常微分方程定性理论幻灯片1
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常微分方程求解PPT课件
即 y Ce P(x)dx .
（2）常数变易法求非齐次线性方程的通解
令 y C(x)e P(x)dx 为非齐次线性方程的解,
代入得
C(x)e P(x)dx Q(x) ，即C(x) Q(x)eP(x)dx .
两边积分得 C(x) Q(x)ep(x)dxdx C .
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将C(x)代入 y C( x)ep( x)dx 得通解为
方程(2)分离变量得
dy dx yx
两边积分得 ln y ln x ln C ,即
(1) (2) ln y ln Cx
所以,齐次方程（2）的通解为 y Cx
(3)
函数C(x) ,即令
y C(x)x 为 方 程 （ 1 ） 的 通 解 , 将 其 代 入方 程 (1) 得
再积分一次就能得原方程的通解. 例 4 求方程2xyy 1 ( y)2 的通解. 解 因为方程2xyy 1 ( y)2 不显含未知函数 y,所
以令 y p(x),则 y(x) p(x)，将其代入所给方程,得
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2xpp 1 p2 ,
分离变量得
2 pdp 1 p2
dx x
,
两边积分ln(1 p2 ) ln x ln C1，得1 p2 C1x .
例 3 求方程 y(3) cos x 的通解 .
解 因为 y(3) cos x ,所以 y cos xdx sin x C1 ,
y (sin x C1)dx cos x C1x C2 ,
y
(
cos
x
C1x
C2
)dx
sin
x
1 2
C1 x 2
C2
x
C3.
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常微分方程----第一章-绪论PPT课件
2u x2
2u y2
2u z2
0
注：我们不特别声明，就称常微分方程为微分方程或方程。
方程的阶数：一个微分方程中，未知函数最高阶导 数的阶数，称为方程的阶数。
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一般的n阶微分方程的形式为：
F(x,y.ddyx,L,ddxnny）＝0
其中：F(x,y.ddyx,L,ddxnny）＝0是变量
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在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程 完全不同的问题。比如：某个物体在重力作用下 自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律； 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行 的轨道等，研究这些问题所建立的数学方程不仅 与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关， 这就是我们要研究的微分方程。
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n 阶方程的通解：把含有 n 个相互独立的任意常数
c1，c2，L ，c n 的解 y＝ （ x1 ， c1 ， L， cn）
称为n 阶方程的通解。
若存在 (x,c1,,cn) 的一个邻域，使得
,
, ,
c1
c2
cn
, c1
, c2
,
cn 0
(n1) ,
(n1) ,
,
(n1)
c1
c2
cn
则称 y(x,c1,,cn) 含有n个相互独立的常数。
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例：yc1cox sc2sixn是 yy0的通解。 因为 y c1sixn c2co x而s
cosx sinx 10
sinx cosx
特解：在通解中确立了一组任意常数后所得的解称 为特解。
x,
y,
,
12-1常微分方程27页PPT
一般说来，不含有任意常数的解，称为方程的特解。 通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常 数来得到特解。但有些特解不能由通解求出，必须利用 其它方法直接由方程解出。
所有解＝通解＋不能包含在通解内的所有特解。
例 验证函 yc数 oasxsianx为微分方程 ya2y0 (a0为常 )。数
解
y a sa i n a x ca o ,x s
③牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式， 会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解
④掌握全微分方程的解法
⑤会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程
⑥掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟 练地应用特征根法、待定系数法求解二阶 常系数线性方程
引例：
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M(x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.
d x x2 dt
dd2xy2bddxycysinx
dx2
x2
t3
dt
一阶 二阶 一阶
线性方程、非线性方程
若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，
且系数只与自变量Hale Waihona Puke 关（与未知函数及其导数无关），则称
该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程。
d x x2 dt
一阶 非线性
dd2xy2bddxycysinx
dx2
dt
x2
t3
二阶 线性 一阶 非线性
齐次方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐次方程。 自由项不为零的方程，称为非齐次方程。
d x x2 dt
一阶齐次非线性方程
dd2xy2bddxycysinx 二阶非齐次线性方程
所有解＝通解＋不能包含在通解内的所有特解。
例 验证函 yc数 oasxsianx为微分方程 ya2y0 (a0为常 )。数
解
y a sa i n a x ca o ,x s
③牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式， 会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解
④掌握全微分方程的解法
⑤会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程
⑥掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟 练地应用特征根法、待定系数法求解二阶 常系数线性方程
引例：
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M(x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.
d x x2 dt
dd2xy2bddxycysinx
dx2
x2
t3
dt
一阶 二阶 一阶
线性方程、非线性方程
若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，
且系数只与自变量Hale Waihona Puke 关（与未知函数及其导数无关），则称
该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程。
d x x2 dt
一阶 非线性
dd2xy2bddxycysinx
dx2
dt
x2
t3
二阶 线性 一阶 非线性
齐次方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐次方程。 自由项不为零的方程，称为非齐次方程。
d x x2 dt
一阶齐次非线性方程
dd2xy2bddxycysinx 二阶非齐次线性方程
常微分方程模型.ppt
历史背景:
为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史
学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X射线检验画布上是否曾经
有过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有 历经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕 迹，还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证 据，范·梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他 在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日死去。
历史背景:
然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门 徒”是范·梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定 为真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的 回答是：由于范·梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心 绘制“在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后， 他的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以 后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 。这种解释不能使怀疑者感到 满意，他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪 造品。这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦（CarnegieMellon）大学的科学家们 基本上解决。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需 的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：
故 T ln 2
2N0 N0erT
r
模型检预验测
假比如较人历口年数的真人能口保统持计每资3料4.，6年可增发加现一人倍口，增那长么的人实口际数情将况
与 以马几尔何萨级斯数模的型方的式预增报长结。果例基如本，相到符251，0年例，如人，口19达61年2×世10界14人个，
大学课件常微分方程第8章定性理论
t
t
t
(8.2)
任给ε>0，存在t0>0，当t≥t0时,有
x(t) y(t)
再由解对初值的连续依赖性知，存在 0 ，当 x(0) y(0) 时，0 t t0
x(t) y(t)
从而知道解x=x(t)是稳定的，再由式(8.2)知它也是渐近稳定的.
2.按第一近似决定稳定性 若作未知函数的变换：
③应用延展定理，由式(8.9)知，必有t1=∞.再由式(8.9)及 渐近稳定的定义即得结论(1)成立.
为了应用定理8.3,人们需要考察矩阵A的特征根的实部. 下述的结果常被使用（见参考文献［27］）.
命题8.1 设
P() n a1n1 an1 an
是一实系数多项式.记D1=a1，和 a1 a3 a5 a2k 1
为零的情形，方程组(8.3)的零解的稳定性不能应用定理8.3
来判定.这时方程组(8.3)的零解的稳定性视具体情况而定.
例8.3 讨论方程组
d x d t
y
(x3
xy2 ),
d
y
x
(x2 y
y3)
d t
零解的稳定性，其中σ是常数，取值-1、0和1.
解 容易算出它的第一近似方程组系数矩阵的特征根
是±i，因此定理8.3不能用.但是容易看出，对上述方程组
lim R(t, x) 0
(8.5)
x 0 x
我们先讨论如何判定方程组(8.4)零解的稳定性.
定理8.1 设Φ(t)是方程组(8.4)的一个基本解矩阵.方程 组(8.4)的零解:
(1)是稳定的，当且仅当Φ(t)在t≥0上有界； (2)是渐近稳定（实际上是全局渐近稳定）的，当且仅 当
lim (t) 0
常微分方程定性理论课件
E r F(x0 ) 0, F(x1) 0 x0稳定, x1不稳定 E r F(x0 ) 0, F(x1) 0 x0不稳定, x1稳定
E~捕捞强度 r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯
第14页/共21页
3. 周期轨道Lyapunov稳定性的判别方法
第15页/共21页
第2页/共21页
第3页/共21页
第4页/共21页
2. 奇点Lyapunov稳定性的判别方法
第5页/共21页
第6页/共21页
第7页/共21页
第8页/共21页
第9页/共21页
x1 (t )
x2
(t
)
f ( x1, g( x1,
x2 ) x2 )
,
f ( x1, x2 ) 0
g(
h(x)=Ex, E~捕捞强度
建模
记 F(x) f (x) h(x)
捕捞情况下渔 场鱼量满足
x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
第13页/共21页
产量模型 x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
F(x) 0
平衡点
x0
N (1
E ), r
x1 0
稳定性判断 F(x0 ) E r, F(x1) r E
第16页/共21页
第17页/共21页
第18页/共21页
作业
第19页/共21页
作业
第20页/共21页
感谢您的观看。
第21页/共21页
x1,பைடு நூலகம்
x2
)
0
9
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lim
t
lim
t
x1 (t ) x2 (t)
E~捕捞强度 r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯
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3. 周期轨道Lyapunov稳定性的判别方法
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2. 奇点Lyapunov稳定性的判别方法
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x1 (t )
x2
(t
)
f ( x1, g( x1,
x2 ) x2 )
,
f ( x1, x2 ) 0
g(
h(x)=Ex, E~捕捞强度
建模
记 F(x) f (x) h(x)
捕捞情况下渔 场鱼量满足
x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
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产量模型 x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
F(x) 0
平衡点
x0
N (1
E ), r
x1 0
稳定性判断 F(x0 ) E r, F(x1) r E
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作业
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x2
)
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lim
t
lim
t
x1 (t ) x2 (t)
常微分方程 ppt课件
量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2
g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
ppt课件
11
一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
这样，从定义1.1可以直接验证：
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
ppt课件
14
n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
ppt课件
1
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
ppt课件
2
传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.
常微分方程全册ppt课件
z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程 注: 本课程主要研究常微分方程，同时把常微分方程简称 为微分方程或方程
微分方程的阶 定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为 微分方程的阶数.
z z (5) z ; x y
2 3
(2) xdy ydx 0 ;
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t ; 4 dt dt
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样 的微分方程称为常微分方程
两种群竞争模型
Lorenz方程
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形（fractal）
吸引盆
总结
微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态系 统 从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未 知函数及其导数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型 数学模型的建立有多种方式 研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与实际相吻合， 不断改进模型 由微分方程发现或预测新的规律和性质
如:
dy (1) 2x dx
是一阶微分方程
(2) xdy ydx 0
d 2x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
3
是二阶微分方程
是四阶微分方程
n阶微分方程的一般形式为
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教学课件
常微分方程
《常微分方程》课件
学习变量分离法解决一些特定类型的常微分方程，为深入研究提供技术支持。
齐次常微分方程及非齐次常微 分方程
理解齐次和非齐次常微分方程的区别，学习它们的解法并应用于实际问题。
常微分方程的初值问题及其解 法
探索常微分方程的初值问题，并学习如何求解初值问题的特解和解的存在唯 一性。
高阶常微分方程转化为一阶常微分方程
学习将高阶常微分方程转化为一阶形式，为解决复杂问题提供简化和便利。
常微分方程的特殊解与通解
探索常微分方程的特殊解和通解的概念，以及如何求解并理解其意义。
线性常微分方程及其解法
深入研究 的解法。
变量分离法求解常微分方程
《常微分方程》PPT课件
欢迎来到《常微分方程》PPT课件！本课程将带你深入了解常微分方程的基础 概念和解法，并展示其在各个领域的应用。
常微分方程基础
探索微分方程的定义、基本类型和解析解的概念，为后续学习打下坚实基础。
一阶常微分方程解法
介绍一阶常微分方程的多种解法，包括分离变量法、恰当方程法和线性方程 法。
齐次常微分方程及非齐次常微 分方程
理解齐次和非齐次常微分方程的区别，学习它们的解法并应用于实际问题。
常微分方程的初值问题及其解 法
探索常微分方程的初值问题，并学习如何求解初值问题的特解和解的存在唯 一性。
高阶常微分方程转化为一阶常微分方程
学习将高阶常微分方程转化为一阶形式，为解决复杂问题提供简化和便利。
常微分方程的特殊解与通解
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线性常微分方程及其解法
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变量分离法求解常微分方程
《常微分方程》PPT课件
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常微分方程基础
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一阶常微分方程解法
介绍一阶常微分方程的多种解法，包括分离变量法、恰当方程法和线性方程 法。