北师大版高中数学必修二第一章1.1.1简单旋转体

1．1 简单旋转体

1．球面、球体(球)

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球．

预习交流1

根据“球”的定义，乒乓球是“球”吗？

提示：教学中的球，是球体的简称，它包括球面及所围成的空间部分，所以生活中的乒乓球不是教学中的球，而是球面．

2．旋转体

一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫旋转体．

3．圆柱、圆锥、圆台

分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．

预习交流2

怎样判断旋转体的形状？

提示：判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．

预习交流3

一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体都是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°将得到什么几何体？

提示：如图①和图②所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥；如图③所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥；如图④所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转180°围成的几何体是两个半圆锥．

1．对简单旋转体的理解

下列叙述正确的个数是( )．

①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；

③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

A．0 B．1 C．2 D．3

思路分析：本题①②为已知旋转轴判断旋转所得的几何体；③是判断旋转体的底面与截面．解答时可先根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征详细分析，再结合已知的各个命题的具体条件进行具体分析．

解析：①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图①，故①错；②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图②，故②错；③用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故③错．故选A.

答案：A

1．有下列命题，其中正确的是( )．

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 ③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 ④圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的

A ．①②

B ．②③

C ．①③

D ．②④

答案：D

2．有下列说法：

①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；

②球的半径是球面上任意一点与球心的连线；

③球的直径是球面上任意两点间的连线；

④用一个平面截一个球，得到的是一个圆．

其中正确的序号是______．

答案：①②

对旋转体定义的理解要准确，认清不同的旋转轴、截面的作用有所不同，

判断时要抓住几何体的结构特征，认真分析、对比判别．

2．简单旋转体中有关量的计算

圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．

思路分析：解有关圆台问题时，常常将其补成圆锥解决，作出圆锥的轴截面利用直角三角形可解．

解：设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，如图，∠ASO ＝30°，

在Rt △SA ′O ′中，r SA ′

＝sin30°，

∴SA ′＝2r .在Rt △SAO 中，2r SA

＝sin30°，∴SA ＝4r ，∴SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r

＝2a ，r ＝a ，

∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2，∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，

两底面面积之和为5πa 2.

1．用一个平面截半径为5cm 的球，球心到截面距离为4cm ，求截面圆的面积．

解：如图，设AK 为截面圆的半径，则OK ⊥AK .在Rt △OAK 中，OA ＝5cm ，OK ＝4cm ，∴AK ＝OA 2－OK 2＝52－42＝3(cm)，∴截面圆的面积为π·AK 2＝9π(cm 2)．

2．将一个边长为a 的正方形卷成圆柱侧面，求此圆柱的轴截面的面积．

解：设圆柱底面半径为r ，则2πr ＝a ，r ＝

a 2π，故轴截面的长为a ，宽为a π，面积为a π·a ＝a 2π.

1.计算简单旋转体中有关量的解题步骤：

2．解有关球的问题时，常用如下性质：

(1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直．

(2)如果分别用R 和r 表示球的半径和截面圆的半径，用d 表示球心到截面的距离，则R 2＝r 2＋d 2.球的有关计算问题，常归结为解这个直角三角形．

1．以下几何体中符合球的结构特征的是( )．

A ．足球

B ．篮球

C ．乒乓球

D ．铅球

解析：球包括球面及球体内部(即实心)，足球、篮球、乒乓球通常指球面，铅球才是球体．

答案：D

2．将如图所示的直角梯形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是( )．