第02章 弯矩-曲率关系

2
五、受弯构件正截面受力分析
4. 破坏阶段的受力分析
σct= σc0
对超筋梁，达极限状态时，
xn=ξnh
0
yc C
εct εc
0
ε ct = ε cu = 0.0033
C = σ c 0bξ n h0 (1 −
M
1 0.002 ) = 0.8σ c 0bξ n h0 3 0.0033 (1 − ξ n )h0 t 1− ξn T = σ s As = Esε s As = Es ε c As = 0.0033Es As ξ n h0 ξn
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
适筋破坏
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
超筋破坏
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
超筋破坏
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
平衡破坏（界限破坏，界 限配筋率）
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
最小配筋率
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
M 超筋 平衡 III II I O 少筋 适筋
as′ h/2as′ h h/2as as b 1 i Zi 截面中心线 n As As ′
εc1 φ
εs′ εci
N
σs′As′
M
ε
εs
σci σsAs
ΣX = 0,
∑σ
i =1
n
∆Ai + σ s' As' + σ s As + N = 0 ci
n
ΣM = 0,
h h M + ∑ σ ci ∆Ai Z i + σ s As ( − a s ) + σ s As ( a s − )＝0 2 2 i =1
ε u = 0.0033 − ( f cu − 50)×10 −5 ε u > 0.0033时，取ε u = 0.0033
五、受弯构件正截面受力分析
1. 基本假定
混凝土受拉时的应力-应变关系
σt
ft
σt=Ecεt
o εt0
εt
五、受弯构件正截面受力分析
1. 基本假定
钢筋的应力-应变关系
σs
fy
σs=Esεs ε
数据采集系统
H百度文库
h b
台座
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
1. 基本假定
P
平截面假定----平均应变意义上
As’ dy y As as b h as’
εc εc
L/3
t
L/3 L
εs’ ξnh0
(1-ξn)h0
εs
φ
bc
ε
忽略剪切变形对梁、柱构件变形的影响
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
h0 h
εs
b
φ ε t0 εcb= εtu
σsAs
h − xcr 2 xcr M cr = f t b(h − xcr )( + ) 2 3 A 设h0 = 0.92h, 令α A = 2α E s xcr bh + 2α E f t As (h0 − ) 3
M cr = 0.292(1 + 2.5α A ) f t bh 2
As b
φ εc
b
σsAs
（αE-1）As 用材料力学的方法求解
ε s = εt
Es σ s = E s ε s = σ t = α Eσ t Ec
T = σ s As = α E Asσ t
将钢筋等效成混凝土
五、受弯构件正截面受力分析
2. 弹性阶段的受力分析
当εcb =εtu时，认为拉区混凝土开裂并退出工作（约束受拉）
o εt0 2εt0
εt
五、受弯构件正截面受力分析
2. 弹性阶段的受力分析
εct
xn=ξn h0 A
s
σct
εc
∑X =0
0.5σ bxcr = 0.5Ecε tu (h − xcr )
t c
C M T
c
xn=xc
r
h0 h
εs
b
φ ε t0 εcb= εtu
σsAs
+ σ s As
设α E = Es , 近似认为ε s = ε tu Ec
εc1 φ
εs′ εci
N
σs′As′
M
ε
εs
σci σsAs
σ s = −σ s ( ε s ) σ s = σ s (ε s )
对钢筋混凝土柱， 有时也可能会出现 εs < 0
σ s = −σ s ( ε s )
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的平衡方程
N (kN) 200
150
混凝土：fc=30.8MPa; ft=1.97MPa; Ec=25.1×103MPa. 钢筋： fy=376MPa; fsu=681MPa; Es=205×103MPa; As=284mm2.
100 N 915 裸钢筋 50 混凝土中的钢筋 N 152 平均应变 0 0.001 0.002 0.003 0.004 152
s
σct εc
C yc xn
h0 h
y
M
εs εcb
b
φ
线性分布，需要进 线性分布， 行积分计算（略） 行积分计算（
M较大时， σc按曲 较大时，
σsAs
∑M = 0
1 1 M = 0.5σ ct bξ n h02 (1 − ξ n ) = σ s As h0 (1 − ξ n ) 3 3
五、受弯构件正截面受力分析
0.5σ ct bξ n h0 = σ s As = Esε s As = Es = αE 1−ξn
(1 − ξ n )h0 t ε c As ξ n h0
ξn
σ ct As
ξ n2 + 2α E ρξ n − 2α E ρ = 0
五、受弯构件正截面受力分析
3. 开裂阶段的受力分析
εct
xn=ξn h0 A
y
εsu
εs
五、受弯构件正截面受力分析
2. 弹性阶段的受力分析
εct σc
xn h0 h M
εs
As b
φ εc
b
σsAs
采用线形的物理关系
εc = σ c E c
εt = σ t E c
εs = σ s E s
五、受弯构件正截面受力分析
2. 弹性阶段的受力分析
εct σc
xn h0 h M
εs
解一元二次方程
σsAs（fyAs）
C =T
ξ n = f (ξ n )
P
L/3 L
L/3
φ
最小配筋率
σc
σc
σc
σc
(Mu) MIII
(εc’<εu)
σc
MI
Mcr
MII
My
σsAs σt<ft σt=ft(εct =εtu)
σsAs εs<εy
σsAs
εs=ε
y
fyAs
fyAs
εs>εy
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
结论
•适筋梁具有较好的变形能力，超筋梁和少筋梁的破坏具有突然性，设计 适筋梁具有较好的变形能力，超筋梁和少筋梁的破坏具有突然性，
三、截面尺寸和配筋构造
1. 板
分布钢筋 h0 c≥15mm d h
d = 8 ~ 12mm
h0 = h − 20
板厚的模数为10mm
四、受弯构件的试验研究
1. 试验装置
荷 载 分 配梁 P 外加荷 载 应 变 计 h L/3 L 位 移 计 L/3 b A
s
试 验 梁
数据采集 系统 A′s
As ρs = bh0
1 n = 2 − ( f cu − 50),当n ≥ 2时，取n = 2 60
当应力较小时，如σ c < 0.3 f c时，可取
σ c = Ec ε c
σc
fc
ε n σ c = f c 1 − 1 − c ε0
εc ε0 εu
o
ε 0 = 0.002 + 0.5( f cu − 50)×10 −5 ε 0 < 0.002时，取ε 0 = 0.002
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的物理方程（对物理方程的处理）
As ′
σ ci = σ c (ε ci )
σ ci = −σ c ( ε ci )
(ε ci ≥ 0) (ε ci < 0)
as′ h/2as′ h h/2as as b 1 i Zi 截面中心线 n As
As’ dy y As as b h as’
P
εc εc
L/3
t
L/3 L
εs’ ξnh0
(1-ξn)h0
εs
φ
bc
ε
ε ct εc εs ' εs = = = φ= ξ n h0 y ξ n h0 − as ' (1 − ξ n )h0
五、受弯构件正截面受力分析
1. 基本假定
混凝土受压时的应力-应 变关系
4. 破坏阶段的受力分析
εct
xn=ξn h0 A
s
σct εc
C yc xn xn=ξnh
0
σct= σc0
yc C M
εct εc
0
h0 h
y
M
εs εcb
b
φ
σsAs
σsAs（fyAs）
ε ≥ ε c 0。当f cu ≤ 50Mpa时，
t c
n = 2, ε c 0 = 0.002, ε cu = 0.0033
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理
P P
曲率
φ
平均应变分布
即使在纯弯段也只可能在几个截面上出现裂 缝,裂缝间混凝土的拉应变不相等
?
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理--Considère(1899)试验
五、受弯构件正截面受力分析
3. 开裂阶段的受力分析
εct
xn=ξn h0 A
s
σct εc
C yc xn
M较小时， σc可以认为 是按线性分布，忽略拉 区混凝土的作用
h0 h
y
M
εs εcb
b
φ
σsAs
y σ c = Ec ε c = E ε ξ n h0
t c c
y =σ ξ n h0
t c
∑X =0
2α A 1+ E s bh × h xcr = α E As 2 1+ bh
对一般钢筋混凝土梁 As / bh = 0.5 ~ 2%,
xcr ≈ 0.5h
αE = 6 ~ 7
五、受弯构件正截面受力分析
2. 弹性阶段的受力分析
xn=ξn h0
εct
εc
σct
C M T
c
xn=xc
r
∑M = 0
A
s
第二章 钢筋混凝土梁柱截面的 弯矩-曲率关系
同济大学土木工程学院建筑工程系 顾祥林
一、概述
荷载分配梁 试验梁 P 外加荷载 数据采集系统 As′ 应变计 h 位移计 L/3 L L/3 b
M 超筋 平衡 III II I O 适筋
As
φ
最小配筋率
外加荷载 带定向滑 轮的千斤 顶 N 柱的竖向荷载 位移计 P As′ 试验柱
1 ε c0 C = σ c 0bξ n h0 (1 − ) t 3 εc 1 1 ε c0 − t 2 12 ε c ) yc = ξ n h0 (1 − 1 ε c0 1− 3 ε ct
2
应用积分
五、受弯构件正截面受力分析
4. 破坏阶段的受力分析
σct= σc0
时应予避免
•在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏。其破坏特征是钢筋屈服的同 在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏。
时，混凝土压碎
•界限配筋率、最小配筋率是区分适筋破坏、超筋破坏和少筋破坏的定量 界限配筋率、最小配筋率是区分适筋破坏、
指标
五、受弯构件正截面受力分析
1. 基本假定
平截面假定----平均应变意义上
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理
As ′ as′ h/2as′ h h/2as as b 1 i Zi 截面中心线 n As
εc1 φ
εs′ εci
N
σs′As′
M
ε
εs
σci σsAs
εci > εt0
该条带混 凝土开裂
εci > εtu
该条带混凝 土退出工作 σci = 0
εct
xn=ξn h0 A
s
σct
εc
C M T
c
xn=xc
r
h0 h
εs
b
φ ε t0 εcb= εtu
ft
σsAs
为了计算方便用矩形应力 分布代替原来的应力分布
φ=
ε tu
h − xcr
=
ε
t c
xcr
=
εs
h0 − xcr
σ = Ec ε c σ s = Es ε s
t c
σt
ft
f t = 0.5 Ecε tu
截面的相容关系
As ′ as′ h/2as′ h h/2as as b 1 i Zi 截面中心线 n As
εc1 φ
εs′ εci
N
σs′As′
M
ε
εs
σci σsAs
ε ci = ε − Z iφ
h ε s ' = ε − ( 2 − as ' )φ ε = ε + ( h − a )φ s s 2
“拉伸硬 化”现象
三、截面尺寸和配筋构造
1. 梁
c c≥25mm d h h0=h-60 c b 净距≥25mm 钢筋直径d b h h0=h-35 c 净距≥30mm 钢筋直径d
净距≥30mm 钢筋直径d
h 2 ~ 3.5(矩形截面) = b 2.5 ~ 4.0(T形截面)
d = 10 ~ 20mm(桥梁中14 ~ 40mm)
对适筋梁，达极限状态时，
xn=ξnh
0
yc C
εct εc
0
ε ct = ε cu = 0.0033, σ s = f y
M
σsAs（fyAs）
∑X =0 ∑M = 0
ξ n = 1.253ρ s
fy
σ c0
M = f y As h0 (1 − 0.412ξ n ) = σ c 0bh0 ξ n (0.798 − 0.329ξ n )