第五章对流扩散问题(假扩散 高阶格式差分方程的求解)

T T u v 0 x y
第五章 对流扩散问题———假扩散
在P点的控制容积上对上边的 NW 微分方程进行积分，则：
1 6 N 5 w P E NE
u(Te Tw ) v(Tn Ts ) 0
W 2 SW
A 迎风格式
u(Te Tw ) v(Tn Ts ) 0 ue / w 0
****
(****)*(di+ eiBi-2)，有：
(di ei Bi 2 )i 1 Ai 1 (di ei Bi 2 )i 1 Bi 1 (di ei Bi 2 )i Ci 1 (di ei Bi 2 )
(*****)+(***)，令Di=(di+eiBi-2)，则有：
NW W 1 W 1 W y
W SW 2 SW 2SW y
S SW 3 SW 3SW x
N P 5 P 5 P y
P S 4 S 4 S y
N NW 6 NW 6 NW x
n bb a EE n a EE WW WW b
第五章 对流扩散问题———假扩散
A5.3 PDMA算法 对五对角阵，有没有类似三对角阵TDMA那样的直接 求解方法呢？实际上对五对角阵，人们也可以找到相 应的直接求解方法，这个方法就是PDMA算法。下边 以一维为例来介绍这个算法。
第五章 对流扩散问题———假扩散
A5 高阶格式差分方程的求解 高阶格式的格式图案如下图所示：
WW W P E EE
1D：5点格式
NN N WW W P S SS E EE WW W T TT NN N P S SS BB
B
E EE
2D：9点格式
3D：13点格式
第五章 对流扩散问题———假扩散
当对流扩散方程采用诸如QUICK、SUD等高阶格式时， 进入P点离散方程的相邻点除了近邻点N、S、E、W、T 和B以外，还有NN、SS、EE、WW、TT和BB六个远邻 点。其差分方程如下：
这样，不象一般迎风差分
w W w P uw 0 uw 0
NW
1
6
N
5
NE
而是取为流速与网格线的上游 W 相交点处的值，即：
w 1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6
SW
w
P
4 S
E
2 3
SE
第五章 对流扩散问题———假扩散
然后再用插值的方法来确定这些上游交点的值，即：
**
(**)*ei+(*)消掉i-2，有：
(ai ei Ai 2 )i bi i 2 ci i 1 (di ei Bi 2 )i 1 eiCi 2 fi
***
第五章 对流扩散问题———假扩散
写出i-1点的上三角方程如下：
i 1 Ai 1i 1 Bi 1i Ci 1
第五章 对流扩散问题———假扩散
A5.1 逐点求解 最容易想到和实现的就是逐点求解。实际上这种求解 方法与差分方程是采用几点格式构造的没有关系，具 有普适性。
Jacobi逐点迭代
1 n n n n a P n a a a a P E E W W EE EE WW WW b
TP TS Te 2 TP TW Tn 2
uv
TW TSW Tw 2 TSW TS Ts 2
TP TSW
数值预报的温度分布如下图所示。此时两股气流的台阶型温度分布 随着流动一直得以保持，说明上边的差分方程在垂直于主流方向没 有带来假扩散现象，克服了迎风格式带来的假扩散。
第五章 对流扩散问题———假扩散
由此可见，对一维而言，所得到的差分方程不再是可以 用TDMA直接求解的三对角矩阵方程，而变成一个五对 角阵方程。对二维或三维而言，逐线联立求解的方程组 也不再是可以用TDMA直接求解的三对角矩阵方程，也
变成一个五对角阵方程。
那么，针对这样一种五对角方程，通常我们如何来求解 它们呢？
第五章 对流扩散问题———假扩散
A5.2 延迟修正的TDMA算法 逐点求解易于实现，但求解效率低，会带来较大计算 量。另一容易想到和实现途径就是TDMA迭代，即： 把远邻点放入源项中，从而，一维差分方程或二、三 维逐线联立方程就变成一个三对角阵方程，可利用TD MA直接求解。
1 n 1 n 1 a P n a a P E E W W bb
第五章 对流扩散问题———假扩散
100 100 100 100 100 100 100 0 0 0 0 0 0
100
100
100
N 100 P 100 S 100
0 0
y
W 100
E 100
0 0 0
x
100 SW 100 100 100 100 0
0
0 0
4 S 3
SE
vn / s 0
u(TP TW ) v(TP TS ) 0
uv
2TP TW TS
数值预报的温度分布如下图所示。此时两股气流中的温度分布逐渐 被抹平，出现了垂直于主流方向的假扩散现象。
第五章 对流扩散问题———假扩散
100 96.88 89.07 77.86 66.65 63.93 50 34.38 18.75 6.25 0 36.33 22.66
100
100
93.75 N 81.25
y
W 87.5
75
50 0
P 68.75 E 50 S 50
25 0 31.25 12.5 0
x
100 100
10.94
3.125 0
第五章 对流扩散问题———假扩散
B 斜迎风格式
u(Te Tw ) v(Tn Ts ) 0 ue / w 0 vn / s 0
1D
a P P aEE a W W aEE EE a WW WW b
a P P a E E a W W a N N aS S a EE EE a WW WW a NN NN aSS SS b
2D
3D
a P P aE E a W W a N N aS S aT T aB B a EE EE a WW WW a NN NN a SS SS a TT TT a BB BB b
M1 BM1M CM1
M 2 AM 2M BM 2M1 CM 2

1 A1 3 B1 2 C1
以上就是求解五对角矩阵的PDMA算法，但在应用中，延 迟修正的TDMA方法应用的较多。
第五章 对流扩散问题———假扩散
B 斜迎风格式 当流动方向与网格线斜交时，采用迎风格式确定控制 容积界面上的变量值时，其上游位置必然不在沿坐标
可见，关于控制容积P的离散方程就可能包括围绕它的八 个节点的值，所以，迎风格式是一种九点格式。而且很 难写出其统一格式。
第五章 对流扩散问题———假扩散
例：设两股速度相同而温度不同的气流相遇，气体的扩
散系数 0 ，其他物性相同且为常数。高温气体温 度为100C，低温气体温度为0C。对来流方向与x 轴成45交叉时，试采用迎风格式和斜迎风格式计算 两股气流相遇后的温度。 解：本题所描述问题的基本方程如下
a P P aEE a W W aEE EE a WW WW b
用编号法表示
ai i bi i 2 ci i 1 di i 1 ei i 2 fi
*
第五章 对流扩散问题———假扩散
和TDMA一样，PDMA也要经过代入和回代两个环节，
Di di ei Bi 2
第五章 对流扩散问题———假扩散
可见系数Ai, Bi与Ci的计算公式是递推的，为此，还需给
出其递推初始值系数A1, B1与C1。写出i=1点的差分方程：
a11 b1 3 c1 2 0 0 f1
b1 A1 a1
b2 A2 (a 2 d 2 D i )
******
第五章 对流扩散问题———假扩散
比较(**Leabharlann Baidu***)和(*#)，有：
Ai bi (a i e i A i 2 B i 1 D i )
c i A i 1 Di Bi (a i e i A i 2 B i 1 D i ) e i Ci 2 f i Ci 1 Di Ci (a i e i A i 2 B i 1 D i )
线上。而在以前介绍的迎风格式中，其上游节点是沿
坐标线选取的，因此，导致不能获得真正上游的信息
，造成了垂直于流动方向的假扩散。为消除或减少这
种假扩散，人们提出了一种斜迎风格式。
第五章 对流扩散问题———假扩散
在这种格式中，扩散项仍然采用一般的中心差分格式， 而对流项积分后所需要的界面上的变量值采用迎风格式 来构造，但按其真正上游值来选取。对一个二维问题， 如下图所示。
bi
*****
c i A i 1 D i i 2 i 1 (a i e i A i 2 B i 1 D i ) (a i e i A i 2 B i 1 D i ) e i C i 2 f i C i 1 D (a i e i A i 2 B i 1 D i )
c1 B1 a1 c 2 d 2 A1 B2 (a 2 d 2 B 1 )
f1 C1 a1
f 2 d 2C1 C2 (a 2 d 2 B 1 )
i 1,2,, M

第五章 对流扩散问题———假扩散
获得系数Ai, Bi与Ci的(I=1,2,,M)后，即可得：
M CM
Gauss-Seidel自西向东逐点迭代
1 n n 1 n n 1 a P n a a a a P E E W W EE EE WW WW b
Gauss-Seidel自东向西逐点迭代
1 n 1 n 1 n 1 n 1 a P n a a a a P E E W W EE EE WW WW b
假设经过代入后得到的上三角方程为
i Ai i 2 Bi i 1 Ci
*#
问题的关键就变成为：找出系数Ai, Bi与Ci和系数a, b, c, d
, e及f之间的关系。为此，写出i-2点的上三角方程如下：
i 2 Ai 2i Bi 2i 1 Ci 2