建筑力学问题简答(七)超静定结构内力计算
《建筑力学与结构》课件——第十章 超静定结构的内力计算
力法计算超静定结构
(2) 建立力法方程
11X 1 12X 2 1F 0 21X 1 22X 2 2F 0
建筑力学与结构
(3) 计算系数和自由项
δ11 4a3 / 3EI
1F 5qa4 / 8EI
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δ22 a3 / 3EI δ12 δ21 a3 / 2EI 2F qa4 / 4EI
M AB
M1X1
MF
l 3 ql 8
1 ql 2 2
1 ql 2 8
取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构，利用
计算静定结构的位移，达到求解超静定结构的方法，称为力
法。
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力法计算超静定结构
2.力法的典型方程
建筑力学与结构
1 11 X1 12 X 2 1F 0 2 21 X1 22 X 2 2F 0
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力法计算超静定结构
建筑力学与结构 n次超静定结构
δ11 X 1 δ12 X 2 δ1i X i δ1n X n 1F 0 δ21 X1 δ22 X 2 δ2i X i δ2n X n 2F 0
…………………………………………..……
δn1 X1 δn2 X 2 δni X i δnn X n nF 0
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7超静定次数的确定来自建筑力学与结构 3.去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束，用 三个约束反力代替该约束作用。
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超静定次数的确定
建筑力学与结构 4.将一刚结点改为单铰联结或将一个固定支座改为固定铰支座，相 当于去掉一个约束，用一个约束反力代替该约束作用。
各杆的杆端弯矩表达式
超静定结构的计算
第二节力法
这样，原结构的内力计算问题就转变为基本结构在多余未知 力多的X余基1未本及知未荷力知载量Xq共1就，同是其作多余用余的下未计的知算内力就力。迎计刃算而问解题了了。。因只此要，设力法法求计出算
(二)力法方程 基本结构在月端不再受约束限制，因此在荷载y作用下月点
竖1小因5向-不此10位同基(d移而本)]向异结。下 ， 构显由 的[然图于 变在15形X二-11位是者0(c移取共)]状代，同态了在作应被X用1与拆下作原去B用点结约下竖构束月向完对点位全原竖移一结向将致构位随，的移X即作向1的B用上点大，[图 的余方竖未向向知产位力生移X的1位△共移1同必应作须与用为原下零结，，构在也在拆就X除是1方约说向束基的处本位沿结移多构相余在等未已。知知即力荷X:载1作与用多 △1=0 这就是基本结构应满足的变形谐调条件，又称位移条件。
用结所构示11、上。产则12生△、的11、1沿3 △表X11示2方、单向△位的13可力相以X应1表=位1示移, X为，2=如1,X图3=151-分12别(c作),(用d)于, (基c),本(d) 11 11X1、12 12 X 2、13 13 X 3，上面儿何条件(15-2)
中的第一式可以写为:
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第一节超静定结构基本知识
(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一 个约束，如图15-3 (a),(b)所示的两个结构都多出来一个约束， 都是一次超静定结构。
(2)去掉一个铰支座或内部的一个单铰，相当于去掉两个约束。 图15-4 (a), (b)所示的两个刚架都多出来两个约束，都是二次 超静定结构。
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第二节力法
用力法计算超静定结构在支座移动所引起的内力时，其基本 原理和解题步骤与荷载作用的情况相同，只是力法方程中自 由项的计算有所不同，它表示基本结构由于支座移动在多余 约第束五处节沿“多支余 座未 移知 动力 时方 静向 定所 结引 构起 的的 位位 移移 计算△”iC，所可述用方第法十求四得帝。 此外，还应注意力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处 沿多余未知力方向的位移条件，也就是原结构在多余未知力 方正向值的，已否知则实 取际 负位 值移 。值△i，当△i与多余未知力方向一致时取
超静定结构的内力
06 超静定结构的应用与发展趋势
CHAPTER
应用领域
桥梁工程
建筑工程
超静定结构在桥梁设计中应 用广泛，如斜拉桥、拱桥等， 能够提供更高的承载能力和
稳定性。
超静定结构在高层建筑、大 跨度结构等建筑工程中具有 重要应用，能够增强结构的
优化设计方法
数学模型法
有限元法
遗传算法
建立超静定结构的数学模型， 包括受力分析、位移分析、 稳定性分析等，以便进行优 化设计。
利用有限元分析软件对超静 定结构进行离散化分析，得 到结构的内力和位移等结果， 为优化设计提供依据。
采用遗传算法等智能优化算 法对超静定结构进行优化设 计，寻找最优解或近似最优 解。
超静定结构的内力
目录
CONTENTS
• 超静定结构的基本概念 • 超静定结构的内力分析方法 • 超静定结构的内力计算 • 超静定结构的稳定性分析 • 超静定结构的优化设计 • 超静定结构的应用与发展趋势
01 超静定结构的基本概念
CHAPTER
定义与特点
定义
超静定结构是指具有多余约束的结构， 即结构的自由度小于其独立刚体的自 由度。
抗震性能和承载能力。
机械工程
航空航天工程
超静定结构在机械设计中用 于制造高强度、高刚度的零 部件，提高机械设备的稳定
性和可靠性。
超静定结构在航空航天领域 的应用，如飞机机身、火箭 发动机壳体等，能够提供更
高的结构强度和稳定性。
发展趋势
优化设计
随着计算机技术的发展，超静定结构的优化设计成为研究 热点，旨在寻求更轻量化、高效的结构形式。
超静定结构内力计算
超静定结构内力计算首先，需要明确的是，超静定结构与静定结构的计算方法基本相同，都是通过力平衡和力矩平衡方程来计算结构内力。
下面以一简支梁为例，介绍超静定结构内力计算的方法。
假设有一简支梁，梁长为L，受到均布载荷q，支座A、B处有横向支撑。
我们需要计算梁上任意一点x处的弯矩和剪力。
首先，对于简支梁，力平衡方程可得：∑Fx=0=>RA+RB=0(1)∑Fy=0=>VA+VB-qL=0(2)力矩平衡方程可得：∑Mz=0=>-qLx+VBx=0(3)(x为横坐标)由以上方程可以得到：RA=-RB=-qL/2，VA=-VB=qL/2接下来，我们可以使用能量方法计算结构内力。
能量方法是利用结构所受外界实际工作等于内力做的虚功，通过对外界做功和结构内工作的平衡，求解得到内力。
我们将简支梁分解为多个力学小段，每一小段的长度为Δx。
考虑梁上一小段AB，以A点为起点，Δx位置为B点。
对这一小段，外界对结构所做的虚功为：δWext = -VAdy (4) (dy为小段长度)其中，结构内力V由能量方法得到。
结构内力杆件AB的内工作为：dU = VAdy (5)因为外界做的虚功等于内工作，可得：-δWext = dU将式(4)和式(5)代入上式，得：VAdy = -VAdy对上式进行积分，得：∫VAdy = -∫VAdy∫VAdy = -(∫VAdy)由于简支梁内力为常数，所以可以将其从积分符号中移出，得：V∫Ady = -V∫Ady即：VAΔy=-VAΔy可以看出，对于简支梁而言，外界虚功和结构内工作的积分是相等的。
通过上述分析，我们可以发现，能量方法实际上是在计算外界对结构做的虚功，而虚功就是外界力对结构的作用力乘以作用距离的积分。
所以能量方法的基本思想是通过积分计算外界对结构的虚功，然后根据虚功等于内工作的原理，推导出结构的内力。
总结起来，超静定结构的内力计算方法主要是使用力平衡和力矩平衡方程，利用能量方法计算结构内力。
最新建筑力学第六章超静定结构内力计算
因为δ11和Δ1F均为已知力作于静定结构时，引起 的B点沿X1方向上的位移，所以由静定结构的位移计 算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知
力X1。
为了具体计算位移δ11和Δ1F，可分别绘出基本 结构在荷载q和X1＝1单独作用下的MF图和 M图1 [图(a， b)]，然后用图乘法计算。
构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘
出原结构的弯矩图，如图（c）所示。
超静定结构的最后弯矩图
ql 2 8
ql 2
M，也可利用已经绘出的
M
图
1
和 MF 图 按 叠 加 原 理 绘 出 ， A
8
B
即MM1X1MF。
M图 （c）
综上所述，力法是以多余未知力作为基本未知 量，以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构， 根据基本结构在多余约束处与原结构完全相同的位 移条件建立力法方程，求解多余未知力，从而把超 静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。
同理可用M 1 图乘MF图计算Δ1F
Δ 1F E 1 I1 3l1 2q2l4 3l8 qE 4lI
(a) MF 图
将δ11和Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力
X1。
Χ1
1F 1 1
3ql 8
X1
(b)M1图
所得末知力X1为正号，表示反力X1的方向与所
设的方向相同。
多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与 荷载q共同作用在基本结构上, 就可以按求解静定结
X2 、X3方向上的位移[图(f)]。
对于n次超静定结构，用力法分析时，去掉n
个多余约束，代之以n个多余未知力，当原结构在
《建筑力学》机考网考题库及答案
《建筑⼒学》机考⽹考题库及答案《建筑⼒学》机考⽹考题库及答案⼀、单项选择题1．若刚体在⼆个⼒作⽤下处于平衡，则此⼆个⼒必( )。
D．⼤⼩相等，⽅向相反，作⽤在同⼀直线2．由两个物体组成的物体系统，共具有( )独⽴的平衡⽅程。
D．63．静定结构的⼏何组成特征是( )。
B．体系⼏何不变且⽆多余约束4．低碳钢的拉伸过程中，胡克定律在( )范围内成⽴。
A．弹性阶段5．约束反⼒中含有⼒偶的⽀座为( )。
B．固定端⽀座7．截⾯法求杆件截⾯内⼒的三个主要步骤顺序为( )。
D．取分离体、画受⼒图、列平衡⽅程8．在⼀对( )位于杆件的纵向平⾯内的⼒偶作⽤下，杆‘件将产⽣弯曲变形，杆的轴线由直线弯曲成曲线。
B．⼤⼩相等、⽅向相反9．低碳钢的拉伸过程中，( )阶段的特点是应⼒⼏乎不变。
B．屈服1．约束反⼒中能确定约束反⼒⽅向的约束为( )。
D．光滑接触⾯2．平⾯平⾏⼒系有( )个独⽴的平衡⽅程，可⽤来求解未知量。
C．23．三个刚⽚⽤( )两两相连，组成⼏何不变体系。
A.不在同⼀直线的三个单铰4．⼒的作⽤线都互相平⾏的平⾯⼒系是( )。
C．平⾯平⾏⼒系5．结点法计算静定平⾯桁架，其所取脱离体上的未知轴⼒数⼀般不超过( )个。
B．27．轴向拉（压）时，杆件横截⾯上的正应⼒( )分布。
A．均匀8．在图乘法中，欲求某点的⽔平位移，则应在该点虚设( )。
B．⽔平向单位⼒3．静定结构的⼏何组成特征是( )。
B．体系⼏何不变且⽆多余约束5．图⽰构件为T形截⾯，其形⼼轴最有可能的是( )。
C Z3 、6．位移法的基本未知量是( )。
C．结点位移7．作刚架内⼒图时规定，弯矩图画在杆件的( )。
c．受拉⼀侧9．利⽤正应⼒强度条件，可进⾏( )三个⽅⾯的计算。
C．强度校核、选择截⾯尺⼨、计算允许荷载10.在图乘法中，欲求某点的转⾓，则应在该点虚设( )。
D．单位⼒偶6．在梁的强度计算中，必须满⾜( )强度条件。
结构力学超静定结构的内力和位移计算PPT课件
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力法方程中的柔度系数与自由项，都是力法基本结构在已知力作用下的位 移，相应的计算公式为
dii
M
2 i
ds
EI
FN2i ds EA
kFS2i ds GA
dij d ji
MiM j ds EI
FNi FNj ds EA
kFSi FSj ds GA
FNitl
Dt h
M i ds
13
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例题5-7. 图示刚架，外侧温度升高20oC，内侧温度升高30oC，试用力法求解并作出M图。已 知杆件横截面为矩形截面，高度h=l/10，EI=常数，材料线膨胀系数为。
原结构
力法基本结构
FN1
M1
M图
d11 X1 D1t 0
d11
1 EI
(1 l 2
d n1 X1 d n2 X 2 d nn X n DnP Dn 0
对于力法典型方程，应注意理解与掌握以下几点： (1) 力法典型方程的物理意义，是多余约束处的位移方程； (2) dij称为结构的柔度系数，其定义是j方向的单位力引起的i方向的位移，第1个下标表示 发生位移的位置，第2个下标表示产生位移的原因。位移互等定理，dij=dji。主柔度系数必 为正，即dii>0。副柔度系数dij可为正、负或0。柔度系数为结构的固有特性，与荷载等外 界因素无关； (3) 自由项DiP的物理意义是，荷载单独作用在力法基本结构上产生的沿Xi方向的位移，可 为正、负或0； (4) 力法方程也称为柔度方程，力法也称为柔度法；
D1P
X1 2d EA
FN
若将上弦杆DE去掉，其基本结构如示。此时，在X1与荷载共同作用下，D、E两点沿轴方向的相对线位移不
超静定结构的计算
§1.3超静定结构的计算超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，仅根据静力平衡条件不能求出其全部支座反力和内力，还须考虑变形协调条件。
计算超静定结构的基本方法是力法和位移法。
这两种基本方法的解题思路，都是设法将未知的超静定结构计算问题转换成已知的结构计算问题。
转换的桥梁就是基本体系，转换的条件就是基本方程，转换后要解决的关键问题就是求解基本未知量。
1.3.1力法力法是以多余未知力为基本未知量、一般用静定结构作为基本结构，以变形协调条件建立基本方程来求解超静定结构内力的计算方法。
超静定结构多余约束（或多余未知力）的数目称为超静定次数，用n表示。
确定超静定次数的方法是：取消多余约束法，即去掉超静定结构中的多余约束，使原结构变成静定结构，所去掉的多余约束的数目即为原结构的超静定次数。
在结构上去掉多余约束的方法，通常有如下几种：●切断一根链杆，或者移去一个支座链杆，相当于去掉一个约束；●将一个固定支座改成固定铰支座，或将受弯杆件某处改成铰接，相当于去掉一个抗转动约束；●去掉一个联结两刚片的铰，或者撤去一个固定铰支座，相当于去掉两个约束；●将一梁式杆切断，或者撤去一个固定支座，相当于去掉三个约束。
现以图1-26a所示一次超静定结构为例，说明力法的基本原理。
其中，要特别重视力法的三个基本概念。
图1-261、力法的基本未知量：取超静定结构中的多余未知力（如图1-26a 中的X1）作为力法的基本未知量，以X i表示。
多余未知力在超静定结构内力分析中处于关键的地位，因此，有必要将其突出出来，作为主攻目标。
力法这个名称也因此而得。
2、力法的基本体系：将原结构中的多余约束（如图1-26a中的支座B）去掉，所得到的无任何外加因素的结构，称为力法的基本结构（图1-26b）；基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的体系，称为力法的基本体系（图1-26c）。
在基本体系中，仍然保留原结构的多余约束反力X1，只是把它由被动力改为主动力，因此基本体系的受力状态与原结构完全相同。
超静定结构的计算
一. 用力法计算超静定结构（一）复习重点1. 理解超静定结构及多余约束的概念，学会确定超静定次数2. 理解力法原理3. 掌握用力法计算超静定梁和刚架（一次及二次超静定结构）4. 掌握用力法计算超静定桁架和组合结构（一次及二次超静定结构）5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的计算（一次超静定结构）（二）小结1. 超静定结构、多余约束、超静定次数（1）超静定结构从几何组成角度，结构分为静定结构和超静定结构。
静定结构：几何不变，无多余约束。
超静定结构：几何不变，有多余约束。
（2）多余约束多余约束的选取方案不唯一，但是多余约束的总数目是不变的。
（3）超静定次数多余约束的个数是超静定次数。
判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构。
2. 力法原理力法是计算超静定结构最基本的方法（1）将原结构变为基本结构（2）位移条件：（3）建立力法方程3．用力法求解超静定梁和刚架例：二次超静定结构（1）原结构变为基本结构（2）位移条件（3）力法方程（3）绘弯矩图4. 用力法计算超静定桁架和组合结构注意各杆的受力特点：二力杆只有轴力，受弯杆的内力有弯矩、剪力和轴力。
例：超静定组合结构（1）原结构变为基本结构（2）位移条件（3）力法方程（4）绘弯矩图5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的内力计算（1）温度变化时，超静定结构的内力计算原结构变为基本结构位移条件力法方程（2）支座移动时，超静定结构的内力计算原结构变为基本结构位移条件二. 用位移法计算超静定结构（一）复习重点1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别2. 掌握用位移法计算超静定结构（具有一个及两个结点位移）3. 掌握计算对称结构的简化方法（二）小结1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别位移法是求解超静定结构的又一基本方法，适用于求解超静定次数较高的连续梁和刚架。
位移法的前提假设：对于受弯的杆件，可略去轴向变形和剪切变形的影响，2. 掌握用位移法求解超静定结构（具有一个及两个结点位移的结构）例：求连续梁的内力解：（1）确定基本未知量及基本体系基本未知量是结点B的角位移。
支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算 从以上分析可以看到，选不同形式的基本结构，建立的力法方
程的形式不同。但各种形式的力法方程表达的物理意义的实质是相 同的。在力法方程的等号左边表示的是：基本结构上在各种因素作 用下引起的某一多余力方向上的位移；而等号右边表示的是：原结 构在此方向上的位移。
度升图高a所t2 示C，为用两力次法超计静算定其刚内架力，的设方各法杆与外支侧座温移度动升时高的t1情C，况内相侧类温似。 首先选取基本结构，设去掉支座C处的两个多余约束，代之以多余 未知力X1、X2，得到基本结构如图b所示。列出力法方程为
11X1 12 X 2 1t 0 21X1 22 X 2 2t 0
式中系数计算和前面相同。
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
自由项 it（i = 1，2）表示基本结构上C点处由温度改变所引起 的Xi方向上的位移，可按十三章中介绍的位移计算公式求得，即
it
() l FNilt0ds
() Mil tds
lh
(a)
当t0、t 、h、 l 为常数时，则上式可写成
侧截温面度形降心低轴5为C对，称各轴杆，材截料面的高线度膨h胀= 0系.4数m。为试用l ，力弯法曲计刚算度，E并I为绘常制数，
内力图。
【解】 此刚架为一次超静定结构，取基本结构如图b所示。建
立力法方程为
11Χ 11t 0
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
绘出 M1 、FN1 图，分别如图c、d所示。
it
lt0 ANi
l
t h
AMi
超静定结构计算力法
第十章超静定结构计算力法一．超静定次数确定1、 超静定结构的特性：与静定结构比较，超静定结构有如下特性：静定结构 超静定结构 几何特性 无多余约束的几何不变体系 有多余约束的几何不变体系静力特性满足平衡条件内力解答是唯一的，即仅由平衡条件就可求出全部内力和反力。
超静定结构满足平衡条件内力解答有无穷多种，即仅由平衡条件求不出全部内力和反力，还必须考虑变形条件。
非荷载外因的影响 不产生内力 产生了自内力内力与刚度的关系 无关荷载引起的内力与各杆刚度的比值有关，非载载外因引起的内力与各杆刚度的绝对值有关。
内力超静定，约束有多余，是超静定结构区别于静定结构的基本特点。
2、超静定次数的确定： 结构的超静定次数为其多余约束的数目，因此上，结构的超静定次数等于将原结构变成静定结构所去掉多余约束的数目。
在超静定结构上去掉多余约束的基本方式，通常有如下几种：（1）断一根链杆、去掉一个支杆、将一刚接处改为单铰联接、将一固定端改为固定铰支座，相当于去掉一个约束。
（2）断一根弯杆、去掉一个固定端，相当于去掉三个约束（3）开一个单铰、去掉一个固定铰支座、去掉一个定向支座，相当于去掉两个约束。
3、几点注意：①由图10-1结构的分析可得出结论：一个无铰闭合框有三个多余约束，其超静定次数等于三。
对于无铰闭合框结构其超静定次数=3×闭合框数。
如图10-2 所示结构的超静定次数为3×5=15次；对于带铰闭合框结构其超静定次数=3×闭合框数－结构中的单铰数（复铰要折算成单铰）如图10-3所示结构的超静 定次数为3×5-（1+1+3）=15次。
D点是连接四个刚片的复铰，相当于（4-1）=3个单铰。
②一结构的超静定次数是确定不变的，但去掉多余约束的方式是多种多样的。
如图10-1结构。
③在确定超静定次数时，要将内外多余约束全部去掉。
如图10-4结构外部1次超静定，内部6次超静定，结构的超静定次数是7。
超静定结构内力计算不错讲义.pptx
超静定结构的力法计算的基本思想是利用静定的基本体系来计算多余未知力， 基本体系的内力、变形与原来超静定结构完全相同。因此，在求解超静定结构的位移
时，仍可以借助于基本体系，把已求出的多余力当作主动力来看待，采用前面的静定
结构求位移的方法即可以求出基本体系的位移，该位移也就是原来超静定结构中相应
X1
3EI l2
(
a) l
(3) 求内力。原超静定结构内力与基本体系相同，而支座移动在基本体系(静定结
构)中不引起内力，所以最后弯矩为：
M＝ M i X i
i
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力法
原结构的弯矩图如图6.13(e)所示。 由此可以看出，计算超静定结构由于支座移动引起的内力时，其力法方程右端 项应等于原结构相应处的位移，而自由项为基本结构由于支座移动产生的与多余未知 力相应的位移。该两项可直接由基本结构中变形关系求出。结构的最后内力全部由多
力法
下面结合具体例子说明力法的运用。 【例6.2】 用力法计算如图6.10(a)所示的刚架，各杆的EI 相等且为常数，绘制内力图。
图6.10 超静定刚架
解 (1) 由几何组成分析知，该结构是二次超静定结构，去掉处的两个多余约束， 得到基本结构，如图6.10(b)所示。
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力法
(2) 由已知点的位移条件，列出力法的典型方程：
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力法
△1 ＝0 ，
△2＝0
图6.9 力法解二次超静定刚架
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力法
设各单位未知力X1=1、X2=1 和荷载分别作用于基本结构上，A点沿X1 方向的位 移分别为δ11、 δ12、 △1P ；沿X2 方向的位移分别为δ21、 δ22、 △2P (如图6.9(c)、(d)、 (e))所示。根据叠加原理，上述位移条件可表示为：
1、静定结构与超静定结构静力计算公式
静定结构与超静定结构静力常用计算公式一、短柱、长柱压应力极限荷载计算公式1、短柱压应力计算公式荷载作用点轴方向荷载AF =σ bhF =σ 偏心荷载)1(21x Y i ye A F W M A F -=-=σ )1(22x Y i ye A F W M A F +=+=σ )61(2,1hebh F ±=σ 偏心荷载)1(22xy y x xx y Y i ye i xe A FI x M I x M A F ±±=⨯±⨯±=σ)661(be h e bh Fy x ±±=σ长短柱分界点如何界定？2、长柱方程式及极限荷载计算公式 支座形式图 示方 程 式极限荷载 一般式 n=1两端铰支β=1y a dxy d ∙=222 ax B ax A y sin cos +=y F M EIFa ∙==,2 EI l n 222π EI l 22π一端自由他端固定 β=2y a dxyd ∙=222 ax B ax A y sin cos +=EI l n 2224)12(π-EI l 224πy F M EIFa ∙==,2 两端固定β=0.50)(22=-+F M y a dxyd A FM ax B ax A y A++=sin cos A M y F M EIFa +∙-==,2 EI l 224π EI l 224π 一端铰支他端固定 β=0.75)(222x l EI Q y a dx y d -=∙+)(sin cos x l FQax B ax A y -++=水平荷载-=Q EIFa ,2 ——EI l227778.1π注：压杆稳定临界承载能力计算公式：EI l P cr 22)(βπ=二、单跨梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式 1、简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式荷载形式M 图V 图反力 2F R R B A == L Fb R A =L Fa R B =2qL R R B A == 4qL R R B A == 剪力V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B弯矩4max FL M =LFabM =max 82maxqL M = 122maxqL M = 挠度EIFL 483max=ω 若a ＞b 时，3)2(932maxab a EIL Fb +=ω（在)2(3b a ax +=处） EIqL 84max=ω EIqL 1204max=ω 注：1、弯矩符号以梁截面下翼缘手拉为正（+），反之为负（—）。
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建筑力学问题简答（七）超静定结构内力计算194．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。
从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。
若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。
也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。
对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。
195．什么是超静定结构的超静定次数？答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。
196．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。
197．如何确定超静定结构的超静定次数？答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。
198．撤除多余约束的方法有哪几种？答：撤除多余约束常用方法如下：（1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。
（2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。
（3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。
199．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？答：用力法计算超静定结构的基本思路是：去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。
200．什么是力法的基本结构和基本未知量？答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。
力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。
201．简述n 次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。
答：（1）n 次超静定结构的力法方程对于n 次超静定结构，撤去n 个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n 个多余约束处代以相应的多余未知力。
当原结构在去掉的多余约束处的位移为零时，相应地也就有n 个已知的位移谐调条件：Δi =0（i =1，2，…，n ）。
由此可以建立n 个关于求解多余未知力的方程：22112222212111212111=∆++++=∆++++=∆++++nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ式中：δii 称为主系数，表示当X i =1作用在基本结构上时，X i 作用点沿X i 方向的位移。
由于δii 是X i =1引起的自身方向上的位移，故恒大于零。
可由i M 自身图乘得出。
δij 称为副系数，表示当X j =1作用在基本结构上时，X i 作用点沿X i 方向的位移。
可正可负也可等于零。
由位移计算公式： ∑⎰=ds EIM M j i ij δ 很容易得出： ji ij δδ= δij 可由i M 和j M 图乘得出。
ΔiP 为自由项，表示荷载单独作用在基本结构上时，沿X i 方向的位移，可正可负也可等于零。
可由i M 和M P 图乘得出。
（2）求原结构的全部反力和內力1）由图乘法求得主系数、副系数和自由项后，即可解得n 个多余未知力X i 。
按照静定结构的分析方法可求原结构的全部反力和內力。
2）绘制原结构的弯矩图时，也可以利用已经绘出的基本结构的M P 图和i M 图用叠加原理计算，即：P n n M X M X M X M M ++++= 2211最后，根据平衡条件可求剪力和轴力。
202．在力法典型方程中，其主系数为什么恒大于零？而副系数和自由项则可能为正值、负值或为零？答：δii 称为主系数，表示当X i =1作用在基本结构上时，X i 作用点沿X i 方向的位移。
由于δii 是X i =1引起的自身方向上的位移，故恒大于零。
可由i M 自身图乘得出。
δij 称为副系数，表示当单位力X j =1单独作用在基本结构上时，力X i 作用点沿X i 方向的位移。
可正可负也可等于零。
由位移计算公式：∑⎰=ds EIM M j i ij δ ΔiP 为自由项，表示荷载单独作用在基本结构上时，沿X i 方向的位移，可正可负也可等于零。
可由i M 和M P 图乘得出。
203．力法方程的物理意义是什么？答：力法方程的物理意义是：基本结构在多余未知力和荷载的作用下，在去掉多余约束处的位移与原结构中相应的位移相等，即基本结构与原结构的位移协调条件。
204．试列出用力法求解超静定结构的基本步骤。
答：用力法计算超静定结构的步骤是：（1）选择基本结构确定结构的超静定次数，撤去多余约束，代以相应的多余未知力，得到基本结构。
（2）建立力法典型方程根据所撤去的多余约束数，建立力法典型方程（3）计算系数和自由项首先作基本结构在荷载和X i=1单独作用时的各弯矩图，然后用图乘法分别计算。
（4）求多余未知力将计算出的系数和自由项代入力法典型方程，解出多余未知力。
（5）作內力图按静定结构，用平衡条件或叠加法计算基本结构內力，画出內力图。
205．简述位移法的基本假定。
答：为了简化计算，用位移法讨论多跨超静定梁和刚架时，作如下基本假定：（1）刚性结点假定：各杆不是铰结合，而是牢固结合，假定这种结点是刚性的，即假定变形时在该结点相交各杆端的截面有相同的转角。
（2）杆端联线长度不变假定：对于受弯杆件，通常可略去轴向变形和剪切变形的影响，并认为弯曲变形是微小的，因而可假定各杆端之间的联线长度在变形后仍保持不变。
（3）小变形假定：即结点线位移的弧线可用垂直于杆件的切线来代替。
206．位移法与力法的主要区别是什么？答：位移法与力法的主要区别是它们所选取的基本未知量不同。
力法是以结构中的多余未知力为基本未知量，求出多余未知力后，再据此算得其它未知力和位移。
而位移法是取结点位移为基本未知量，根据求得的结点位移再计算结构的未知内力和其它未知位移。
207．什么是位移法的基本体系？答：对于超静定结构，可用在结点上加约束的方法，将组成结构的各个杆件都变成单跨超静定梁，将这些单跨超静定梁的组合称作位移法的基本体系。
208．试述位移法的基本原理。
答：位移法的基本原理是：根据结构及其在荷载作用下的变形情况，确定结点位移为基本未知量；进而将整体结构划分成若干根单元杆件，每根杆件均可看作单跨超静定梁，从而建立这些杆件的杆端弯矩与结点位移以及荷载之间的关系；然后利用平衡条件建立求解结点位移的关系式；求出结点位移的数值后，便可进一步求出各杆的杆端弯矩；最后根据杆端弯矩和荷载便可画出弯矩图。
209．用位移法分析超静定刚架的基本过程如何？答：用位移法分析超静定刚架的基本过程是：（1)根据结构的变形分析，确定某些结点位移为基本未知量；（2)把每根杆件都视为单跨超静定梁，必要时可以单独画出来，以建立内力与结点位移之间的关系；（3)根据平衡条件建立关于结点位移为基本未知量的方程，即可求得结点位移未知量；（4)由结点位移求出结构的杆端内力；（5）根据杆端弯矩和荷载画出弯矩图。
210．用位移法计算超静定结构时，有哪两类基本未知量？答：用位移法计算超静定结构时，是以刚结点的角位移和独立的结点线位移作为基本未知量的。
211．如何确定位移法的基本未知量？答：确定位移法的基本未知量（1）结点角位移：独立的结点角位移未知量的数目就等于结构刚结点的数目。
（2）独立的结点线位移：在确定独立的结点线位移数目时，首先可把原结构的所有刚结点和固定端支座假设改为铰，这就得到一个铰结体系。
若此铰结体系是几何不变体系，则由此可以知道原结构所有结点均无线位移。
如这个铰结体系是几何可变或瞬变的，则可线位移数目。
212．如何建立位移法的基本体系？答：建立位移法的基本体系，可在刚架的每个刚性结点上假想地加上一个附加刚臂，以阻止刚结点的转动，但不能阻止刚结点的移动；对产生线位移的结点加上附加链杆，以阻止其线位移，而不阻止结点的转动。
这样一来，就得到了单跨超静定梁的组合体。
这就是位移法的基本体系。
213．位移法的基本体系与力法的基本体系由何不同？答：位移法的基本体系是通过增加刚臂和链杆得到，一般情况下其基本体系是唯一的。
这与力法不同，力法的基本结构是通过减少约束，用多余未知力来代替多余约束，采用静定结构作为基本结构，因此它的基本结构可有多种形式。
214．位移法分析等截面直杆时的关键是什么？答：位移法分析等截面直杆时，关键是要用杆端位移表示杆端力。
215．如何表示超静定梁杆端弯矩和杆端剪力？答：两端固定的杆端弯矩和杆端剪力其两端产生的位移为：A 端和B 端分别产生顺时针转角θA 和θB ，B 点产生垂直于AB 的线位移△，它绕AB 也是顺时针转动。
杆端位移的符号规定为：杆端转角θ以顺时针方向转向为正，反之为负；杆端相对线位移△以使杆件顺时针转向为正，反之为负。
由力法算得的杆端弯矩和杆端剪力为： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+∆+--=+∆+--=+∆-+=+∆-+=F QBA B A F QBA F QAB B A QAB F BA B A BAF AB B A ABF l i l i l i F F l i l i l i F M l i i i M M l ii i M 2212661266642624θθθθθθθθ式中lEI i =为杆件的线刚度。
一端固定、一端铰支的杆端弯矩和杆端剪力⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∆+-=+∆+-==+∆-=F QBA A QBA F QAB A QAB BA F AB A AB F l i l i F F l i l i F M M l i i M 223333033θθθ216．杆端力的符号如何规定？答：杆端弯矩绕杆端顺时针转动为正(对结点或支座而言，则以逆时针转动为正)，反之为负；杆端剪力绕着其所作用的隔离体内侧附近一点顺时针转动为正(简述为顺时针为正)，反时针转动为负。
217．形常数和载常数分别指的是什么？答：当杆端位移为单位值时，所得的杆端力通常称为等截面直杆的刚度系数。
刚度系数是只与杆件的长度、截面的几何形状、材料性质有关的常数，所以也叫形常数。
对于两端固定梁，其上作用有其它形式荷载，或对其它形式支座的单跨超静梁，其作用有某种形式的荷载，同样均可用力法算出其固端弯矩和固端剪力。
因为它们是只与荷载形式有关的常数，所以又叫做载常数。
218．什么叫固端弯矩？答：力矩分配法中，约束状态下的杆端弯矩称为固端弯矩。
219．如何计算附加刚臂上的约束力矩？答：在附加刚臂上必有约束力矩M B ，约束力矩等于各杆固端弯矩之和。
以顺时针转向为正，反之为负。
220．力矩分配法中杆端弯矩正、负号是如何规定的？答：在力矩分配法中杆端弯矩正、负号的规定都与位移法相同，即杆端弯矩以顺时针转向为正，作用于结点的弯矩以逆时针转向为正；结点上的外力偶(荷载)仍以顺时针转向为正等。