2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编 专题28 解直角三角形(含解析)(003)

解直角三角形一.选择题
1. （2019•广东省广州市•3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜
坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）
A．75m B．50m C．30m D．12m
【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．
【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，
∴tan∠BAC＝，
解得，AC＝75，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2. （2019•广西北部湾经济区•3分）小菁同学在数学实践活动课中测
量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路
灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰
角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，
cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
【答案】C
【解析】
解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，
设DF=x，
∵tan65°=，
∴OF=xtan65°，
∴BD=3+x，
∵tan35°=，
∴OF=（3+x）tan35°，
∴2.1x=0.7（3+x），
∴x=1.5，
∴OF=1.5×2.1=3.15，
∴OE=3.15+1.5=4.65，
故选：C．
过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
二.填空题
1. （2019•江苏宿迁•3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB
＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC ＜．
【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．
【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2
在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°
∴∠ABC1＝30°
∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，
在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°
∴∠AC2B＝30°
∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，
当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．
故答案为：＜BC＜2．
【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点．
2. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在△ABC 中，BC ＝26+，∠C ＝45°，AB ＝2AC ，则AC 的长为________.
【答案】2
【解析】过A 作AD ⊥BC 于D 点，设AC =x 2，则AB =x 2，因为∠C =45°，所以AD =AC =x ，则由勾股定理得BD =x AD AB 322=-，因为AB =26+，
所以AB =263+=+x x ,则x =2.则AC =2.
3. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是__________.
【答案】13
1
-=
x y 【解析】因为一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，则A （
2
1
，0），B （0,-1），则AB =
2
5.
过A 作AD ⊥BC 于点D ，因为∠ABC =45°，所以由勾股定理得AD =
4
10
，设BC =x ，则AC =OC -OA =2112
-
-x ，根据等面积可得：AC ×OB =BC ×AD ，即2
112
--x =410x ，解得x =10.则AC =3，即C （3，0），所以直线BC 的函数表达式是13
1
-=x y .
3. （2019•浙江湖州•4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB 和CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD ＝α．若AO ＝85cm ，BO ＝DO ＝65cm ．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为 120 cm ．（参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6．）
【分析】过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ，利用等腰三角形的三线合一得到OE 为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB 中，利用锐角三角函数定义求出h 即可．
【解答】解：过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ， ∵BO ＝DO ， ∴OE 平分∠BOD ，
∴∠BOE ＝∠BOD ＝×74°＝37°， ∴∠F AB ＝∠BOE ＝37°，
在Rt △ABF 中，AB ＝85+65＝150cm ， ∴h ＝AF ＝AB •cos ∠F AB ＝150×0.8＝120cm ， 故答案为：120
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．
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三.解答题
1. （2019•江苏宿迁•10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图
①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地
面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．
（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
【分析】（1）作EM⊥CD于点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；
（2）作E′H⊥CD于点H，先根据E′C＝求得E′C的长度，再根据EE′＝CE﹣
CE′可得答案
【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，
由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，
∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），
则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；
（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，
由题意知E′H＝80×0.8＝64，
则E′C＝＝≈71，1，
∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．
2. （2019•江西•8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-A-O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm.（结果精确到0.1）
（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE。

①填空：∠BAO=_________°；
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离。

（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小。

（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）
【答案】（1）①160°②27cm
（2）33.2°
【考点】解直解三角形的应用。

【解析】解：（1）①如图，过点A作AF//BC，
则∠BAO=∠BAF+∠OAF
=∠ABC+∠AOE
=70°+90°
=160°．
②如图，过点A作AG⊥BC交BC于点G，
∵AB=30，OA=6.8，∠ABC=70°
∴AG=30sin70°=28.2
∴OG=OA+AG=28.2+6.8=35
∴OG-CD=27
∴点D到桌面OE的距离是27cm.
（2）延长CD交OE与M点，过B点作OE的平行线交DC的延长线与H点∵CD⊥OE，OE∥BH
∴CD⊥BH，∠ABH=70°
由题意得CM=14cm，由（1）得HM=35cm，
所以CH=21cm
在Rt△BCH中sin∠CBH=
21
35
CH
BH
=0.60
∴∠CBH=36.8°
∴∠ABC=∠ABH - ∠CBH =70° - 36.8°=33.2°
3. （2019•河南•9分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55m 的小山EC 上，在A 处测得塑像底部E 的仰角为34°，再沿AC 方向前进21m 到达B 处，测得塑像顶部D 的仰角为60°，求炎帝塑像DE 的高度．
（精确到1m ．参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°＝0.83，tan 34°≈0.67，
≈1.73）
【分析】由三角函数求出AC ＝≈82.1m ，得出BC ＝AC ﹣AB ＝61.1m ，在Rt △BCD
中，由三角函数得出CD ＝
BC ≈105.7m ，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACE ＝90°，∠CAE ＝34°，CE ＝55m ， ∴tan ∠CAE ＝， ∴AC ＝＝
≈82.1m ，
∵AB ＝21m ，
∴BC ＝AC ﹣AB ＝61.1m ， 在Rt △BCD 中，tan 60°＝＝
，
∴CD ＝
BC ≈1.73×61.1≈105.7m ，
∴DE ＝CD ﹣EC ＝105.7﹣55≈51m ， 答：炎帝塑像DE 的高度约为51m ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．
4.（2019•天津•10分）如图，海面上一艘船由向东航行，在A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点C 的仰角为31°，再向东继续航行30m 到达B 处，测得该灯塔的最高点C 的仰角为45°.根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD （结果取整数）. 参考数据：52.031sin ≈︒，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60.
【解析】如图，根据题意，∠CAD =31°，∠CBD =45°，∠CDA =90°，AB =30. ∵在Rt △ACD ，tan ∠CAD =AD
CD
， ∴AD =
︒
31tan CD
∵在Rt △BCD 中，tan ∠CBD =BD
CD
， ∴BD =
CD CD
=︒
45tan
又AD =BD +AB
∴
=︒
31tan CD
30+CD
∴CD =4560
.0-160.03031tan 131tan 30=⨯≈︒-︒⨯
答：这座灯塔的高度CD 约为45m .
5. （2019•广西贺州•8分）如图，在A 处的正东方向有一港口B ．某巡逻艇从A 处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C 处时接到命令，立刻在C 处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B ．求A ，B 间的距离．（
≈1.73，
≈1.4，结果保留一位小数）．
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，通过解直角三角形可求出BD，AD的长，将其相加即可求出AB的长．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，如图所示．
在Rt△BCD中，sin∠BCD＝，cos∠BCD＝，
∴BD＝BC•sin∠BCD＝20×3×≈42，CD＝BC•cos∠BCD＝20×3×≈42；
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，
∴AD＝CD•tan∠ACD＝42×≈72.7．
∴AB＝AD+BD＝72.7+42＝114.7．
∴A，B间的距离约为114.7海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形，求出BD，AD的长是解题的关键．
6. （2019•甘肃省庆阳市•8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯
底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB ＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．
【分析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF 即可判断．
【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．
∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，
∴四边形CEHF是矩形，
∴CE＝FH，
在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，
∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），
∴FH＝CE＝34.6（cm）
∵DH＝49.6cm，
∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），
在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，
∴∠DCF＝30°，
∴此时台灯光线为最佳．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
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