第9章股票期权定价公式

欧式期权的红利
欧式期权的例子
欧式期权的例子
美式看涨期权
计算美式看涨期权的Black近似方法
小结
小结
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c 欧式看涨期权的价格变化
c 0.4S
无风险证券组合应包括： 1、0.4单位的股票多头； 2、1单位的看涨期权的空头
BSM模型与二叉树模型的区别
1、B-S-M模型的时间间隔非常短； 2、套期比率必须随时调整； 3、必须保证每个时刻都能完全对冲风险
BSM微分方程的推导
股票价格运动模型：
第9章
股票期权定价的 Black—Scholes公式
主要内容
1. 说明股票的预期收益率、波动率的几个问题
2. 基于不支付红利股票的欧式看涨、看跌期权的布莱克—斯科尔 斯微分方程的推导
3. 利用风险中型定价方法来求解B-S微分方程 4. 如何将B-S公式扩展到支付红利股票的期权定价上 5. 关于支付红利股票的美式看涨期权的一些定价结果
因此，6 个月后股票价格落在 32.36 和 56.88 之间的概率为 95%。 股票价格的均值为：
40e0.160.5 43.33
方差为
402 e20.160.5 e0.20.20.5 1 37.93
1 ln ST TS
~
N

2 2
,
T

连续复利年收益率
标准差为 20%。因为一个正态分布的变量有 95%的可能性落在 其均值两侧 2 倍的标准差范围内，一年后我们得到的实际收益率每年 在-25%和+55%之间的可信度为 95%。
预期收益率
dS dt dz
S
~ ( 2 , )
2T
预期收益率
预期收益率
一组数据（不完全相等）的算术平均值总是大于几何平均值
ln ST ~ 3.759,0.141
标准正态分布变量取值位于均值左右 2 倍（1.96）的标准差范围 内的概率为 95%。因此，置信度为 95%时：
3.759 2 0.141 ln ST 3.759 2 0.141 3.477 ln ST 4.041 e3.477 ST e4.041
年收益率分布
当 T=1 时，表达式 lnST / S是持有股票一年的连续复利收益。因
此，一年内连续年复利收益的均值和方差分别是 2 / 2 和 。 例子 考虑一种股票预期收益率为每年 17%,波动率为每年 20%。一年
后得到的实际（连续复利）收益率的概率分布是正态分布，其均值为：
0.17 0.22 / 2 0.15
看涨期权的价格 f
f 是S和t 的函数
12.9
f 和 S 所包含的维纳过程是相同的
选择适当的投资组合可以将 dz( t ) 约去
BSM微分方程的推导（3）
选择如下投资组合： 投资组合的价值：
－1：期权
f : 股票 S
f f S S
dt 内组合价值的变化： d df f dS
期望值为


2
2

方差为 2T
ln
ST
ln
S0
~





2
2
T
,

2T


ln ST
~
ln S0





2
2

T
,

2T



如果一个变量的对数服从正态分布，该变量服从对数正态分布
对数正态分布的图形
如果收益的对数或连续复利收益率服从正态分布，则收益 服从对数正态分布
其中
12.20 12.21
函数 N (x) 是标准正态分布x 的累积概率分布函数
累积概率分布函数
累积概率分布函数就是，标准正态分布 (0,1)小于 x 的概率
B-S公式的性质
当股票价格很大时，看涨期权肯定会被执行，期权类似于远期合约 S0 KerT
从B-S公式来看，S0 很大时，d1和d2 也很大， N (d1)和N (d2 ) 接近于1.0 N (d1)和N (d2 ) 接近于0
假设某公司想发行新权证（或者雇员股票期权）， 公司想计算发行权证的费用
假定公司目前共发行了数量为N的股票，股价为S 0
公司考虑发行M 份的权证，权证有按K的价格购买一只股票的权利
公司当前的市值为NS0
假定到期时刻T，股票价格变为S T
权证
如果权证执行，由执行价格带来的现金流会使得股权和权证 的价值总和变为NST MK
S0e2T [e2T 1]
例子
考虑一种股票，价格初始值为 40 美元，预期收益率为每年 16%，波动率为每年 20%。
根据股票价格的对数正态分布性质可以知道，6 个月后股票价格 ST 的概率分布为：
ln ST ~ ln 40 0.16 0.22 / 2 0.5,0.2 0.5
波动率
2. B-S-M模型
B-S-M微分方程的原理
任何基于不支付红利股票的期权的价格都必须满足BSM微分方程
股票的价格和衍生品的价格都受到同一不确定性的影响： dz: 股票价格的运动
短时期内，股票的价格和衍生品的价格是完全相关的 所以可以构建包含股票和期权的无风险资产组合
S : 股票价格变化
ln
ST S0
~

(


2
2
)T
,
T

1 ln ST T S0
~




2
2
,

T

T年期的连续复利年收益率为： 1 ln ST
T S0

~




2
2
,
来自百度文库
T

连续复利年收益率服从均值为： 2 标准差为： 的正态分布
2
T
收益率的分布
计算
代入期权定价公式
计算可得5年期期权价格为7.04
每份权证的价格为
1000000 7.04=5.87
1000000+200000
计算
发行权证的总费用为 200000 5.87=117万元
股价会下降1.17元
隐含波动率
波动率的计算
根据历史价格来估计 计算隐含波动率
基于同一股票的其他期权的市场价格所隐含的波动 率
S
将ds和df 代入，得到
d




f t

1 2
2 f S 2
2S2
dt
BSM微分方程的推导（4）
因为约去了dz，所以有:
d rdt
将和d代入
Black-Scholes-Merton微分方程
（12.15）
BSM微分方程的推导（5）
（12.15） 根据衍生证券的边界条件，具体求解微分方程
这一价值会被N M股票分享
行权后股价变为：NST MK NM
权证持有人的收益为：NST MK K NM
N
N M
(ST

K)
即：普通期权价格的 N 倍 NM
例题
某公司共发行100万股股票，每股价格为40元， 该公司考虑发行200，000份权证，每份权证给 权证持有人在5年后可以以60元的价格买入股 票的权利。假定利率为每年3%，波动率为每年 30%，公司不支付股息。问，发行权证对公司 股价的影响如何？
1、假定标的资产的预期收益率是无风险利率； 2、计算到期时期权的预期收益； 3、将预期收益按无风险利率折现
风险中性定价
B S方程中不涉及预期回报值
预期回报与风险选择相关
B S方程与风险选择无关 因此可以选择任何一组风险选择
等价鞅原理
风险中性定价（2）
尽管风险中性定价方法只是求解BSM微分方程的模拟方法，但 它求得的结果在现实世界也是有效的，而不局限于投资者是风 险中性的。
1. 股票价格的对数正态性质
对数正态分布
如果变量的对数遵循标准正态分布，则变量本身遵循的是对数正态 分布
假设股票价格随时间的变化遵循的是对数正态分布
股票收益（股价的变动）的对数遵循的是正态分布 如果股价从100涨到110，收益率为10%，但是收益变动的对数为ln
（110/100）=0.0953 收益的对数表示的实际上就是连续复利收益率，100exp（0.0953）
~
ln S0





2
2
T
,

T

S S e[( 2 /2)T t T ]
T
0
均值 E(ST ) S0e(2/2)T E[e ] Tt
方差
S e e ( T 2T /2) 2T /2 0
S0eT
var(ST ) E[S0e[(2/2)T t T ] S0eT ]2
欧式看涨期权的边界条件：
欧式看跌期权的边界条件：
验证远期合约价值公式
基于不支付红利股票的远期合约属于股票的衍生产品，其价格应该满 足公式（12.15）
代入公式（12.15），得 rKer(T t) rS rf
风险中性定价
风险中性世界中，所有证券的预期收益率都是无风险利率
具体定价步骤：
收益分布自身的分布是倾斜的，向右侧无限延展，而左侧 则是截短的
股票价格的对数正态性质
给定起初的股价 时刻T的股价遵循的是对数正态分布
ln ST
~
ln S0





2
2
T
,

T

S S e[( 2 /2)T t T ]
T
0
ln ST
隐含波动率
隐含波动率
VIX指数
期权报价，通常可以直接报出期权所隐含的波动率，而不 是期权本身的价格
因为波动率的变化更为稳定 常用的VIX指数
芝加哥交易所发布的隐含期权指数，SPX VIX 根据S&P500上30天看涨期权和看跌期权计算得出。
红利
在除权日之外的任何时候，股票价格的运动仍遵循随机过程 税收的影响使得股价下降的幅度小于支付的股利 假定红利就是股价下降的数量
看跌期权价格接近于0
看涨期权接近于 c S0 X
累计正态分布函数估算
例子
例子
权证与雇员的股权激励
普通股票期权
行权不影响市场上的股票数量
权证（warrant）和雇员的股票期权
稀释效应 行权会对市场上的股票持有者的权益产生稀释
股票价格会反映权证的这种稀释效应
权证定价
=110
对数正态分布的性质
定义G ln S
G S

1 S
,
2G S 2


1 S
,
G t

0
代入：
dG


G S
S

G t

1 2
2G S 2

2S
2

dt

G S

Sdz
得到：
dG




2
2

dt


dz
对数正态分布
ln S在0-T时刻的变化服从正态分布
风险中性世界与真实世界的转换：
1、股票价格的预期增长率会发生变化 2、用来计算衍生证券收益的折现率也发生变化
这两种变化是能够完全抵销的
风险中性定价在远期合约的应用
到期时合约价值： 期初合约的价值：
12.16 12.17
12.18 12.19
Black-Scholes定价公式
期初时，欧式看涨期权和看跌期权的Black-Scholes定价公式分别是：