随机误差的处理

单次测量的标准偏差 (测量次数趋于无穷大)
方差 2
n
(xi )2
i1
n
贝塞耳公式 (有限测量次数)
n
(xi x)2
ˆ i1
n 1
平均值的标准偏差
x
n
对物理量x进行n次等精度独立测量
n
xi
真值，
测量值xi，
算术平均值x
i1
n
测量值与真值之差真实误差i xi
测量值平均值与真值差之x x
单次测量的标准偏差 lim n
n
2 i
i1
n
贝塞耳公式
n
2 i
iFra Baidu bibliotek1
n 1
随机误差的处理
假定对一个量进行了n次测量，测得的值为xi (i =1, 2，…，n)，则测量值的 算术平均值为
x(x1x2x3 )/n
假定无系统误差,则每个测量值的随机误差为
i xi
其中μ是真值.如果将测量值的误差相加,并除以n, 则得 i xi
nn
根据随机误差的抵偿性,当n→∞时,则有
x
所以,可以用多次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值
i 2
i 2
n
n
n
i 2 (12 n)2
12 22 32 n 212 213
12 22 32 n
2 i
当n很大，时交叉项乘积有，正 且有 数负 量积相等相互抵
代入 n 得 i2 2i2
整 理 2 得 i2 n i2 n n 1 i2
即
2
i2
n1 n
2
2 i
2 i
2
n n1
残差 xi x
两i 式 x x i 相 x x i 减 x
即i x
由 于 0 (当 n 较， 大 正 ， 时 大 负小出， 现 相 的 互 ) 机 抵 率
x2
n(x )2
n(x1
x2
n
xn
n)2
n
(x1 x2 xn )2
n
(1 2 n)2