7三维空间方向关系的定性描述与推理

(1. 哈尔滨理工大学计算机科学与技术学院，哈尔滨 150080；2. 哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院，哈尔滨 150001)
摘 要：在研究现有二维平面对象的方向关系模型的基础上，给出一个三维空间方向关系定性表达和推理模型。该模型是平面方向关系矩 阵模型向三维空间的扩展，通过延伸参考对象在三维空间最小外包矩形的边，将三维空间划分为 27 个方向区域，通过记录上述 27 个方向 区域与主对象的交集是否为空，构造一个三行九列的矩阵，用以表示三维空间的方向关系。基于该模型给出三维空间方向关系的定性推理 方法。 关键词：方向关系；定性描述；定性推理；最小外包矩形；方向关系矩阵
1 概述
现有的方向关系的表达和推理模型大多是针对二维平面 对象的，主要有 2 类：(1)基于锥形的模型；(2)基于投影的模 型。基于锥形的模型的主要思想是将空间对象及其周围区域 分成带有方向性的几个区域，通过各对象本身及方向区域之 间的交的结果描述方向关系，具有代表性的是四方向、八方 向锥形模型[1-2]和三角化模型[3]。基于投影的模型的主要思想 是将空间对象投影到特定的坐标轴上，通过各对象投影间的 关系描述与定义方向关系，具有代表性的有二维字符串模 型[4]、最小外包矩形(Minimum Bounding Rectangular, MBR) 模型[5]和方向关系矩阵模型[6-7]。
现实世界是三维的，例如高空中飞行的 2 架战机的方向 关系无法用二维平面对象的方向关系模型来表达，因此，必 须研究与之相对应的表达和推理模型。文献[8]给出了一个三 维空间点对象方向关系表达模型，但该模型无法表达现实世 界三维空间中线、面、体等对象间的方向关系。
本文将二维平面对象的方向关系矩阵模型进行了扩展， 给出了一个三维空间对象方向关系表达和推理模型，通过延 伸参考对象在三维坐标空间的 MBR 的边，将三维空间划分 为 27 个方向区域，用一个三行九列的矩阵表示三维空间方向 关系。基于该模型分别对三维空间单项方向关系与单项方向 关系、多项方向关系与单项方向关系、单项方向关系与多项 方向关系、多项方向关系与多项方向关系的合成运算进行了 研究，分别给出了相应的推理方法。
Qualitative Representation and Reasoning on Direction Relation of Baidu Nhomakorabeahree-dimension Space
WANG Miao1, HAO Zhong-xiao1,2
(1. College of Computer Science and Technology, Harbin University of Science and Technology, Harbin 150080; 2. College of Computer Science and Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001)
(UNE)、上方东(UE)、上方东南(USE)、上方南(US)、上方西 了研究，给出了平面对象方向关系推理表，如表 1 所示，其
南(USW)、上方西(UW)、上方西北(UNW)、正上方(UO)；正 中，HE={NE,E,SE}; HW={NW,W,SW}; HS={SW,S,SE}; HN=
北(RN)、正东北(RNE)、正东(RE)、正东南(RSE)、正南(RS)、 {NW, N, NE}; H={N,O, S}；L={W,O,E}。
R, D})，其中，U, R, D 分别表 示上方、正对、下方。
定义 7 已知三维空间对象
3 三维空间方向关系推理
A 和 B，A 和 B 在 xoy 平面上的投影分别记为 Prjxoy A 和 Prjxoy
定义 1[9] 方向关系 R1 与 R2 的合成用 R1∞R2 表示，R1∞R2 是 满 足 如 下 条 件 的 方 向 关 系 ： 对 于 任 意 对 象 A, C ， 若 Dir(A,C)=R1∞R2 成立，当且仅当存在对象 B，使得 Dir(A,B)= R1 且 Dir(B,C) = R2 成立。
{{SE}} δ({E,SE})
{{SE}} δ({SE,S})
{{SE}} {{S}}
δ(HS) δ({S,SW})
δ(HS) δ({S,SW})
Udir δ(H∪HW) {{SE}} {{S}}
SW δ( HW)
Udir δ(HS) δ(HS) {{SW}} {{SW}}
{{SW}} δ(HW) {{SW}}
—22—
2 三维空间方向关系模型
本文给出的三维空间对象方向关系模型如图 1 所示。
z
UNW
UN
UNE
UW
infz(A)
USW
UO
UE
US
USE
RNW A RN
RNE
supz(A)
DNW RW
DW
DN RO
DO
RSW
y
RS
DSW
DS
DNE RE
DE
RSE DSE
o
x
inf x ( A )
sup x ( A )
{{N}}
NE
{{NE}} {{NE}}
{{NE}} δ(HE) δ(HE)
Udir δ(HN) δ(HN) {{NE}}
E
δ({NE,E}) δ({NE,E})
{{E}}
δ({E,SE}) δ(E,SE}) δ(HS∪L) δ({SL) δ(HN∪L)
{{E}}
SE
S
δ(HE) δ(H)
δ(HE) δ(H∪HE)
关系间的推理方法，相关的定义和定理如下。 定义 6 已知三维空间 2 个对象 A 和 B，A 和 B 在 z 轴上
的投影分别记为 Prjz A 和 Prjz B，那么 Prjz A 相对于 Prjz B 在 三维空间的方向关系称为 A 相对于 B 在 z 轴上的方向关系， 记为 Dirz(A,B)。那么基于本文的三维方向关系模型，对于
W
δ({W,NW) δ(HN∪L)
δ(L) δ(HS∪L) δ({SW,W}) δ({SW,W})
{{W}}
δ({W,NW}) {{W}}
NW
{{NW}} δ(HN) δ(HN)
Udir δ(HW) δ(HW) {{NW}} {{NW}} {{NW}}
O
δ({N,O}) δ({N,O NE,E })
z 轴上的单项方向关系
UNWAn B UNAn B UNEAn B UWAn B UOAn B UEAn B USWAn B USAn B USEAn B
Dirz(A,B)，有 Dirz(A,B)∈ δ ({U,
Dir(B,A)=
RNWAn B RNAn B RNEAn B RWAn B OAn B REAn B RSWAn B RSAn B RSEAn B DNWAn B DNAn B DNEAn B DWAn B DOAn B DEAn B DSWAn B DSAn B DSEAn B
δ({E,O}) δ({O,S,E,SE}
δ({S,O}) δ({S,O,SW,W}
δ({W,O}) δ({W,NW,N,O}
{{O}}
个如下式所示的 3×9 方向关系矩阵 Dir3×9，以描述与定义三 3.1 三维空间单项方向关系间推理
维空间对象间的方向关系。其中，A 是参考对象；B 是主对
基于本文的方向关系表达模型，给出三维空间单项方向
正西南(RSW)、正西(RW)、正西北(RNW)、同一(RO)；下方北
表 1 平面单项方向关系推理表
(DN)、下方东北(DNE)、下方东(DE)、下 方 东 南 (DSE) 、 下 方 南 (DS) 、 下 方 西 南 (DSW)、下方西(DW)、下方西北(DNW)、 正下方(DO)，这 27 个方向区域符号的集 合记为 C。
supy(A), infz(A), supz(A)，通过延伸对象的 MBR 的边，将三维 表示{{SW},{W},{NW},{SW,W},{NW, W},{SW,W,NW}}。
空间划分为 27 个区域，分别表示为上方北(UN)、上方东北
文 献 [9] 基 于 该 模 型 对 二 维 平 面 对 象 方 向 关 系 推 理 进 行
图 1 参考对象空间方向分区
该模型是对文献[6-7]的方向关系矩阵模型向三维空间的 延伸，其主要思想是基于投影的方法描述方向关系，以参照
基金项目：黑龙江省自然科学基金资助项目(F2006-01) 作者简介：王 淼(1981－)，男，博士研究生，主研方向：空间及时 空数据库；郝忠孝，教授、博士生导师 收稿日期：2008-09-13 E-mail：wmscan@tom.com
象；UNA, UNEA, UEA, USEA, USA, USWA, UWA, UNWA, UOA, RNA, RNEA, REA, RSEA, RSA, RSWA, RWA, RNWA, ROA, DNA, DNEA, DEA, DSEA, DSA, DSWA, DWA, DNWA, DOA 分别为参考 对象 A 的 27 个方向区域。在该矩阵中至少有一个元素为非 空，并且非空元素必定空间相邻。根据上述约束条件得到的 有效方向关系的全集记为 Cdir 。
【Abstract】By analyzing direction relation representation model in two-dimension space, this paper proposes a direction relation qualitative representation and reasoning model in three-dimension space, which is the extension of direction relation matrix model on the plane. The model divides the three-dimension space into twenty-seven regions by extending the edges of Minimum Bounding Rectangular(MBR) of reference object and uses a three rows and nine ranks matrix which is constructed by recording whether the regions meet with primary object in the twenty-seven regions to represent direction relations. Qualitative direction relation reasoning methods based on the model are given. 【Key words】direction relation; qualitative representation; qualitative reasoning; Minimum Bounding Rectangular(MBR); direction relation matrix
第 35 卷 第 15 期 Vol.35 No.15
计算机工程 Computer Engineering
2009 年 8 月 August 2009
·博士论文·
文章编号：1000—3428(2009)15—0022—04 文献标识码：A
中图分类号：TP311.131
三维空间方向关系的定性描述与推理
王 淼 1，郝忠孝 1,2
定性方向关系推理的主要任务是从某些对象之间已知的 方向关系推导出另一些对象之间的方向关系，例如，已知 A 相对于 B 的方向关系为 R1，B 相对于 C 的方向关系为 R2，则 可根据 R1, R2 推导出 A 相对于 C 的方向关系，即对方向关系
对象的最小外接矩形(立方体)表示对象本身，该立方体在 x
定义 5 R={D1, D2,…, Dn}, D1, D2,…,Dn∈U(C)，δ (R)为由
轴、y 轴、z 轴上的投影分别表示为 infx(A), supx(A), infy(A), D1,D2,…,Dn 构成的有效方向关系的集合。例如 δ (SW,W,NW)
三维空间被划分成 27 个方向区域， 本文通过判断参考对象的 27 个方向区域 与主对象之间的交集是否为空，构造了一
R1∞R2 N NE E SE S SW W NW O
N
{{N}} δ({N,NE,}) δ({N,NE,}) δ(H∪HE)
δ(H) δ(H∪HE) δ({NW,N}) δ({NW,N})