7.5 回归模型的预测与区间估计(学生)

Yˆ1( X ) = Yˆ − δ ( X ) , Yˆ2 ( X ) = Yˆ + δ ( X )
(7.5.5)
之间的部分就是Y = β0 + β1X + μ 的置信水平为1−α 的预测带(或置信带)(在 X 处最窄).
例 7.5.2 为研究温度对某个化学过程生产量的影响, 收集到数据如下(规范化形式) X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Y 1 5 4 7 10 8 9 13 14 13 18
(7.5.4)
其中
δ
(
X
0
)
=
σˆ
t(
n−2)
α ( 2
)
1+ 1 + (X0 − X )2
n
Lxx
.
从而得到Y0 的置信水平为1−α 的预测区间为[Yˆ0 − δ ( X 0 ), Yˆ0 + δ ( X 0 )] . 由此可知, σˆ 越小, 预测区间越窄, 即预测越精确. 另外, 对于给定的样本观测值与置信水 平而言, X 0 越靠近 X 时, 预测精度就越高. 由 X 0 的任意性可知, 夹在两曲线
2
1
Y0 − Yˆ0 ~ N (0, σ
1+ 1 + (X0 − X )2 )
n
Lxx
(7.5.3)
T= σˆ
Y0 − Yˆ0 1+ 1 + (X0 − X )2
~ t(n−2)
n
Lxx
给定的显著性水平 α
,
有
t(
n−2
)
(α 2
)
,
使 P{T
≤
t(
n−2
)
(α 2
)}
=
1
−
α
即有
P{Yˆ0 − δ ( X 0 ) ≤ Y0 ≤ Yˆ0 + δ ( X 0 )} = 1−α
测数据拟合效果显著). 这样才能谈如何利用回归方程 Yˆ = βˆ0 + βˆ1X 进行预测与控制. 所谓 预测就是对固定的 X 值预测相应的Y 值; 所谓控制是指通过控制 X 值, 把Y 值控制在指定
的范围内.
7.5.2.1 预测
根据样本 ( Xi , Yi )(i = 1,", n) 求得回归方程 Yˆ = βˆ0 + βˆ1X . 对给定的 X = X 0 , 通过回归方 程可确定 Y0 的估计值 Yˆ0 = βˆ0 + βˆ1X 0 . 而实际上 Y0 = β0 + β1X 0 + μ0 , 其中 μ0 ~ N (0, σ ) . 我们用 Yˆ0 去估计 Y0 , 误差会多大? 也就是求 Y0 的预测区间(即置信区间). 这就需要研究 Y0 − Yˆ0 的概率分布.
Y 1 5 4 7 10 8 9 13 14 13 18
(1) 求线性回归方程
(2) 检验上述回归方程效果是否显著(α = 0.01 ) (3) 回归系数的置信区间(α = 0.05 )
(7.5.2)
7.5.2 预测与控制
如果检验的结果拒绝了 H0 : β1 = 0 , 也就是Y 与 X 的线性相关性显著(即回归方程与实际观
,
βˆ1
+
t(n−2
)
(α 2
)
σˆ ] Lxx
(7.5.1)
σ 2 的置信水平为1−α 的置信区间为
[
χ
Qe
2 (n−2)
(α 2
)
,
χ2 (n
Qe −2) (1
−
α 2
)
]
例 7.5.1 为研究温度对某个化学过程生产量的影响, 收集到数据如下(规范化形式)
X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
的线性回归方程为Yˆ = 9.273 +1.436X .
取 X 0 = 3 , 求Y0 的预测值与置信水平为1−α = 0.95 的预测区间.
7.5.2.2 控制*
问题: 若要 Y = β0 + β1X + μ 的值以1−α 的概率落在指定区间 (Y ′, Y ′′) 内, 那么预报变量 X 应控制在什么范围内? 即要求出区间 ( X ′, X ′′) , 使得当 X ′ < X < X ′′ 时, 对应的 Y 值以 1−α 的概率落在区间 (Y ′, Y ′′) 内, 这就是控制问题.
7.5 回归模型的预测与区间估计
7.5.1 回归参数的置信区间
β0 的置信水平为1−α 的置信区间为
∑ ∑ [βˆ0
−
t(n−2)
(α 2
)σˆ
X
2 i
nLxx
,
βˆ0
+
α t(n−2) ( 2
)σˆ
X
2 i
]
nLxx
β1 的置信水平为1−α 的置信区间为
[βˆ1
−
t(n−2)
ห้องสมุดไป่ตู้
(α 2
)
σˆ Lxx