材料力学第21讲 Chapter8-1第八章 组合变形(斜弯曲)

38
ma x4 F W Plz W W y z si20 nco 20s
Wz 4F PlW Wyz si2n0
co20s
对于本例，如第一次设定 W z 10
W
Wz＝ 191103mm 3
y
据此，选择工字钢号为No.18，进而由型钢表查得
W z 1 8 13 5 m 03， m W y 2 1 63m 03m
4FW Plz W Wyz sin20
cos20
159.6M Pa,
max
0.25%
这一结果已经满足强度设计要求。因此，最终选择 No.16工字型钢。
41
作业
P296：8-1 P297： 8-3 P298： 8-7
下次课讲拉伸（压缩）与弯曲及扭弯组合
42
F2 O z
x
内力： My F2x, Mz F1(xa)
y
O
z
Mz
My y
16
应力（叠加法）
M y z M z y
Iy
Iz
Mz O
z
My
(y,z)
y
17
中性轴（y0, z0）方程
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
z
(y0,z0)
y
可见，中性轴是一条通过截面形心的直线。
18
中性轴与y轴的夹角为
z
h
Pz
x
Py
L Py
25
解：危险点分析如图
中性轴
b
z
h
Pz
x
Py
L Py
a
D1
Pz
z
D2
Py
Py
最大正应力
Lmax
D1
Mz Wz
My Wy
当Iy = Iz时，发生平面弯曲
D2
26
最大挠度的计算：
b
z
h
Pz
x
Py
L Py
f fy2 fz2
fz
( PyL3 )2 ( Pz L3 )2
Fp
Fp
l/2
l/2
z
y
33
解：1．内力与应力分析
Fy 由于载荷作用线与形心主轴方向不
Fy
一致，故将产生斜弯曲。先将FP矢量 沿y、z轴分解，得到两个平面弯曲。
z 两种情形下的最大弯矩分别为
y
Fy FP cos,
Fp
Fz
z
Mz,maxMmaxcos
y Fz FPsin,
Fz
My,maxMmaxsin
应力、变形
基本变形2
应力、变形
基本变形…
应力、变形
组合 应力、变形
13
§8.2 两相互垂直平面内的弯曲
对于双对称截面梁，水平和垂直两纵向对称 面同时承受横向外力作用时，这种弯曲称为两相 互垂直平面内的弯曲。
14
两相互垂直平面内的弯曲----载荷1
A1 A2
F1
B1
F2
C2
B2 C1
15
F1 a
3EIz
3EIy
f
fy
tgfy PyIy Iy tg
fz Iz Pz Iz
27
考察任意一点的挠度：
fz
z
b
h
Pz
x
x
Py
f
L Py
fy
Py x2 (3l 3EI z
x)
Biblioteka Baidufy
fz
Pz x2 (3l 3EI y
x)
tgfy PyIy Iy tg
fz Iz Pz Iz
任意一点挠度的角保持不变，说明弯曲后的挠曲线 在同一个平面内，但不一定在载荷作用平面内。
20
z
x
y
F3
F2
F1
因此，梁的挠曲线仍应分别按两相互垂直平面内的
弯曲来计算，不能直接用合成弯矩来计算。
f
f
2 y
fz2
21
两相互垂直平面内的弯曲----载荷2
A1 A2
F1
B1 C2
B2
F2
C1
FR
22
研究方法
将力分解，转化为两相互垂直平面内的弯曲进行求解。
A1 A2
F1FRcos
B1 F2
3
压弯组合变形--偏心压缩
F
吊车立柱
6
拉弯组合变形----偏心拉伸 F
7
扭弯组合变形
8
压弯扭组合变形
9
二、组合变形的研究方法
—— 叠加原理 前提：线弹性，小变形
（1）材料线性问题
材料线性
材料非线性
10
（2）几何线性问题
F
几何线性
F
几何非线性
11
12
组合变形
叠加原理的解题思路
基本变形1
28
考察任意一点的挠度：
10 axL：
Pa2(3x a) fy 6EIz ,
fz
Fx2 (3l 6EI y
x)
tgfy
fz
Iy Iz
Pa2(3xa) F x2(3lx)
20 0xa：
Px2(3a x) fy 6EIz ,
fz
Fx2 (3l 6EI y
x)
tg fy Iy P3ax
fz Iz F 3lx
F
高度h＝140mm； 宽度b＝80mm；
Iz＝712cm4； Iy＝64.4cm4； （1）当＝00时，
h z
Fy Fco0s0 10.0kN
by
Fz Fsin00 0kN
max
Fy L Iz
ymax
17 0 .0 11210 30 8 1.07010 3
98.3MPa[]17M 0 Pa安全
31
ma x4 F W Plz W W y z si20 nco 20s
Wz 4F PlW Wyz si2n0
co20s
36
Wz 4F PlW Wyz si2n0co20s
这一结果表明，必须先已知比值Wz/Wy才能确定Wz。在 本 例 的 情 形 下 ， 比 值 Wz/Wy 是 未 知 的 。 所 以 ， 需 先 设 定 一 Wz/Wy值，代入上式求得Wz，由型钢表查得对应的工字钢号， 进而查得该号工字钢的Wy，将其代入
（1）当＝100时，
高度h＝140mm；
F
Fy Fco1s00 9.84k8N 宽度b＝80mm；
Fz Fsin1001.73k6N
Iz＝712cm4； Iy＝64.4cm4；
z
'
Fy L Iz
ymax9.8741 1 81 230 081.070 1 03 96.8MPa
y
''
Fz L Iz
C2 z
F2FRsin
B2
C1
F1
y
FR
23
最大正应力
在确定中性轴位置后，作平行于中性轴的两直线
，分别与横截面周边相切于D1和D2两点，该两点即分 别对应于横截面上拉应力和压应力的最大值。
D1
D1
D1
z
z
z
D2
y
D2
y
D2
y
24
例1：已知力P过形心且与z轴负方向成角。
求：梁的最大应力与挠度。
b
ma x4 F W Plz W W y z si20 nco 20s
37
ma x4 F W Plz W W y z si20 nco 20s
校核是否满足。若二者相差不超过5％，则这一钢 号即为求（见孙训方第五版第266页的说明）。
否则，再加大或减小工字钢号，查得新的Wz与 Wy，代入上式再一次进行强度校核。依此类推，直 到上述要求满足为止。
39
max
4FW Plz W Wyz sin20
cos20127.6M Pa,
m ax1601 61027.620.3%
于是，需要进行第二次试算。这时，可选择小一号的
工字型钢No.16。由型钢表查得Wz＝141×103 mm3， Wy＝21.2×103 mm3。
40
将其代 入最大应力表达式
max
z y
34
二者分别为xz平面和xy平面内弯曲时危险面上的 弯矩值。于是梁内最大正应力
m axM W y,y m axM W z,m zaxF 4 PlsW iny cW osz
max
4FW Plz W Wyz sin20
cos20
20
35
2．强度设计
Fp
Fp
l/2
l/2
z
y
解： 应用最大正应力强度理论的设计准则，
平面内，因此这种弯曲变形也称为斜弯曲。
19
tan z0 Iy tan
y0 Iz 对于圆形、正方形等Iy＝Iz的截面，有＝，此时正应力可
按弯曲正应力公式计算。
但是，由于梁各横截面上的合成弯矩M所在平面的方位一般
并不相同。
F3
F2
F1
所以，虽然每一截面的挠度都发生在该截面的合成弯矩M所在 平面内，梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线。
第八章 组合变形 Combined Deformation
第廿一讲
1
内容
§8.1 概 述
本次课
§8.2 两相互垂直平面内的弯曲 内容
§8.3 拉(压)与弯曲的组合
§8.4 弯曲与扭转的组合
2
§8.1 概 述
一、组合变形
工程实际中，构件在荷载作用下往往发生两种或两 种以上的基本的变形。 （1）若其中一种是主要的，其余变形引起的应力或变形 很小，则构件可按主要的基本变形进行计算。 （2）当几种变形所对应的应力或变形属同一量级时，则 构件的变形可以看成简单变形的组合，称为组合变形。
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
tan z0 M z I y I y tan
y0 M y I z I z
Mz
z
(y0,z0)
M
My y
式中是横截面上合成弯矩M的矢量与y轴的夹角。
上式表明，一般情况下，由于截面的Iy Iz，故有 ，即中性轴
与合成弯矩M所在的平面并不相互垂直。
而截面的挠度垂直于中性轴，所以挠曲线将不在合成弯矩所在的
zmax
1.763.44 1 6130 081.040 1 03 10.87MPa
m ax ' '' 96.8107.8204.6M Pa
不安全
[]17M 0 Pa
32
例3： 已知简支梁，拟由普通热轧工字钢制成。在梁跨 度中点作用一集中载荷FP，其作用线通过截面形心并与 铅垂对称轴夹角为20°。已知l=4 m，FP=7 kN，材料的 许用应力[]=160 MPa。试确定工字型钢的型号。
a
P
z
b
h
F
x
x
L
y
任意一点挠度的角都
是关于x的函数，说明 弯曲后的挠曲线是条 空间曲线。
29
例2：14号工字钢悬臂梁端部受一与y轴成的力F的
作用。已知L＝1.0m，F＝10.0kN，[]=170MPa。
当分别为00和100时，校核该梁的强度。
F
F
L
z
y
30
解：查表，14号工字钢的截面几何性质为