第五章习题解答

第五章习题解答
5-2-1 如图所示的一块均匀的长方形薄板，边长分别为a、b．中心O取为原点，坐标系如图所示．设薄板的质量为M，求证薄板对Ox 轴、Oy轴和Oz轴的转动惯量分别为
[解] 根据转动惯量的定义
对取图示微元，有
同理可得
对于
5-2-2 一个半圆形薄板的质量为m、半径为R，当它绕着它的直径边转动时，其转动惯量是多大?
d m
d r
r
R
O
x
[解] 建立坐标系，取图示面积元，根据转动惯量的定义有
5-2-3 一半圆形细棒，半径为R，质量为m，如图所示．求细棒对轴的转动惯量．
d l
x
[解] 建立图示的坐标系，取图示线元，，
根据转动惯量的定义式有
r
y
x
5-2-4 试求质量为m、半径为R的空心球壳对直径轴的转动惯量．
[解] 建立如图所示的坐标系，取一的球带，它对y轴的转动惯量
又
所以
此即空心球壳对直径轴的转动惯量．
5-2-5 历史上用旋转齿轮法测量光速的原理如下：用一束光通过匀速旋转的齿轮边缘的齿孔A，到达远处的镜面反射后又回到齿轮上．设齿轮的半径为5cm，边缘上的齿孔数为500个，齿轮的转速使反射光恰好通过与A相邻的齿孔B．（1）若测得这时齿轮的角速度为600，齿轮到反射镜的距离为500 m，那么测得的光速是多大?（2）齿轮边缘上一点的线速度和加速度是多大?
[解] （1）齿轮由A转到B孔所需要的时间
所以光速
（2）齿轮边缘上一点的线速度
齿轮边缘上一点的加速度
5-3 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增加到200，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小．又过了5s后，飞轮停止转动．若该飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间?
[解] 分三个阶段进行分析
10 加速阶段．由题意知和得20 匀速旋转阶段．
30 制动阶段．
由题意知
联立得到
所以
因此转动的总时间
5-4 图示为一阿特伍德机，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的
两端分别系有质量为和的物体，且>．设定滑轮是质量为M，半径为r的圆盘，绳的质量及轴处摩擦不计，绳子与轮之间无相对滑动．试求物体的加速度和绳的张力．
[解] 物体及滑轮M受力如图所示
对取向下为正方向：（1）
对取向上为正方向：（2）
对取顺时针方向为正方向：（3）
又（4）
（5）
（6）
（7）联立（1）-（7）式，解得
5-5 提示::第一步,角动量守恒;第二步,角动量定理
5-6 一砂轮直径为，质量为，以的转速转动，一工件以200 N的正压力作用于轮子的边缘上，使砂轮在内停止转动．求砂轮与工件间的摩擦系数（砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为，其中，m 和R分别为砂轮的质量和半径）．
[解] 根据角动量定理，
联立上述四式得到
5-7 一飞船以角速度绕其对称轴自由旋转，飞船的转动惯量．若
宇航员想停止这种转动，启动了两个控制火箭．它们装在距转轴的位置．若控制火箭以的速率沿切向向外喷气，两者总共的排气率．试问这两个切向火箭需要开动多长时间?
[解] 把飞船和喷出的气体当作研究系统．在喷气过程中，时间内喷出的气体为，在整个过程中，喷出的气体的总角动量为
当飞船停止转动时，它的角动量为零．
由系统角动量守恒得
所以
所求的时间为
5-8 擦地板机圆盘的直径为D，以匀角速度旋转，对地板的压力
为F，并假定地板所受的压力是均匀的，圆盘与地板间的摩擦系数为，试求开动擦地板机所需的功率（提示：先求圆盘上任一面元所受的摩擦力矩，而整个圆盘所受摩擦力矩与角速度的乘积即是摩擦力矩的功率）．
[解] 在圆盘上取一细圆环，半径r，宽度为d r，则其面积为
此面积元受到的摩擦力为
所以此面元所受的摩擦力矩为其方向与方向相反
其大小
又因为各面元所受的摩擦力矩方向相同，所以整个圆盘所受的摩擦
力矩为
所以所需要的功率
5-9 如图所示，A、B两飞轮的轴可由摩擦啮合使之连结．轮A的转
动惯量，开始时轮B静止，轮A以的转速转动，然后使A与B连结，轮B 得以加速，而轮A减速，直至两轮的转速都等于为止．求：（1）轮B的转动惯量；（2）在啮合过程中损失的机械能是多少?
[解] （1）以飞轮A，B为研究对象，在啮合过程中,系统受到轴向的正压力和啮合的切向摩擦，前者对轴的力矩为零，后者对轴的力矩为系统的内力矩，整个系统对转轴的角动量守恒，按角动量守恒定律，有
而
所以
在啮合的过程中，部分机械能转化为热能，损失的机械能为。