ( x) + ( 2λ + p) Q′ ( x) + ( λ 2 + pλ + q) Q ( x) = Pm ( x)
* * 1 *
从而通解为
y = C1 cos x + C 2 sin x + 3 + cos 3 x
由y ( 0 ) = 1, y′ ( 0 ) = 1, 得C1 = 3, C 2 = 1,
因此 y ( x ) = sin x 3cos x + 3 + cos 3 x
小结
求解两类二阶常系数非齐次线性方程
≠0 =0
=0
2.若λ 是特征单根， λ 2 + pλ + q =0, 即 但 2λ + p ≠ 0,则Q′ ( x ) 为m次,即Q ( x ) = xQm ( x ) 2 即 3.若λ 是特征重根， λ + pλ + q=0,且2λ + p=0,
′′ ( x ) =Pm ( x ) , 即Q ( x ) = x 2Qm ( x ) . 则Q
因此特解的形式为y = Qm ( x ) e
则Q ( x ) = Qm ( x ) 为m次多项式，
1.若 λ 不 是 特 征 根 , 即
λ + pλ + q ≠ 0,
2
λx
.
′′ ( x ) + ( 2λ + p) Q′ ( x ) + ( λ 2 + pλ + q) Q ( x ) = Pm ( x ) Q
( 3)
r1，=α ± iβ ( 共轭) Y = e 2
( C1 cos β x + C2 sin β x)
求非齐次线性方程的特解的方法： 求非齐次线性方程的特解的方法： 假设特解的形式， 假设特解的形式，代入原方程确定其中的 待定函数. 待定函数 1. y′′ + py′ + qy = e λ x Pm ( x )
(1) ( Rm ( x ) cos ω x + Rm2) ( x ) sin ω x
Q λ + iω = 1+2i 不是特征根， ∴ k = 0.
特解形式为
y = e [ a cos 2 x + b sin 2 x ]
* x
y =x e
*
k λx
R1 ( x ) cos ω x + R2 ( x ) sin ω x
( 3 ) y′′ 6 y′ + 9 y = cos 3 x
的情况确定 . 对应的齐次方程 y′′ 2 y ′ 3 y = 0 2 特征方程 r 2r 3 = 0， ( r + 1) ( r 3 ) = 0 即 特征根 r1 = 1, r2 = 3 Q λ = 0不是特征根， k = 0 ∴
续 例1求 y′′ 2 y′ 3 y = 3 x + 1 的一个特解.
故所求特解为
1 y = x 3
*
下列微分方程具有什么样形式的特解？ 例2 下列微分方程具有什么样形式的特解？
′′ + 5 y′ + 6 y = e 3 x ( 1) y
2
特征方程 r + 5r + 6 = 0， ( r + 2 ) ( r +3 ) = 0 即
特征根r1 = 2, r2 = 3 因P0 ( x ) = 1, y * = x k Qm ( x ) e λ x 特解形式为 故Q0 ( x ) = a , 0, 若 λ 不 是 特 征 根 λ = 3 不是特征根， 其 中 k = 1, 若 λ 是 特 征 单 根 取k = 0, 2, 若 λ 是 特 征 重 根 * 3x 因此 y = ae
2. y′′ + py′ + qy = e λ x P ( x ) cos ω x
′′ + py′ + qy = e λ x Pm ( x ) 1. y
′′ + py′ + qy = e λ x P ( x ) sin ω x 或y
根 据非 齐 次线 性方 程 通解 的 结构 ，
通解为
y =Y + y
x
两边求导： 解 两边求导：
′′ ( x ) = 6sin 2 x y ( x ) y
即
y′′ + y = 3 3cos 2 x
在原方程中令x = 0, 得y′ = 1,
即有初始条件： 即有初始条件： y
x=0
= 1, y′
x =0
=1
y′′ + y = 3 3cos 2 x
对应齐次线性方程为
解 P = 1, λ = 0, ω = 3,
特征方程 r 6r + 9 = 0,
2
特征根 r1 = r2 = 3
Q λ + iω = 3i 不是特征根， k = 0 ∴
y* = a cos 3 x + b sin 3 x 特解形式为
例5 设函数y ( x ) 满足
′ ( x ) = 1 + ∫ 6sin 2 t y ( t ) dt , y ( 0 ) = 1, y 0 求y ( x ) .
y* = x k Qm ( x ) e λ x 特解的形式为
k=0
= b0 x + b1
代入微分方程， 2b0 3(b0 x + b1 ) = 3 x + 1
应设特解
y = x ( b0 x + b1 ) e
0
0 x
即 3b0 x 2b0 3b1 = 3 x + 1，
1 3b0 =3 确定b0 = 1, b1 = , 比较系数得 3 2b0 3b1=1
y * = x k Qm ( x ) e λ x 特解的形式为
0, 若λ 不是特征根 其中k = 1, 若λ 是特征单根 Qm ( x )为待定函数 2, 若λ 是特征重根
′′ + py′ + qy = e λ x Pm ( x ) cos ω x 2. y
λx
或y′′ + py′ + qy = e P ( x ) sin ω x
二、f ( x ) = e P ( x ) cos ω x型
λx
或f ( x ) = e P ( x ) sin ω x型
λx
特解可设为
y =x e
*
k λx
R1 ( x ) cos ω x + R2 ( x ) sin ω x
其中R1 ( x ) , R2 ( x ) 是与P ( x )同次多项式，
2
故应设特解
y =x
*
2
(b x
0
2
+ b1 x + b2 ) e
k
x
特解的形式为 y = x Qm ( x ) e
*
λx
例3 求 y′′ 3 y′ + 2 y = xe 的通解.
2x
解 根 据非 齐 次 线 性方 程 通 解 的结 构 ，
先求出对应齐次线性方程的通解:
对应的齐次方程
2
y′′ 3 y′ + 2 y = 0
*
k λx
R1 ( x ) cos ω x + R2 ( x ) sin ω x
0, λ ± iω 不是特征根 k= 1， λ ± iω 是特征根
′′ + y = 4e x sin 2 x ( 2) y
解 λ = 1, ω = 2, P = 4,
2
特征方程 r + 1 = 0, 特征根 r1 = i , r2 = i