指数函数复习课件

函数的性质
单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，
x轴是函数图象的渐近线．当0＜a＜1，x→＋∞，y→0；当a＞
1时，x→－∞，y→0；当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，
递增的速度越快；当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴， 递减的速度越快．
1 1 1
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【规律小结】 指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式 的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数
幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根
式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．
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跟踪训练 1.计算下列各式：
0.5 27 7 (1)(0.027) ＋125 － 29 ； 2 3 1 － 3
1 5 6 6
25 9
b
1 1 5 ＋ － 2 3 6
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考点 2
指数函数的图象 1 (2012· 高考四川卷 )函数 y＝ a － (a＞ 0，且 a≠1) a
x
例2
的图象可能是(
)
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1 【解析】 当 a＞ 1 时，y＝ a － 为增函数，且在 y 轴上的截 a
x
1 距为 0＜1－ ＜1，排除 A，B. a 1 当 0＜ a＜ 1 时， y＝a － 为减函数，且在 y 轴上的截距为 1 a
高中一级数学
指数函数课件
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指数函数
2014高考导航
考纲展示
1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义，了 解实数指数幂的意义，掌握幂的 运算. 3.理解指数幂的概念，理解指数
备考指南
1.指数函数的概念、图象与性质是 近几年高考的热点.
2.通过具体问题考查指数函数的图
象与性质，或利用指数函数的图象 与性质解决一些实际问题是重点， 也是难点，同时考查分类讨论思想 和数形结合思想. 3.题型以选择题和填空题为主，与 其他知识点交汇则以解答题的形式
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方法感悟
1.分数指数幂与根式的关系
分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义 把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程． 2.函数y＝ax、y＝|ax|、y＝a|x|(a＞0，a≠1)三者之间的关系 函数y＝ax与y＝|ax|是同一个函数的不同表现形式，函数y＝a|x|
与 y ＝ ax 不同，前者是一个偶函数，其图象关于 y 轴对称，当
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n
a
n ± a(a＞0)
思考探究
n a 与( a)n 是否相同？
n a) 等于 a，而
n
n
n
提示：不同．(
n
an，当 n 为奇数时为 a，当
n 为偶数时为|a|.
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2.有理指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂是： m n m n a a ＝_______ (a＞0，m， n∈ N*， n＞1)． ②正数的负分数指数幂是： 1 1 m m n m n -n a a a ＝______ ＝________ (a＞ 0， m， n∈ N*， n＞ 1)． ③ 0 的正分数指数幂是 0，0 的负分数指数幂无意义．
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跟踪训练
x－ 1 x 1 1 4.方程2 ＋ 4 ＋ a＝ 0 有正数解， 则实数 a 的取值范围是
(
) B．(－∞，－2) D． (－ 3， 0)
A． (－∞，1) C． (－ 3，－ 2)
x 1 解析：选 D.令 t＝2 ，因为方程有正根，所以 t∈(0，1)，
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(2)有理指数幂的运算性质 ar＋s ①aras＝________ (a＞0，r，s∈Q)．
rs r s a ②(a ) ＝_____
(a＞0，r，s∈Q)．
arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)． ③(ab)r＝______
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3.指数函数的图象及其性质 a>1 图象 定义域 值域 性质 R (0，＋∞) ____________ 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 y>1 ；当 当x>0时，_______ 0<y<1 ； 当x>0时，_____ 0<y<1 y>1 x<0时，________ 当x<0时，_____ 在(－∞，＋∞)上是 在(－∞，＋∞)上是 增函数 减函数 _________ _________
解析：由题意得 0＜a2－1＜1， ∴－ 2＜a＜－1 或 1＜a＜ 2.
答案：(－ 2，－1)∪(1， 2)
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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 指数幂的化简与求值 化简下列各式：
1 － 3
例1
1 －2 1 7 (1)0.027 －7 ＋29 2 －( 2－1)0；
5 3 －2 － － － (2) a b ·(－3a 2b 1)÷ (4a3b 3)2· ab. 6
a ＝4 1 1 由题意知 － 1 ⇒ m＝ ，与 m＜ 矛盾． 2 4 a ＝ m
2
当 0＜ a＜ 1 时，f(x)＝ax 为减函数，
a ＝m 1 1 1 由题意知 － 1 ⇒ m＝ ，满足 m＜ .故 a＝ . 16 4 4 a ＝4
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2
【答案】
(1)(－∞，1]
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
解析：选D.由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝
ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1； 函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到
的，所以b＜0，故选D.
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考点 3
指数函数的性质
－ a|
1 (2) 4
【规律小结】 (1)分类讨论的问题最后要注意对分类作总结．
(2)y＝af(x)中，当a＞1时，y＝af(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相 同；当0＜a＜1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相反．
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跟踪训练
3.(1)(2013· 山西重点高中联考 )已知 a ＝ 20.2， b ＝ 0.40.2， c ＝ 0.40.6，则 ( A． a＞ b＞ c C． c＞a＞ b ) B．a＞ c＞b D． b＞ c＞ a )
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【解析】
e ， x＞a， (1)f(x)＝ a－ x 当 x＞ a 时 f(x)单调递增， e ， x＜a，
x－ a
当 x＜ a 时， f(x)单调递减．又 f(x)在 [1，＋∞ )上是增函数， 所以 a≤1. (2)g(x)＝ (1－ 4m) x在 [0， ＋∞ )上是增函数， 应有 1－ 4m＞0， 1 即 m＜ .当 a＞ 1 时，f(x)＝ax 为增函数， 4
函数的单调性，掌握指数函数图
象通过的特殊点. 4.知道指数函数是一类重要的函
数模型.
出现.
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本节目录
教 材 回 顾 夯 实 双 基
考 点 探 究 讲 练 互 动
名 师 讲 坛 精 彩 呈 现
知 能 演 练 轻 松 闯 关
教材回顾夯实双基
基础梳理
1.根式的概念
根式的概念 如果 xn＝a，那么 x 叫作 a 的 n 次方根 当 n 为奇数时， 正数的 n 次方根是一个正数 ____， 负数 负数 的 n 次方根是一个_____ 当 n 为偶数时， 正数的 n 次方根有两个， 它们互为 相反数 ________ 符号表示 备注 n＞ 1 且 n∈ N* 零的 n 次方 根是零 负数没有偶 次方根
(2)(2a b )(－ 6a b )÷ (－3a b )． 1 125 解：(1)原式＝0.32＋ 27 3－
9 5 5 9 ＝ ＋ － ＝ . 100 3 3 100 (2)原式＝[2× (－6)÷ (－3)]a ＝ 4ab0＝4a.
2 1 1 ＋ － 3 2 6
2 1 3 2
1 1 2 3
则方程可转化为 t2＋2t＋a＝0， 所以 a＝1－(t＋1)2.因为 t∈(0， 1)，所以 a∈(－3，0)，故选 D.
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知能演练轻松闯关
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本部分内容讲解结束
谢谢欣赏
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0<a<1
课前热身
1.化简 [(－ 2) ] －(－ 1)0 的结果为 ( A．－ 9 C．－10
解析：选 B.原式＝ (2 ) －1＝7.
1 6 2
1 6 2
)
B．7 D． 9
2.函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(
A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a＞0且a≠1 答案：C
)
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3.已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐 标是( )
A．(1，5)
C．(0，4)
B．(1，4)
D．(4，0)
答案：A
4.函数f(x)＝3－x－1的定义域为________，值域为________． 答案：R (－1，＋∞)
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5.若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取 值范围是________．
x
1 － ＜ 0，故选 D. a
【答案】 D
【题后感悟】
对于指数型函数图象的研究，一般是从最基本
的指数函数的图象入手 ， 通过平移、伸缩、对称变换而得 到．特别地，要注意底数a＞1与0＜a＜1的两种不同情况．
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跟踪训练 2.函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结 论正确的是( A．a＞1，b＜0 )
1 1x 因为 x∈[－3，2]，所以 ≤ 2 ≤ 8. 4
x x 1 1 1 3 当2 ＝ 时， ymin＝ ；当2 ＝ 8 时， ymax＝ 57. 2 4
3 所以函数 y 的值域为 4， 57.
3 【答案】 4，57
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【防范措施】
1 (2)(2013· 沈阳模拟)函数 y＝ ( )2x－ x2 的值域为( 2 1 A． [ ，＋∞ ) 2 1 C． (0， ] 2 1 B．(－∞， ] 2 D． (0，2]
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解析： (1)选 A.由 0.2＜ 0.6， 0.4＜1，并结合指数函数的图象 可知 0.40.2＞0.40.6，即 b＞ c.因为 a＝ 20.2＞ 1，b＝0.40.2＜1，所 以 a＞ b.综上， a＞ b＞ c，故选 A. (2)选 A.令 t＝ 2x－ x2＝－ (x－1)2＋ 1≤ 1， 1t 1 1 2x－ x2 1 ∴ ( ) ≥ ，∴ y＝ ( ) 的值域为 [ ，＋∞)，故选 A. 2 2 2 2
解决一些由指数函数、对数函数、三角函数
构成的复合函数、方程或不等式时，多采用换元法，将问题 转化为简单且易于处理的函数、方程或不等式．求解时应注
x 1 意新元的取值范围，如本例中把2 当成一个整体进行代换， x 1 然后配方，最后根据指数函数的性质确定2 的范围，从而
得出所求函数的值域．
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名师讲坛精彩呈现
易错警示
忽视换元后新元的取值范围致误
x x 1 1 例 函数 y＝ － ＋1 在 x∈[－3，2]上的值域是 4 2
________．
【常见错误】 利用换元法解题时易忽略新元的取值范围，其 原因在于不注意问题的等价性．
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x x x 2 x 2 x 1 1 1 1 1 1 3 【解析】 y＝ 4 － 2 ＋1＝ 2 －2 ＋1＝2 －2 ＋4.
|x (1)(2012· 高考上海卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ e 例3
(a 为常数 ).
若 f(x)在区间 [1， ＋∞ )上是增函数， 则 a 的取值范围是 _____； (2)(2012· 高考山东卷)若函数 f(x)＝ ax(a＞ 0， a≠1)在 [－ 1， 2] 上的最大值为 4， 最小值为 m， 且函数 g(x)＝ (1－4m) x在 [0， ＋∞)上是增函数，则 a＝ ________．
1
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【解】
1 27 25 (1)原式＝1 000 － 72＋ 9 2－ 1
1 － 3
10 5 ＝ － 49＋ － 1＝－45. 3 3
3 5 －1 －3 － (2)原式＝(－ a 6b )÷ (2a3b 2)· a 2b 2 2
1 1 1
5 －2 －3 5 －1 5 2 2 2 ＝－ a b · a b ＝－ b ＝－ . 4 4 4b