数学归纳法习题

数学归纳法
双基训练
*1.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ·1·3·…(2n-1)(n ∈N*)时，从“k 到k+1”左边需增乘的代数式是( )。

【2】
(A)2k+1 (B)
2k+1k+1 (C)2(2k+1) (D)2k+3
k+1
*2.用数学归纳法证明：1+12+13+…+n 1
2-1
<n(n>1)在验证n=2成立时，左式是( )。

【2】
(A)1 (B)1+1/2
(C)1+1/2+1/3 (D)1+1/2+1/3+1/4
*3.某个与自然数n 有关的命题，若n=k 时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立。

现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得( )。

【2】 (A)当n=6时该命题不成立 (B)当n=6时该命题成立 (C)当n=4时该命题不成立 (D)当n=4时该命题成立 *4.用数学归纳法证明：1-1/2+1/3-1/4+
12n-1-12n =1n+1+1n+2+ (12)
，第一步应验试左
式是 ，右式是 。

【2】
*5.若要用数学归纳法证明2n>n 2
(n ∈N*)则仅当n 取值范围是 时不等式才成立。

【2】
**6.用数学归纳法证明：1+a+a 2
+…+a n+1
=n+21-a 1-a
(a ≠1)(n ∈N*).【3】
**7.请用数学归纳法证明：1+3+6+…+
n(n+1)2=n(n+1)(n+2)
6
(n ∈N*).【3】 **8.用数学归纳法证明：1(n 2
-1)+2(n 2
-22
)+…+n(n 2
-n 2
)=2n (n-1)(n+1)
4
(n ∈N*).【4】
**9.用数学归纳法证明：1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2)=
n
4(n+1)·( n+2)·(n+3)(n ∈N*).【4】
**10.用数学归纳法证明：1·3+3·5+5·7+…+(2n-1)(2n+1)=2
1n(4n +6n-1)(n N*)3
∈.【4】
**11.用数学归纳法证明：
1111n
++++=(n N*)2446682n(2n+2)4(n+1)⋅⋅⋅∈⨯⨯⨯。

【4】 **12.用数学归纳法证明：
23n n 122n n+2
++++=2-(n N*)22222
⋅⋅⋅∈.【4】 **13.用数学归纳法证明：22212n n(n+1)
+++=(n N*)1335(2n-1)(2n+1)2(2n+1)
⋅⋅⋅∈∙∙【4】
**15.用数学归纳法证明：13
+23
+…+n 3
+3(15
+25
+…+n 5
)=33
n (n+1)2
(n ∈N*)。

【5】
**16.用数学归纳法证明：
222222222
3572n+11
++++=1-122334n (n+1)(n+1)
⋅⋅⋅ (n ∈N*).【4】 **17.用数学归纳法证明：
12
-22
+32
-42
+…+(-1)n-1n 2
=(-1)n-1
·n(n+1)
2
(n ∈N*).【4】 **18.用数学归纳法证明：
1-2+4-8+…+(-1)n-12n-1
=(-1)n-1
·
2n 1
+33
(n ∈N*).【4】 **19.用数学归纳法证明：(1·22
-2·32
)+(3·42
-4·52
)+…
+[(2n-1)(2n)2-2n(2n+1)2
]=-n(n+1)(4n+3) (n ∈N*)【4】 ***20.求证：1+2+…+2n=n(2n+1) (n ∈N*)【4】
***21.求证：1+2+…+(n-1)+n+(n-1)+…+1=n 2
(n ∈N*)【4】 ***22.用数学归纳法证明：1·n+2(n-1)+…+n ·1=n(n+1)(n+2)
6
(n ∈N*)【5】
***23.当n 为正偶数时，求证：
(2)(2)21(1)(3)(1)(3)1
n n n n n n n n n n n --⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=-----⋅⋅⋅ .【5】 ***24.当n>1，n ∈N*时，求证：
1119
12310
n n n ++⋅⋅⋅+>++【5】 纵向应用
**1.设n 是正奇数，用数学归纳法证明x n +y n
能被x+y 整除时，第二步归纳法假设应写成( )。

【2】
(A)假设n=k(k ≥1)时正确，再推证n=k+2时正确
(B)假设n=2k+1(k ∈N*)时正确，再推证n=2k+3时正确 (C)假设n=2k-1(k ∈N*)时正确，再推证n=2k+1时正确 (D)假设n=k(k ∈N*)时正确，再推证n=k+1时正确 **2.用数学归纳法说明：1+
111(1)2321
n n n ++⋅⋅⋅+<>-，在第二步证明从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是( )。

【2】
(A)2k 个 (B)2k -1个 (C)2k-1个 (D)2k
+1个 **3.设凸n 边形的内角和为f(n)，凸n+1边形的内角和为f(n+1)，则f(n+1)=f(n)+ 。

【2】 **4.已知f(x)=
，记f 1(x)=f(x)，n ≥2时，f n (x)=f[f n-1(x)]，则
f 2(x)= ,f 3(x)= ,f 4(x)= ，由此得f n (x)= .【3】
**5.猜想：1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,…第n 个式子为 。

【2】
***6.求证：13n N*)
n +
+>≥∈且.【5】 ***7.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，证明：
111(1)(1+)(1+)(n N*)352n-12
+⋅⋅⋅+>∈【4】
***8.求证：
135(2n-1)>
2462n 2n+1
⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ∈N*)【4】 ***9.求证：2n
>n 3
，(n ≥10且n ∈N*)【4】
***10.求证：当n ∈N ，用n ≥2时，n n
>1·3·5·…·(2n-1).【4】
***11.用数学归纳法证明：n
n+1()>n!2(n ∈N 且n ≥2)【8】 ***12.用数学归纳法证明：111
1++++<3(n 1,n N)1!2!n!
⋅⋅⋅≥∈【8】
***13.求证：3,n N)
≥∈【8】 ***14.用数学归纳法证明：n n 1111
1+
1++++n(n N*)22322
≤⋅⋅⋅≤∈【8】 ***15.用数学归纳法证明：n n n
a +
b a+b ()22
≥(a+b>0,n ∈N*)【8】 ***16.证明：n
1(1+
)<n n
(n ≥3,n ∈N*)【8】
***17.若n a ⋅⋅⋅求证：2
n n(n+1)(n+1)<a <22
( n ∈N*)【8】 ***18.设i a >0,i=1,2,,n,⋅⋅⋅⋅⋅⋅，且2n n n a +1<a -a ，求证：n 1
a <n
【8】 ***19.用数学归纳法证明：sin n n sin αα≤(n ∈N*)【5】 ***20.求证：
***21.求证：
(1)49n+16n-1能被64整除(n∈N*)【4】
(2)(3n+1)7n-1是9的倍数(n∈N*)【4】
(3)1+2+22+…+25n-1能被31整除【4】
(4)62n+3n+2+3n是11的倍数(n∈N*)【5】
***22.求证：
(1)x n-na n-1+(n-1)a n能被(x-a)2整除【8】
(2)m n+2+(m+1)2n+1能被m2+m+1整除(n∈N*)【5】
***23.用数学归纳法证明：三个连续自然数的立方和能被9整除。

【5】
***24.用数学归纳法证明：若x+x-1=2cosθ，则x n+x-n=2cosnθ(n∈N*)【6】
***25.用数学归纳法证明：f(n)=n3+3/2n2+1/2n-1为整数(n∈N*)【5】
***26.平面上有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不共点，求证：n条直线
(1)被分割成n2段；
(2)把平面分成1/2(n2+n+2)部分。

【10】
***27.用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为1/2n(n-3)【5】
***28.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2-n+2个部分。

【6】
***29.在2与8之间插入n个正数a1，a2,…a n，使这n+2个正数依次成等差数列，又在2与8之间插入n个正数b1,b2,…b n，使这n+2个正数依次成等比数列；设A n=a1+…
+a n,B n=b1·…·b n。

(1)求An及Bn的通项公式。

(2)求使f(n)=3A n+B n-10对任意自然数n都能被m整除的最大自然数m之值。

【12】横向拓展
***1.已知函数f1(x)=x-1
x+1
,f n+1(x)=f1[f n(x)](n∈N*),则f30(x)是( )。

【3】
(A)x (B)x-1 x
(C)
1
1-x
(D)
1
-
x
***2.已知1+2·3·32+4·33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对于一切n∈N*都成立，那么a、b、c 的值为( )。

【2】
(A)a=1/2,b=c=1/4
(B)a=b=c=1/4
(C)a=0,b=c=1/4
(D)不存在这样的a、b、c
***3.楼梯共有n级，每步只能跨上1级或2级，走完该n级楼梯共有f(n)种不同的走法，则f(n)、f(n-1)、f(n-2)的关系为。

【2】
***4.用an表示n个篮球队单循环赛的场数，则a n+1=a n+ .【2】
***5.在数列{}n a中，a1=-1,a2=1,a3=-2,若对一切n∈N*有a n·a n+1·a n+2·a n+3=a n+a n+1+a n+2+a n+3且a n+1·a n+2·a n+3≠1,则S4321= 【3】
***6.如图11-1所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2，3,3，6,4，10，…记该数列前n项之和为S(n)，则S(16)= .【5】
****7.观察下列式子：
32+42=52,102+112+122=132+142,212+222+232+242=252+262+272,362+372+382+392+402=412
+422+432+442
，…，则第n 个式子是 。

【5】 ****8.设数列{}n a 满足a 1=0，a 2=1，对于n>2(n ∈N*)有a n =2a n-1-2a n-2，试用数学归纳法证明：
a n =2n-12·sin n-14
л
****9.对于以下数的排列：
2,3，4
3,4，5,6，7， 4,5，6,7,8，9,10 ……
(1)求前三项每行各项之和；
(2)归纳出第n 行各项的和与n 的关系式； (3)用数学归纳法证明(2)中所得的关系式。

【10】 ****10.在数列{}n a 中，a n >0,且S n =1/2(a n +
n
1
a ) (1)求a 1、a 2、a 3；
(2)猜测出a n 的关系式并用数学归纳法证明。

【10】
****11.在数列{}n a 中，若a 1=cotx,a n =a n-1cosx-sin(n-1)x ，试求通项a n 的表达式且证明。

【8】
****12.是否存在自然数m ，使f(n)=(2n+7)·3n
+9对于任意自然数n ∈N*都能被m 整除？若
存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。

【8】 ****13.设f(n)=
111+++n+3n+42n+2⋅⋅⋅是否存在一个最大的自然数m ，使不等式f(n)>m
72
对n ∈N*恒成立？若不存在，请说明理由；若存在，求出m 之值，并证明该不等式。

【10】
****14.已知数列{}n b 是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145。

(1)求数列{}n b 的通项bn (2)设数列{}n a 的通项a n =log a (1+
n
1
b )(其中a>0且a ≠1),记S n 是数列{}n a 的前n 项和，试比较S n 与a n+11log b 3
的大小，并证明你的结论。

(1998年全国高考试题)p.200【10】
****15.设a,b ∈N ，两直线l1：y=b=
b x a 与l2：y=b
x a
的交点为P 1(x 1,y 1)且对n ≥2的自然数，两点(0，b)，(x n-1,0)的连续与直线y=b
x a
交于点P n (x n ,y n )。

(1)求P 1、P 2的坐标；
(2)猜想P n 并用数学归纳法证明。

【10】
****16.如图11-2，设抛物线
x 轴上的点构成正三角形 OP 1Q 1，Q 1P 2Q 2、Q 2P 3Q 3、…，其中Q n 在x 轴上，P n 在抛物线上，设 Q n-1P n Q n 的边长为a n . 求证：a 1+a 2+…+a n =
n(n+1)
3
【10】 ****17.设a>2，给定数列{}n x ,其中x 1=a ，x n+1=2
n n x 2(x -1)
(n=1,2,…),求证：x n >2且
n+1
n
x x <1(n<1,2,3,…)【1.5】 ****18.设a i >0,i=1,2,…,n,且a 1·a 2·…·a n =1,求证：(1+a 1)(1+a 2)·…·(1+a n )≥2n .【10】 ****19.设数列{}n a 满足关系a 1=1，a n +a n-1=2n (n ≥2),数列{}n b 满足关系：b n +a n =(-1)n
1/3。

证明：{}n b 是等比数列。

【10】
*****20.已知数列{}n a ，其中a n >0，满足a n
(n=1,2,3,…)
(1)求证：a n <1； (2)求证：当n ≥2时，a n ≤
2
1
(n+2)
.【8】 *****21.正整数列{}n a 定义如下：a 1=2,a 2=7,且-1/2<a n+1-2
n a an-1
≤1/2,n ≥2,n ∈N*.求证：对一切n>1，a n 为奇数。

【15】
参考答案
双基训练
1.C
2.C
3.C
4.1/2 1/2
5.n ≥5
6.～24.略
纵向应用
1.C
2.A
3.π
4.
5.1-4+9-…
+(-1)n+1
·n 2
=(-1)n+1
·n 2
=(-1)n-1
(1+2+…+n) 6.～28.略 29.(1)A n =5n +10,B n =4n+2
(2)9
横向拓展
1.D
2.A
3.f(n)=f(n-1)+f(n-2)
4.n
5.-4321
6.164
7.
2
n n
222
k=0k=1
(2n+n+k)=(2n+2n+k)
∑∑ 8.略 9.(1)9；25；49 (2)(2n+1)2 (3)略
10.(1)a1=1,a2=-1,a3=-(2)a n=-,证明略11.a n=cos nx sin x
12.m max=36 13.m max=17 14.(1)b n=3n-2 (2)S n>1/3log a b n+1 15.(1)P1(a/2,b/2),P2(a/3,b/3) (2)(a/n+1,b/n+1) 16.～21.略。