§4-5狄拉克符号

注：曾谨言教材中内积表示为：（ψ n , ψ m）＝δ nm
例如：氢原子哈密顿算符的本征函数为 例如：氢原子哈密顿算符的本征函数为:ψnlm 狄拉克表示为：|nlm> 狄拉克表示为： 正交归一化方程为：
< n ℓ m n ' ℓ ' m ' > = δ ℓ ℓ ' δ m ' m δ n n'
连续谱） （2）Continuous Spectrum （连续谱）{uq(x)} ）
态矢(波函数） 二、态矢(波函数）的狄拉克表示
本征态矢量（本征函数） ２．本征态矢量（本征函数） 离散谱） （1）Discrete Spectrum （离散谱）{un(x)} ） |un(x)> |n> 例如１ 线性谐振子哈密顿算符的本征函数为 例如１：线性谐振子哈密顿算符的本征函数为ψn(x) 用狄拉克符号可以表示为： 用狄拉克符号可以表示为： |n> 例如２ 氢原子哈密顿算符的本征函数为 例如２：氢原子哈密顿算符的本征函数为:ψnlm 用狄拉克符号可以表示为： 用狄拉克符号可以表示为： |nlm> |200>态 能量为Ｅ 如果氢原子处于 |200>态，能量为Ｅ２；角动 量为： 角动量Ｌ 量为：l(l+1)ħ＝０;角动量Ｌz=mħ＝０
所 以 ， 态 矢 量 |ψ > 在 Q 表 象 中 投 影 为 ： a q＝ < q Ψ > ( 连 续 谱 ） 等 价 积 分 关 系 为 ： aq (t ) =
= a q/
= ∫ aqδ ( q '− q )dq
∫
* uq ( x )Ψ ( x , t )d x
五、基矢的封闭性 （1）Discrete Spectrum基矢量封闭性方程 ） 基矢量封闭性方程
连续谱） （2）Continuous Spectrum （连续谱）{uq(x)} ）
uq >→ q >
或 ： uq →< q <
例如１ 动量算符算符的本征函数为 算符的本征函数为ψ 例如１：动量算符算符的本征函数为 p 用狄拉克符号可以表示为： 用狄拉克符号可以表示为： |p>
态矢的内积（标积） 三、态矢的内积（标积） 1．一般态矢的内积
3.平均值公式 3.平均值公式
F =
ˆ ψ * F ψ dx ∫
∫ ψ * ψ dx
⇒
ˆ < ψ | F |ψ > F = < ψ |ψ >
若ψ归一化，<ψ|ψ>=1 归一化， ψ ψ
5.
4.正交归一方程 4.正交归一方程
* u n u m dx = δ m n ⇒ < n | m >= δ nm － 离 散 谱 ∫
＋ < Ψ A Ψ B >= ∑ a* bn ⇔ ΨＡΨ B = ∑ a* bn n n
n
n
Ψ = ( a ,a ⋯a ⋯)
* 1 * 2 * n
+ A
b1 b2 ΨB = ⋮ bn ⋮
注： A Ψ B = Ψ B Ψ A * Ψ
本征态矢的内积（本征函数内积） 2．本征态矢的内积（本征函数内积） 离散谱） （1）Discrete Spectrum （离散谱）{un(x)} ）
Ψ >=
∫a
q
q > dq
a q =< q | Ψ >
Ψ >= ∫ q > dq < q | Ψ >
所以：连续谱基矢量封闭性方程为：
∫ q > dq < q = 1 也是一个恒等算符
ˆ 六、算符 F 在Q表象中的狄拉克表示 表象中的狄拉克表示
（1）Q为Discrete Spectrum ） 为
ˆ ˆ F 算符在Q表象中矩阵元狄拉克表示 Fmn =< m F n >
§4－5
狄拉克符号
§4－5 狄拉克符号 － 左矢与右矢符号（狄拉克符号 符号） 一．左矢与右矢符号（狄拉克符号） 1、左矢 ２、右矢 <| 左矢空间
|> 右矢空间 左矢空间与右矢空间互为伴随空间 左矢空间与右矢空间互为伴随空间 1．一般态矢量 Ψ A ⇒ Ψ A > 或 < Ψ A
注：态矢(波函数）可以在左矢空 态矢(波函数） 间表示也可在右矢空间表示
* uq uq 'dx =δ ( q − q ') ⇒ < q | q ' >= δ ( q − q ')－ 连 续 谱 ∫
5.完全性方程 5.完全性方程
Ψ ( x ) = ∑ an un ⇒ Ψ ( x ) = ∑ an | n >
n n
6.ψ 6.ψ在Q表象中矩阵元
* an = ∫ un Ψ( x , t )dx ⇒ an =< n Ψ >
< n n' > = δ nn' ⇔ ∫ u* um dx = δ nm n
本征函数正交归一化方程
例如：线性谐振子哈密顿算符的本征函数为 例如：线性谐振子哈密顿算符的本征函数为ψn(x) 则内积可以写为： 则内积可以写为：
Hale Waihona Puke Baidu
ψ ψ m dx = δ nm ⇔ < n n' > = δ nn' ∫
* n
|Ψ >=
∑a
n
n
n >=
∑
n
n > an
(1)
a n＝ < n Ψ >
代入(1) 将(2)代入 代入
(2)
(3)
| Ψ >= ∑ n >< n | Ψ >
n
我们得到： 由(3),我们得到： 我们得到
∑ n >< n |= 1
n
这是恒等算符
上式即离散谱基矢量的封闭性方程
（2）continuous spectrum基矢量封闭性方程 基矢量封闭性方程
* ˆ ˆ Ｆ在Ｑ表象中的矩阵元积分形式 nm = ∫ un Fum dx Ｆ
（2） Q为 continuous spectrum ） 为
ˆ ˆ F 算符在Q表象中矩阵元狄拉克表示 Fqq / =< q F q / >
* ˆ ˆ Ｆ在Ｑ表象中的矩阵元积分形式 qq/ = ∫ uq Fuq/ dx Ｆ
态矢在Q 四、态矢在Q表象中投影 （1）Discrete Spectrum ）
| Ψ >= ∑ a n un >
n
⇔ Ψ ( x,t) =
∑a
n
n
( t )un ( x )
上式左乘<m| 上式左乘
< m Ψ >=
=
∑a
n
n
< m n>
∑
n
a nδ m n
= am
所 以 ， 态 矢 量 |ψ > 在 Q 表 象 中 投 影 为 ： a m＝ < m Ψ > （ 离 散 谱 ）
a 等价的积分关系为： m (t ) =
∫u
* m
( x) Ψ( x，)dx t
（2）continuous spectrum
Ψ >=
∫a
q
q > dq ⇔ Ψ ( x , t ) = ∫ a q ( t )uq dq
上式左乘<q 上式左乘 /|
< q ' Ψ >= ∫ aq < q ' q > dq
< q q' >= δ ( q − q') ⇔ ∫ u*u'qdx = δ (q − q') q
连续谱本征函数正交归一化方程
例 坐标算符与动量算符的本征函数的内积
动 量 算 符 ： p p ' > = δ ( p − p') < 坐 标 算 符 ： x x ' > = δ ( x − x ') <
七、常见量子力学公式的狄拉克表示 1.算符的本征方程 1.算符的本征方程
ˆ ˆ F Ψ = λψ ⇒ F Ψ >= λ ψ >
ˆ x表 象 中 ⇒ < x | F | Ψ >= λ < x | Ψ >
2.薛定谔方程 2.薛定谔方程
∂Ψ ˆ Ψ ⇒ i ℏ ∂ Ψ >= H Ψ > ˆ iℏ =H ∂t ∂t