计量经济学讲义-4--第二章 单变量回归

第二章单变量回归
所谓回归分析(regression analysis)，就是弄清楚两个或两个以上变量之间的因果关系的统计手法，是计量经济学中经常应用的方法。

我们也可以认为计量经济学的目的就是为了改进回归分析。

本章的对象：单变量的回归模型
主要内容：古典正规线性回归模型的假定；
最小二乘回归模型(Ordinary least-squares regression model, OLS)的重要结果；
1.古典正规线性回归模型
1-1 回归分析
(1) 现在把两个变量Y和X 之间的关系，用一次函数
的形式表示。

具体，
,1,2,,t t t Y X u t n αβ=++=L ， 这样的模型称为单变量回归模型。

其中，X
是代表原因(cause)的变量，我们称之为说明变量(explanatory
variable),或者称之为
独立变量(independent variable); Y
是代表结果(result)的变量，我们称之为被说明变量
(explained variable)，或从属变量(dependent variable); u是误差项(error term),或叫作搅乱项(disturbance term)，代表不能用X的变化来反应出的Y的变化的那个部分。

也就是现实的
Y与理论的Y 之间的差异。

为什么需要加入误差项呢？
因为精确的数学模型能
解释的现象很少；现在能解释经济现象的手法大家更喜欢用随机变量来表示经济变量的不确性；
(2)回归分析的目的
主要目的是估计参数ˆα和ˆβ以及2σ以及对估计值进行显著性检验。

最常用的方法是最小2乘法(Ordinary Least Square method, OLS)
1-2 5个基本假定
A. 古典正规线性回归
模型有以下五个假设：
(1) 误差项t
u 的平
均为0,即n t t=1
1
u 0
n =∑； (2) 误差项12,,,n
u u u L 之间不
相关，即(),0i j E u u =，或()cov ,0
i j u u =； (3) 误差项具有相同的
方差2σ，其中2
σ是未知；
(4) 说明变量12,,,n
X X X L 是可以指定的，也就是说
12,,,n
X X X L 不是确率变量；
(5) 误差项服从正规分
布。

B. 下面我们详细说明上述的五个假定。

B-1假定(1)
误差项u代表说明变量X
以外其他的对被说明变量Y产生影响因素的总和。

其中的任何一个构成因素都不可能对被说明变量产生连续的影响，而它们总体有时候对被说明变量产生正的影响，有
时候产生负的影响，但是就平均程度而言是0。

这种假定意味着被说明变量t Y的平均是由t Xαβ+的大小决定，而误差项不会对被解释变量产生一种系统的影响，也就是与误差项无关。

把说明变量t Y分成两
个部分：t X
αβ
+和t u 。

其中，t Xαβ+
是可以人为指定的，称为系统部分；误差项t u是个
确率变量，称为非系统部分；就是不可预知部分，它决定被说明变量t Y也是个随机变量。

被说明变量和误差项具同样的分布。

如果这种假设不成立，也就是说，有一个系统因素t Z，本应该出现在系统部分里，却人为地把它放在非系统部分中，那样会带来什么样的后果
呢？
先看看原来的误差
项t
u 。

如前面所述的那样，依旧假设t
u 是一个平均为0的随机变量。

现在，犯了定义上的错误，把应该放在系统说明部分中的说明变量t
Z ，归类到误差项t u 中，即01t t t u Z γγν=++，其中t
ν是一个均值为0的随机变量。

这时，t u 就不再是一个均值为0的随机变量。

被说明变量t
Y 的平均也不再只由t
X αβ+的大小决定，
还要受到t u 中t
Z 的大小的影响。

这种错误是在建模
阶段发生的错误。

不能简单地从检验
假说(1)的成立与否来判
断这类错误的有无。

原因
是无论模型的建立是否
正确，最小二乘残差t
e 的
总和永远为0，即1
n
t t e ==∑，所
以从作为误差项t
u 的估计值的t
e 的平均，是不能判
断假说(1)的正确与否。

B-2. 假设(2) ---- 各
期的误差项
12,,,n u u u L 之间不相关，即()cov ,0i j u u = ()()()()
,i j i i j j i j Cov u u E u E u u E u E u u ⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦ 先介绍一下什么是自己
相关。

假如t
代表任何时点，相应的误差项1,t t
u u -。

如
果1t u -是正的时候，t
u 更倾向
于得到正的值，这种情况，称1,t t u u-之间存在正的相关；反之，当1t u-为正的时候，t u倾向于小于0的情况，称为负相关。

假设(4)阐述那样，说明变量t X不是随机变量，所以误差项t u是一个随机变量，被说明变量t Y 因此也成为一个随机变量。

如果t u是一个自己相关的随机变量的话，相应
的t Y也成为一个自己相关的随机变量。

虽然自己不相关这一假说是一个非常强的假设，在现实中很难得到满足，但是在理论研究上具有很好的性质，比如使用方便等，同时也可以把结果发展到自己相关的状况下，所以这个假设还是很重要的。

对于自己相关的处
理方法，将在自己相关那
一章中作具体介绍。

B-3. 假设(3) ---- 误
差项具有相同的方差2
σ，其中2
σ是未知。

首先介绍一下均一方差。

对于所有的误差项
,1,2,,t u t n
=L 来说，它们都具有相同的
方差的时候，服从均一方差分布；当各时点误差项
的方差不相同的时候，服
从异方差分布。

被说明变量t Y与误差项t u具有相同的随机性质，所以当t u服从于均一方差分布的时候，被说明变量t Y也服从于均一方差分布；反之，当t u不服从于均一方差分布的时候，被说明变量t Y也服从于异方差分布。

关于这一假设部成立的情况，会在异方差中详细说明。

B-4假设(4) ---- 说明变量12,,,n
L是可以指定的，
X X X
也就是说12,,,n
L不是随机变
X X X
量。

所谓指定变量，就是意味
着可以人为地给定一个X
的水平，可以观察相应的
Y的水平。

虽然说明变量X
是可以控制的，但是其他
不可以控制的影响被说
明变量的因素是随机变
动的，所以被说明变量是
确率变量。

这里反复强调说明变量X是指定变量，宗旨无非是想表明说明变量X不是确率变量，也就是说不是随机变动的，
X的决定机制和误差项的决定机制是完全不同的，它们是独立的，这就是这条假设的目的。

在自然科学领域，说明变量的水平是可以控制的，例如，肥料的投入量与收
成关系的研究中，肥料的投入量是可以人为控制的。

但是在经济学领域里，这种人为的控制是不可能的。

例如给出不同的收入水平，也不可能策划出家庭消费，因为从被调查家庭这个母集团中，随机抽取家庭样本时，导致家庭的收入水平这一说明变量就变得不可以控制。

还可以把假设（4）放松到说明变量X是确率变量，但是X要与误差项独立。

这种情况下，在本章中所展开的讨论仍然是有效的，只是可以把确率说明变量X理解为一种条件观察值。

B-5 假设(5) 误差项服从正规分布。

这里定义误差项u是影响被说明变量Y的系统因素
X
以外非系统因素
12,,,k
εεεL 的
总和。

即
12k
u εεε=+++L ，
当k 是一个比较大的数字，(),,00,i j i j k i j
εε<≤<≤≠，相互独立，而且每一个i
ε对误差项的
影响是非常微小的。

这种情况下，根据中心极限定理可以假定误差项服从正规分布。

误差项服从正规分布与否，和假说（1）同样，
是在建立理论模型的时候需要慎重考虑的。

2。

最小二乘法的几个重要结果
2.1 最小二乘回归有以下四个重要结果： (1). 1
n
t t e ==∑ (2). n t t=11
ˆe 0,0n
t t t
t X or
e Y ===∑∑ (3). 2
22
111
ˆn
n
n
t
t
t t t t y y
e ====
+∑∑∑ (4). 2
11
ˆˆn
n
t
t t
t t y
x y β===∑∑
2.2 结果的意义 结果(1). 1
n
t t e ==∑
这个结果说明最小二乘残差的总和一定是0。

这个结果同理论模型的好与坏，前面提及的假说（1）正确与否都无关，永远成立。

对每一个残差项t
e 而言，一般来说
它不一定是0，我们由ˆˆt t t
e Y Y =-（因为残差项t
e 使不可观察的，这里我们为了强调特意
写成ˆt e
代表残差项t
e 的推导过
程），当ˆt
Y 过大地估计t
Y 的时候，残差项t
e 就是负的；当ˆt
Y 过
小地估计t
Y 的时候，残差项
t
e 就大于0。

但是总和永远为0。

1
n
t t e ==∑
表明被说明变量的观察值的总和与估计值的总和永远是相等的，即11
ˆn
n
t t
t t Y Y ===
∑∑，也
就是说它们的样本平均值
也是一致的，ˆY Y
=。

有时候会出现1
n
t t e =≠∑，那更多的
是因为计算中的误差所至，而不是否认1
n
t t e ==∑这一结果。

结果(2). n t t=11
ˆe 0,0n
t t t
t X or
e Y ===∑∑
由结果1
n
t t e ==∑，很容易地得到
10n t t X
e ==∑
，从而得到()111
n n n
t t t t t t
t t t e X e X X e x ====-=∑∑∑，很显然，当1
n
t t t e X ==∑的时候，就
有1
n t t t e x ==∑。

而残差项e
与说明变量X
的样
本相关系数n
t t
uX e x ρ=
∑
当1
n t t t e x ==∑
，意味着e
与X
之间是线
性无关，即(),0
Cov e X =。

同样的道理，可以有1
ˆ0n t t
t e Y ==∑
得
出e
与Y
之间是线性无关，即
(),0
Cov e Y =。

结果(3). 2
22
111
ˆn
n
n
t
t
t t t t y y
e ====
+∑∑∑
(
)2
211
n
n
t
t t t y Y Y
===
-∑∑，称为全变动，反映被说明变量在样本平均周围的变化程度，
(
)2
2
11
ˆˆn
n
t
t
t t y
Y Y ===-∑∑，称为回归模型可以说明的变动，反映被说明变量的估计值在样本平均周围的变化程度，2
1
n
t t e =∑，称为回
归模型不能说明的变化部分。

结果(4). 2
1
1
ˆˆn n
t
t t
t t y x y β===∑
∑
我们利用这个结果，可以简
单地求出21
ˆn
t t y
=∑。

2.3 结果的证明
证明(1). 1
n
t t e ==∑
证明(2). n t t=1
1ˆe 0,0
n
t t t t X or
e Y ===∑
∑
证明(3). 2
2211
1
ˆn n
n
t
t t t t t y y
e ====+∑∑∑
证明(4). 2
1
1
ˆˆn n
t
t t
t t y x y β===∑
∑
最小二乘估计量的性质 一．ˆˆ,β
α的均值是无偏估计
()2
2
2
2
ˆt t t t t t t
t t t t x Y Y
x y x Y Y
x x x x x β
-==
=
-
∑∑
∑∑∑∑∑∑
， ()0
t
t
t x X
X X nX =-=-=∑∑∑Q
；
()222
ˆt t t t t t t t t t t t t x Y x X u x x X x u x x x αβαββ
++++∴===∑∑∑∑∑∑∑∑
2
t t t t
t
x X x u x β+=
∑∑∑()2
t t t t
t x x X x u x β++=
∑∑∑
22t t t t
t
x X x x u x
ββ++=
∑∑∑∑2t t t
x u x
β=+
∑∑
两边取均值，有
()()()22
ˆt t t t
t t x u x E u E E E x x ββββ
⎛
⎫
=+=+=
⎪ ⎪⎝
⎭∑
∑∑∑
， 这表明ˆβ
是β
的无偏
估计量。

对
于
ˆα
，
()(
)(
)
()
垐?ˆE E Y X E X X X XE αβαββαββ
α=-=+-=+-=。

二．ˆˆ,β
α的方差
做的五个假设中假设服从于正态分布，所以只要知道ˆˆ,α
β，的均值，方差和协方差，就完全知道ˆˆ,α
β的所有统计特
性。

根据方差的定义()()()()2
2
2垐垐?Var E E E E β
ββββ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦
， 把2
ˆt t t x u x β
β=+∑∑
代入，得到 ()()2垐?Var E E βββ⎡⎤=-⎣⎦2
2t t
t x u E x ββ⎡⎤=+
-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑2
2t t t x u E x ⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
∑∑
()
()2
2
2
1
t t
t t j j t j t
E x u x u x u x
≠⎡⎤
=
+
⎢⎥⎣
⎦
∑∑
∑()()()()222
2
2
21
1
t t t j t j
t
t
x E u x x E u u x
x
=+
∑∑∑∑ ()
()()()222
21
t
t t t
x Var u E u x ⎡⎤=
+⎢⎥⎣⎦
∑∑()
()22
21
t
t
t
x Var u x =∑∑2
2
t x σ=
∑；
对于ˆα
，有
[]()[]
2
2
2
ˆ垐垐Var E E E E Y X αααααβα⎡⎤⎡⎤=-=-=--⎣⎦⎣⎦
2
ˆE X X αββα⎡⎤=+--⎣⎦()()()
2
22垐X E X Var βββ⎡⎤=-=⎣⎦
；
再计算协方差，
()
()()()()垐?垐?,Cov E E E αβ
ααββ=--()()
ˆˆE ααββ=--
()()垐E Y X βα
ββ=---()()垐
E X X αββαββ=+---
()()垐XE ββ
ββ=--()
2
ˆXE ββ=--()
2
垐()
XE E ββ=--()
ˆXVar β
=-。

三． Gauss-Markov 高斯-马尔可夫定理
对于古典线性回归模型，普
通最小二乘估计量是最佳线性无偏估计量(BLUE)。

2
2
2
ˆ,t t t t t
t t t t t t x y x Y x k Y k x x x β
==
≡
≡
∑∑∑∑∑∑
, ˆβ
是样本的线性函数，所以ˆβ
是线性估计量。

下面证明
ˆβ
的方差最小。

设β
的任一线性估计量为
t t
Y βω•≡∑，则
()
()()t t t t t t t t
E E Y E X u X βωωαβαωβω•⎡⎤==++=+⎣⎦∑∑∑∑
只有当0,1
t t t X ωω==∑
∑的时候，β•
才
是β的无偏估计量。

()()()2t t t t t j t j
t j
Var Var Y Var Y E YY βωωωω•≠⎡⎤==
+
⎣
⎦∑∑
∑ ()()2t t t j t j t j
Var u E u u ωωω≠=+∑∑22
t σω=∑；
作个变换，
()
2
222
22
t t t t t t x x Var x x βσωσω•
⎡⎤⎢⎥==-+⎢⎥⎣⎦
∑∑∑∑
2
222222()()2t t t t t t t t t t x x x x x x x x σωω⎡⎤
⎛⎫⎢⎥=-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∑∑∑∑∑ 2
2
2
22
22222t t t t t t t t t t x x x x x x x x σωσσω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∑∑∑∑∑∑∑
2
22222222212()t t t t t t t t t x x x x x x x ωσωσσ⎛⎫⎡⎤=-++- ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑∑
2
2222222112t t t t t t t t x x x x x x ωσωσσ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑∑∑
()2
2222222112t t
t t t t t t X X x x x x x ωσωσσ⎛⎫⎛⎫-=-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭∑∑∑∑∑∑ 2
2
2222222112t t
t t t t t t t t X X x x x x x x ωωσωσσ⎛⎫⎛⎫=-++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑
2
2222
1t t t t x x x σωσ⎛⎫=-+≥
⎪ ⎪⎝⎭
∑∑∑()2
21
t
Var x σβ=∑
第三节 拟合优度的测度 一． 概念
拟合优度是指两个变量之间关系强度的测度。

二． Y 的变差的组成 ()垐()t t Y Y Y Y Y Y
-=-+- ()()()2
2
2垐垐()()2t t t t t t t
Y Y Y Y Y Y
Y Y Y Y -=-+-+-- ()()2
2
2垐ˆ垐()2t t t t t
Y Y e X X
e Y Y αβαβ-=++--+-
(
)(
)2
2
2
ˆt t
t
Y Y Y Y e
-=-+∑∑
∑
三．拟合优度的测度 3.1 决定系数
在全变动中，只有21
ˆn
t t y
=∑是回归
模型可以说明，所以判断一个理论模型
,1,2,,t t t Y X u t n
αβ=++=L
具有多少说明力，用决定系
数的()(
)22212
2
1
ˆˆ1n
t t t n
t t
t y
Y Y ESS RSS
R TSS TSS
Y Y
y
==-=
=
=
=--∑∑∑∑，（ESS: explained sum of squares ；
TSS: total sum of squares; RSS ：residural sum of squares ）来度量，或者用
相关系数；
x y r ==
来度量。

r
的取值范围在-1
到+1之间，其绝对值越接近于1，表明被说明变量与说明变量的线性相关程度越强，当1
r =-的时候，称被说明变量与说明变量之间是完全负的相关，当1
r =的时候，
称被说明变量与说明变量之间是完全正的相关，当0
r =的时候，称被说明变量与说
明变量之间是完全不相关。

第四节 区间估计和假设检验
一．β
的置信区间
最小二乘法的五个假设都成立的情况下，22ˆ,t N x σββ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭∑:.
if 2
σis given, then we
can estimate β
as
ˆ 1.96β
±;
1．2
σ
的估计
2t
2
e ˆn-2
σ
=
∑
We will prove ˆσ
is a
unbiased estimator for σ
.
ˆˆt t t
e Y X αβ=--;
22222垐?垐?222t t t t t t t e Y X Y X Y X αβαβαβ
=++--+ ()()()22222垐?垐?222t t t t t t t t t t e X u X X u X X u X αβαβααββαβαβ
=++++-++-+++
()
()()2222222垐垐222222t t t t t t t t t t t t X u X u X u X X u X X u αβαβαβαβααββαβα
=+++++++-++-+++as
()[]()()22
2
2
2
垐,,,t t t X E E Var Var n x x σσααββαβ===
=
∑∑∑, and
then we have
()(
)
()()()()
()()()()()()2
2
222222垐垐垐22222
t t t t
t t t t E e X X Var E Var E X
X E u X X αβσαβααββααβαβαβ⎛⎫=+++++++-+--+- ⎪⎝
⎭
()(
)
()()
(
2222
2
2
2
2
222
22222垐2222222t t
t t t
t t t t t t X E e
X X X X E Y X u X X E n x x σσαβσαβαβααββαββ⎛⎫⎛⎫=+++++++------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑()()
()
()
222222
2
22
22222垐222222t t t
t t t t t t t t t X X X E e
X XE u X X E u X n x x x σσσβ
σ
βαβββαβ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++++---++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∑∑∑∑
()
()()
()222222
2
222垐222t t t t
t t t
t t t X X X E e
XE u E u X n x x n x σσσσββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∑∑∑∑∑
where
222
ˆt j j t
j t
t t t t t t t
u x u u x u u u u x x
βββ≠+⎛⎫
=+=+ ⎪
⎪⎝
⎭
∑∑∑∑, and 22
22
ˆ()()()t j j t
j t
t t
t t
u x u u E u E u E x x
σββ≠+=+=
∑∑∑
()
()2222222
2222222222t t t t t
t t t t t X X X E e
X X n x x x x n x σσσσσσ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∑∑∑∑∑∑∑
()
()()2222222
22
22222222t t t t
t t
t t t t t X X X E e
X X n x x n x x n x σσσσσσ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∑∑∑∑∑∑∑∑
We will estimate by the following , alike. ˆˆt t t
e Y n X α
β=
--∑∑∑
ˆˆˆt t t t t
Y Y e X e αβ=+=++,and there is
ˆˆY X α
β=+,and then we have
()垐t t t t t t
Y Y y X X e x e ββ-==-+=+, then ˆt t t e y x β=-, 2222
垐2t t t t t e y x y x ββ=-+,and
then we instead ˆβ
with 2
ˆt t t x y x β
=∑∑
. 2
222
2
22
t t
t t t t t t t
t t x y x y e y x y x x x ⎛
⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
∑∑∑∑
;
2
22
222
2t t
t t
t t t t t
t t x y x y e y x y x
x x ⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭
∑∑∑∑∑∑∑∑2ˆt t t
y x y β=-∑∑
As ˆˆˆt t t t t
Y Y e X e αβ=+=++,and
ˆˆY X α
β=+,and then we have 22
ˆˆ2
t t t
y x y n β
σ
-=-∑∑.
2. conditional on the un-known 2
σ, we
estimate the interval value for β
by using t-value.
()
ˆ2E t t n ββ-=
-:, as there two
parameters ,αβ
.
The interval values for parameter β is
垐
β±
The method of looking for t-table in the behind of the text, P186.
The question : why the t-value of estimator must equal to 1.96 at least ?
For example: in the text P53.
三．Testing for hypothesis
参考书：1 《金融数量方法》陈工孟，陈守东译，上海人民出版社。

？为什么要进行检验呢？
概率模型仅仅能够提供回归系数的估计，因此有必要对这些古迹在多大的程度上能够代表着真实的系数进行检验。

可以通过加
演回归系数的统计显著性和所顾忌的回归直线的数据的拟合优度来进行这项检验。

1. The method for testing
建立原假设和备择假设；计算检验统计量；看是否出现小概率事件；得出结论。

Example 3.3
We must remember that
()()()Pr 2.0860.025,20;
Pr 1.7250.05,20;
Pr 1.7250.10t df t df t >==>==>=
We see the table on
P186, we can find the
value is -1.86.
If we want to find out
the value for 10%
α=, then the value is -.1.397;
If we want to know the
value for 1%,
α=,then the two-hand value is 3.355.
2 系数的显著性检验
所谓显著性检验就是检验参数是否为0。

也就是检验每一个估计系数是由于偶然性而落在分布的尾部，还是落在分布的主体范围内。

即判断t value tα
->与否。

系数的统计显著性可以用估计值的离散程度来衡量。

由于误差或残差被假定服从正态分布，误差的标准偏差就可以用来衡量这种分散程度，这种标准偏差
被称为系数的标准误差。

我们用t统计量来度量系数的显著性程度。

为了得到这些度量，我们首先需要知道：系数的抽样分布；
系数的方差以及标准误差的估计；
这样，我们就可以检验关于系数的假设，或对期建立置信区间。

原假设：是指在统计检验
中没有证据能够拒绝它时将会被接受的假说。

备择假设：拒绝原假设，就会接受备择假设。

真实的情况
原假设为真的and 接受原假设原来假设有误and accepted
判接受原假设
对
第二类错误
断
结拒绝原假设第一类错误对
果
我们最想避免的是第一类错误。

因此我们设置相应的显著性水平，使得发生这种错误的概率小一些。

检验的步骤：
step-1 确定显著性水平. 显著性水平意味着偶然性的概率。

例如95%，就意味着95%的概率 不是出于偶然。

step-2 设置原假设中的大小
step-3 查表找出临界值
step-4 判断
出现小概率时间的话，则表明在显著性水平下，原
假设不成立。

单边检验：
右边：大于右侧的临界值，表明样本太大了，他成为总体的代表的概率小于我们所设定的显著性水平。

p-value
p-value是原假设成立的情况下，标准化的检验统计量取值得概率。

Example 3.4 P55
进一步阅读文献：
Bowers,D.,1991,Statisti cs for Economics and Business, Macmillam，London.
Silver,M.,1992,Business Statistics,
McGraw-Hill,London
四．回归结果的提供和分析
1．回归结果提供的格式
two types
2. 回归结果的分析
2-1 系数的说明。

符号，大小，意义等。

2-2 拟合情况。

2-3 系数的显著性。

2-4 误差项是否存在
自相关。

第五节利用回归进行预测(forcasting) P56
一．预测的概念 P56 通过说明变量来推测被
说明变量的大小。

二．预测的隐含条件：对。